大学物理习题课第9章

1、第9章习题课机械振动机械振动简谐振动简谐振动的特征的特征简谐振动简谐振动的描述的描述简谐振动简谐振动的合成的合成阻尼振动阻尼振动受迫振动受迫振动简谐振动简谐振动机械波机械波机械波的机械波的产生产生机械波的机械波的描述描述波动过程中波动过程中能量的传播能量的传播波在介质中波在介质中的传播规律的传播规律回复力：回复力：kxf 动力学方程：动力学方程：0dd222 xtx 运动学方程：运动学方程：)cos( tAx能量：能量：221kAEEEpk EEEpk21 简谐振动的特征简谐振动的特征动能势能相互转化动能势能相互转化简谐振动的描述简谐振动的描述一、描述简谐振动的物理量一、描述简谐振动的物理量

2、振幅振幅A： 角频率角频率 ：mk 周期周期 T 和频率和频率 ：22020 vxA 00 xvtg 相位相位( t + ) 和和 初相初相 ：相位差相位差 ：)()(1122 ttT 2 2TT1 的确定！的确定！1、解析法、解析法)cos( tAx)sin( tAv2.振动曲线法振动曲线法3、旋转矢量法：、旋转矢量法： AAp txo M0 tt 二、简谐振动的研究方法二、简谐振动的研究方法24y)(stA -A 1.1.同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成：)()()(21txtxtx )cos( tA)cos(212212221 AAAAA22112211cos

3、cossinsin AAAAarctg A2A1Axx2x1xo1 2 简谐振动的合成简谐振动的合成驱动力作正功驱动力作正功 = 阻尼力阻尼力作负功作负功逐渐耗尽逐渐耗尽守恒守恒能能 量量振动曲线振动曲线先变化后稳定。先变化后稳定。逐渐减小逐渐减小振振 幅幅频频 率率受受 力力受受 迫迫 振振 动动阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动 运动形式运动形式22020 vxA kxf vkxf tFvkxf cos0 mk 0 220 策策 otxxtoxt阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动速度共振速度共振位移共振位移共振机械波的产生机械波的产生1、产生的条件：、产生的条件：波源及弹性媒质。波源及弹性媒

4、质。2、分类：横波、纵波。、分类：横波、纵波。3、描述波动的物理量：、描述波动的物理量：波长波长 ：在同一波线上两个相邻的相位差为在同一波线上两个相邻的相位差为2 的质元的质元 之间的距离。之间的距离。 周期周期T ：波前进一个波长的距离所需的时间。：波前进一个波长的距离所需的时间。频率频率 ：单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。：单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。波速波速u ：波在介质中的传播速度为波速。波在介质中的传播速度为波速。各物理量间的关系：各物理量间的关系：Tu 波速波速u : 决定于媒质。决定于媒质。 ,T仅由波源决定，与媒质无关。仅由波源决定，与媒质无关。机械波的描述

5、机械波的描述波前波前波面波面波线波线波线波线波前波前波面波面1、几何描述：、几何描述：2、解析描述：、解析描述：)(cos),(0 uxtAtxy)2(cos),(0 xtAtxy1）能量密度：）能量密度：)(sin0222 uxtAw3）能流密度能流密度(波的强度波的强度)：uAuwI2221 2）平均能量密度：）平均能量密度：2221 Aw 基本原理：传播独立性原理，波的叠加原理。基本原理：传播独立性原理，波的叠加原理。波动过程中能量的传播波动过程中能量的传播波在介质中的传播规律波在介质中的传播规律1）相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定）相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒

6、定波的干涉波的干涉现象：波的反射（波疏媒质现象：波的反射（波疏媒质 波密媒质波密媒质 界面处存在界面处存在半波损失半波损失）干涉减弱：干涉减弱：,.)2 , 1 ,0()12( kk krr 122)12( k2）加强与减弱的条件：）加强与减弱的条件：干涉加强：干涉加强：,.)2,1 ,0(2 kk 2010若2010若3）驻波（干涉特例）驻波（干涉特例）波节：振幅为零的点波节：振幅为零的点波腹：振幅最大的点波腹：振幅最大的点能量不传播能量不传播多普勒效应：多普勒效应： （以媒质为参考系以媒质为参考系）1）S 静止，静止，R 运动运动sRRuVu s2）S 运动，运动，R 静止静止ssRVuu

7、 R一般运动：一般运动：ssRRVuVu 习题类别习题类别：振动：振动：1、简谐振动的判定。（动力学）、简谐振动的判定。（动力学） （质点：牛顿运动定律。刚体：转动定律。）（质点：牛顿运动定律。刚体：转动定律。）2、振动方程的求法。振动方程的求法。 由已知条件求方程由振动曲线求方程。由已知条件求方程由振动曲线求方程。3、简谐振动的合成。、简谐振动的合成。波动：波动：1、求波函数（波动方程）求波函数（波动方程）。 由已知条件求方程由振动曲线求方程。由已知条件求方程由振动曲线求方程。 由波动曲线求方程。由波动曲线求方程。 2、波的干涉（含驻波）。、波的干涉（含驻波）。 3、波的能量的求法。、波的能

8、量的求法。 4、多普勒效应。、多普勒效应。相位、相位差和初相位的求法：相位、相位差和初相位的求法：解析法解析法和和旋转矢量法旋转矢量法。1、由已知的初条件求初相位：、由已知的初条件求初相位：已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。例例1已知某质点振动的初位置已知某质点振动的初位置 。 0200 vAy且且3 )cos( tAy3 )3cos( tAy例例2已知某质点初速度已知某质点初速度 。02100 yAv且且 )sin( tAvAAv 21sin0 656 or65 00

9、 y2、已知某质点的振动曲线求初相位：、已知某质点的振动曲线求初相位：已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。例例3已知某质点振动的初位置已知某质点振动的初位置 。 AvAy 95. 03 . 000 且且.00的的可可能能值值由由 yvtg.0的的值值的的正正负负确确定定由由 y注意！注意！由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始 条件确定初相位。条件确定初相位。 若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t = 0 时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。时

10、刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。关键：关键：确定振动初速度的正负确定振动初速度的正负。yto12考虑斜率。考虑斜率。例例4 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。 求：求： 1）该质元的振动初相。）该质元的振动初相。 2）该质元在态）该质元在态A、B 时的振动相位分别是多少？时的振动相位分别是多少？yAtocBA A22 A2）由图知）由图知A、B 点的振动状态为：点的振动状态为：022000 vAyt时时，由旋转矢量法知：由旋转矢量法知：yA22 c43 o解：解：1）由图知初始条件为：）由图知初始条件为：00 AAvy0 BBvAy由旋转

11、矢量法知：由旋转矢量法知：AB2 A0 B 3、已知波形曲线求某点处质元振动的初相位：、已知波形曲线求某点处质元振动的初相位： 若已知某时刻若已知某时刻 t 的波形曲线求某点处质元振动的初相的波形曲线求某点处质元振动的初相位，则需从波形曲线中找出该质元的振动位移位，则需从波形曲线中找出该质元的振动位移 y0 的大小的大小和正负及速度的正负。和正负及速度的正负。12yxouP关键：关键：确定振动速度的正负。确定振动速度的正负。方法：由波的传播方向，确定比该质方法：由波的传播方向，确定比该质 元先振动的相邻质元的位移元先振动的相邻质元的位移 y 。 比较比较y0 和和 y 。，则则若若；则则，若若

12、00000 vyyvyyo由图知：由图知： 对于对于1：。则则，00 ovyy。，则则000 vyy对于对于2 ：思考思考? 若传播方向相反若传播方向相反 时振动方向如何？时振动方向如何？例例5一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图。一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图。 求：求：1）该波线上点）该波线上点A及及B 处对应质元的振动相位。处对应质元的振动相位。 2）若波形图对应）若波形图对应t = 0 时，点时，点A处对应质元的振动初相位。处对应质元的振动初相位。 3）若波形图对应）若波形图对应t = T/4 时，点时，点A处对应质元的振动初相位。处对应质元的振动初相位。解：解：1）由图知）由图知A

13、、B 点的振动状态为：点的振动状态为：00 AAvy0 BBvAy由旋转矢量法知：由旋转矢量法知：2 A0 B BA2 2）若波形图对应）若波形图对应t = 0 时，时， 点点A 处对应质元的振动初相位：处对应质元的振动初相位：20 A3 3）若波形图对应）若波形图对应t = T/4 时，点时，点A处对应质元的振动初相位：处对应质元的振动初相位：20 AtT 2 00 A yAxocBA A22 Au求振动方程和波动方程求振动方程和波动方程（1）写出）写出x=0处质点振动方程；处质点振动方程；（2）写出波的表达式；）写出波的表达式；（3）画出）画出t=1s时的波形。时的波形。y)(st2422

14、/2例例1.一简谐波沿一简谐波沿x轴正向传播，轴正向传播，=4m, T=4s, x=0处振动曲线如图：处振动曲线如图： 3 3x x) )- -( (t t2 2c co os s 2 2y y1 1, ,T T( (2 2) )u u ) ); ;3 3t t2 2c co os s( (2 2所所以以y y; ;3 3所所以以0 0, ,；又又v v3 3得得; ;c co os s2 22 22 20 0, ,由由t t; ;2 2T T2 2; ;2 2A A) ); ;A Ac co os s( (t t( (1 1) )y y0 0 解：解：解：解：1）由题意知：）由题意知： 50

15、02 m200 传播方向向左。传播方向向左。2/2A)(my)(mxoA Pm200设波动方程为：设波动方程为：)2cos(0 xtAy由旋转矢量法知：由旋转矢量法知：o4Ay40 )42002500cos( xtAy2）mx100)45500cos( tAy)45500sin(500dd tAtyvy例例2 一平面简谐波在一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率时刻的波形图，设此简谐波的频率 为为250Hz，且此时质点且此时质点P 的运动方向向下的运动方向向下 , 。 求：求：1）该波的波动方程；）该波的波动方程； 2）在距）在距O点为点为100m处质点的振动方程与振动速度

16、表达式。处质点的振动方程与振动速度表达式。m200 例例3 位于位于 A,B两点的两个波源两点的两个波源,振幅相等振幅相等,频率都是频率都是100赫兹，赫兹，相位差为相位差为 ,其其A,B相距相距30米，波速为米，波速为400米米/秒，求秒，求: A,B 连线之连线之间因干涉而静止各点的位置。间因干涉而静止各点的位置。解：取解：取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为x轴，取轴，取A点的振动方程点的振动方程 :)cos( tAyA在在x轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 :)0cos( tAyB BAxxm30 x30O

17、在在x轴上轴上B点发出的行波方程：点发出的行波方程：)30(20cos xtAyB 因为两波同频率同振幅同方向振动因为两波同频率同振幅同方向振动,所以相干为静止的点满足：所以相干为静止的点满足： ) 12()30(22 kxx,.2, 1, 0 k相干相消的点需满足：相干相消的点需满足： )1(230 kxsec/4mu ,.2, 1, 0217 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3 , 1 可见在可见在A、B两点是波腹处。两点是波腹处。BAxxm30 x30 )12()30(22 kxx, 2, 1, 0 k则有：则有：)(2cos xTtAy入入223)(2cos xT

18、tA)(2cos xTtA反反入入yyy )2cos()2cos(2 xTtA 解解:设入射波的波函数为设入射波的波函数为：)2(2cos xOPTtAy反反合振动为：合振动为：例题例题4：如图，一平面简谐波沿：如图，一平面简谐波沿ox轴正向传播，轴正向传播，BC为波密媒为波密媒质的反射面，波由质的反射面，波由P点反射，点反射，OP=3/4,DP=/6.在在t=0时点时点O处处的质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求点的质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求点D处入射处入射波与反射波的合振动方程（设振幅都为波与反射波的合振动方程（设振幅都为A,频率都为频率都为）。）。 xxBCPDO入

19、射入射反射反射)2cos()22cos(2 xTtAy 12/72cos)22cos(2 TtAyD)22cos(6cos2 TtA)22cos(232 TtA)(2sin3SItA 将将D点的坐标代入上式，有点的坐标代入上式，有所以有所以有故有故有：又由又由时时处处0,0 tx00cos2 vAy且且 2/ )(2cos1TtxAy)/(2cos2TtxAy21yyy)21/2cos()21/2cos(2TtxAnx21/2)21(21nx2121/2nxnx21例例5. 设入射波的表达式为设入射波的表达式为 反射点为一固定端设反射时无能量损失，求反射点为一固定端设反射时无能量损失，求 (1

20、) 反射波的表达反射波的表达式；式； (2) 合成的驻波的表达式；合成的驻波的表达式； (3) 波腹和波节的位置波腹和波节的位置 解解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变反射点是固定端，所以反射有相位突变 ，且反射波振，且反射波振幅为幅为A，因此反射波的表达式为，因此反射波的表达式为 (3) 波腹位置：波腹位置： 波节位置：波节位置： , n = 1, 2, 3, 4,在在x = 0处发生反射，处发生反射，(2) 驻波的表达式驻波的表达式n = 1, 2, 3, 4,在均匀不吸收能量的媒质中传播的平在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。面波在行进方向上振幅不变。借助

21、于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：讨论讨论: : 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅证明：因为证明：因为在一个周期在一个周期T内通过内通过1S和和2S面的能量应该相等面的能量应该相等,TSITSI2211 SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA 所以所以, ,平面波振幅相等：平面波振幅相等：u1S2S2224 rS 2211rArA ;rS2114 2r由于振动的相位随距离的增加而由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：面简谐波的波函数：)(cosu

22、rtrAy 1r球面波球面波TSAuTSAu222212122121 所以振幅与离波源的距离所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位成反比。如果距波源单位距离的振幅为距离的振幅为ArA则距波源则距波源r r处的振幅为处的振幅为例例6 一个点波源位于一个点波源位于O点，以点，以O为圆心作两个同心球面，半径分为圆心作两个同心球面，半径分 别为别为R1 、R2 。在两个球面上分别取相等的面积在两个球面上分别取相等的面积S 1和和 S 2， 则通过它们的平均能流之比则通过它们的平均能流之比P 1 / P2为：为：uSAP22211R2Ro1S2S1S2S21RRPP222212212121uSAu

23、SA2222212144RARA1221RRAA1221121SuAP2222221SuAP2122222121RRAAPP1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米， 时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为：时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为：cmtxEcmtxDcmtxCcmtxBcmtxA)4/3/4cos(2)3/23/4cos(2)3/23/4cos(2)3/23/2cos(2)3/23/2cos(2) )(cmx1o)(st21 C 322、图示为一向右传播的简谐波在、图示为一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图

24、，时刻的波形图，BC为波密为波密 介质的反射面，介质的反射面，P点反射，则反射波在点反射，则反射波在 t 时刻的波形图为时刻的波形图为:yxoACBPxoAPyxoAPyxoAPyxoAPy B （A）（B）（C）（D）3、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿 x 轴负方向传播。已知轴负方向传播。已知 x = x0 处质点的处质点的 振动方程为振动方程为 。若波速为。若波速为u，则此波的则此波的 波动方程为：波动方程为：)cos(0 tAy 00000000/)(cos)/)(cos)/)(cos)/)(cos) uxxtAyDuxxtAyCuxxtAyBuxxtAyA A ox0 xx)(cos)

25、,(0 uxtAtxy4、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方 程分别为程分别为 其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为 x = ( )()12/19cos(05.0)()4/cos(05.021SItxSItx )12cos(05.0 t1M1x2x2M5、已知三个简谐振动曲线，则振动方程分别为：、已知三个简谐振动曲线，则振动方程分别为：txcos1 .01)2cos(1 .02tx)cos(1 .03txto10)(cmx102x2133x1x1x3x2x)2cos(1 tAy6、两相干波源、两相干波源S 1 和和 S 2 的振动方程是的振动方程是 ， S 1 距距P 点点 6 个波长，个波长， S 2 距距P 点为点为13 / 4 个波长。两波在个