曹培英：《课标十大核心词》的案例解读

1、曹培英：课标十大核心词的案例解读今天上午我们在课标中讲到了义务教育数学课程标准（ 2011 年版） 中，知道了此次课标的最大改变是：双基”变“四基” 。 四基：数学 的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 “六个核心词” 变“十个核心词” ：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据 分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、 应用意识、创新意识 。 其中：几何直观、运算能力、模型思想、创新意识是新加上去的。 下面我们一一对十个核心词进行讲解：一、数感 ：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计 等方面的感悟。 建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理 解或表述具体情境中的数量

2、关系。 如同球员的球感，歌手的乐感一 样（姚明是大家都比较熟悉的，他在 NBA 赛场上，大家都看到他一个 个漂亮的投球、一个个漂亮的动作，这都是跟他的球感分不开的；还 有歌手，之所以成名，是因为他们具有较好的音乐细胞，具有较强的 音乐感分不开的，如果一个人，五音不全，也就是说他缺少音乐感， 你想说他要成为一个歌手那就是做白日梦一样， 就是让他唱一首普通 的歌曲都很难的。） 简单、通俗地说，数感就是数的感觉。 教学数 数、数的基数意义与序数意义、 数序与数的大小比较都有助于形 成数感。数感培养实践的误区 误区之一：数感是与生俱来的，后天无法养成（龙生龙、凤生凤、老 鼠生来挖地洞；猫生猫、狗生狗、

3、小偷儿子三只手的思想） 不可否认，某些数学家天生就有很强烈的数感， 10 岁的高斯毫不费 劲地完成了等差数列（比如由 1 到 100 的自然数） 求和，得益于他对 计算方法的直接把握； 12 岁的帕斯加独立完成了三角形内角和定理 的证明，一直为人们津津乐道。 瑞士著名的伯努利家族在三代人中产 生了八位数学家， 我国南北朝祖氏父子、 清朝梅文鼎祖孙的数学成就 闻名于世，但毕竟是凤毛麟角，屈指可数。数感的形成固然有遗传因素和家族影响的作用， 而更多是后天努力的 结果。解析几何创始人笛卡儿出身于法国贵族家庭， 父亲是政府雇员； 牛顿出身在英国农民家庭，还是遗腹子，全靠自己努力取得成功；概 率论奠基者

4、拉普拉斯的父母是法国农民； 费马则是法国皮革商的儿子。 我国古代数学家刘徽、杨辉、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、 徐光启、李善兰，他们家族中没有一人是数学家，他们的数学素养全 靠后天养成。 更何况数学新课程的培养目标不是数学家， 数学教育的 目的在于提高学生的数学素养， “获得适应未来社会生活和继续学习 所必需的数学基本知识和技能” ，会“数学地”思考问题。 误区之二：数感的培养必须通过数学情境 通过创设情境激发学生的数学学习兴趣， 这是新课程所提倡的， 本身 无可厚非。 问题是有些教师过于追求教学的情境化， 为了创设情境可 谓是“冥思苦想”，好像数学课脱离了情境，就不是新课程理念下的 数

5、学课。为了培养数感， 今天是去商店“买东西”，明天要旅游点 “买 门票”，后天又是计算“存款利息”，或者呢今天喜洋洋、 明天灰太狼、 后天黑猫警长，一派糊涂， 刚开始的新鲜劲一过，学生们渐渐习以为常，情境也就失去了新异性，根本不能激起他们的兴趣。 误区之三：脱离学生实际的“自编题” 为了贴近生活，老师常常“挖空心思”编造一些题目来帮助学生建立 数感，由于忽视了学生的生活基础往往显得不伦不类。比如：“ 100张新版的 100 元人民币捆在一起有多厚？ 1 亿张 100 元人民币有多 厚？”想想一下，有多少个孩子，特别是农村孩子，有测量 100 张 100 元人民币的机会。同样的理由，在课堂上让学

6、生完成下面这道题 也有点不切实际：“请你测量一张新版 100 元人民币的长、宽及厚度 是多少？假如这种人民币有 100 万元，请你为银行设计一种长方体铁 箱来装这 100 万元，长方体铁箱的长、 宽、高最少是多少？你有哪几 种方案？”难道我们的小学生当场都能摸出 100元钱？其实， 用学生 身边的东西也可以达到同样的目的： “量一量你的数学课本，每页纸 的厚度大约是多少？这本书有多厚？ 100 本这样的书摞在一起有多高？ 1 亿本呢？” 过于依赖量，过于特殊的量下面是一个很好的案例： 利用千字文这个例子来让学生认识数感是一个比较贴近生活的例子。（A学生有可能会一个一个地数；B可以一行一行地数，

7、每行有 20个，共有50行；C可以一列一列地数，每列有50个，共有20列； D 两列共 100 个，两列两列地数，有这样的 10 组； E 一行 20 个， 5 行就是 100 个，这样每 5 行就是 100，做个记号，最后一数共有 10 个 100 ，就是 1000。) 将千字文贯穿于教学各个环节，绝非牵强附会、哗众取宠，用千字文 远非教材中立方块所能比拟， 而且不但能激发兴趣， 更能让孩子们在 无形中受到文学熏陶，让课堂弥漫着别样的人文气息。 (学科渗透) 3000006000 三十亿零六千 (我们平时在教学学生读数的时候， 都是要求学生按照每一级末尾的 0 不读；每一级开头的 0 或中间

8、有 0 都要读出来，但不管有多少个 0 只读一个就行。) 在这里这个“零”能不能去掉30600，30060，30006-L_- J-1 、. U-*- -1. J-1 、. 、- -1. J-1 、.三万零六百 三万零六十 三万零六 接下来的这些“零”能不能去掉，去掉后会有什么变化？ 6789 读作( )千 ( ) 百 ( ) 十 ( ) ； 6789由( )个千，( )个百，( )个十和( )个一组成 . 6789=( )x 1000 + ()x 100 + ()x 10+ () 这三道练习是让学生通过读数、数的组等来让学生读出数感来。 怎样培养学生的数感：1. 在数概念教学中培养数感( 1

9、 )图形的展示让学生从数的概念的认识中，遵循学生的认知规律 和年龄特征， 先从一到十到百到千到几千的认识， 让学生感知到数形 成和大小。2)看图写数这个练习 (数概念直观化的练习 )是让学生直观的认识，让学生增强数感 （3）第 2 到练习是（数概念生活化的练习）是把数概念渗透到生活 中去，让学生从具体的情境中去感悟 10000 有多大，同时大家都知道； 数学来源于生活，有服务于生活，所以在这，教师注意选材，让学生 能真正的体会出 10000 大概会有多大。（4）前面的读一读、填一填的练习（数概念形式化的练习） “多样化”旨在“各取所需” ，适应不同学生！这里的“多样化” 是指在取材方面要适合学

10、生的需求、适应不同的学 生。2. 在计算教学中发展数感 小数乘法计算法则的推导通过形象直观的图表，让学生先知道 0.15X 3可以看成是有3个0.15，也可以看做先有3个0.1,再加上3个0.05。分数除法计算法则的推导是结合直观的演示， 让学生感知 6 除以三分 之二，其实就是把 1 小时的路程看成一个整体， 也就是 3份中的 2份 是6 ,那1份就是6宁2,3份就是6宁2X 3,从而有根据前面学过的 分数除以整数就可以换成乘倒数， 再结合结合律， 计算法则自然就会 推导出来。小学数学历来重视数感培养,从“自发”走向了“自觉”3. 在解决实际问题中展现数感72X 15= 1080 （米）10

11、80 稍大于 1000；就应该在少年宫的东面1080 超过 2000 的一半多一点，从而就容易标出相应的点。都是真正 的数感，与量无关二、符号意识 ：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、 数量关系和变化规律； 知道使用符号可以进行运算和推理， 得到的结 论具有一般性。 建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表 达和进行数学思考的重要形式。对于儿童来说，在幼儿园或一年级老师常常教幼儿读儿歌：1 像铅笔，会写字。 2 像鸭子，水中游。3 像耳朵，听声音。 4 像小旗，迎风飘5 像称钩，来买菜。 6 像哨子，吹声音。7 像镰刀，来割草。 8 像麻花，拧一道9 像蝌蚪，尾巴摇。 10 像铅

12、笔加鸡蛋（贯穿数形结合的思想） 其实数字也是一种数学符号。 把数与形结合起来， 这也是一种符号意 识。 对于小学数学来说： 首先是让学生亲近符号， 接受、理解符号！ 怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？1. 运算符号 ：“”从演示过程看，加号更直观的表示合并； “” 从演示过程看，减号更直观的表示去掉一部分；“X”从演示过程看，乘号是加号的特殊形式，因而乘法就是加法的特殊（简便）的运 算；从演示过程看，除号表示平均分，非常平均。（上下一样）2. 关系符号=”处处平衡（“再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等“”向左张开，不平衡，伸出右手两指张开就形成一个“”。“V”向右张开，不平衡，伸出

13、左手两指张开就形成一个“V”。“”处处变弯，但间隔接近。“工”在等于号上打了一撇，表示不相等。诸如此类，举不胜举。可见：数学符号如同“象形文字” ，简洁、生动、形象、传神。 符号 本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。 任何教学艺术、任何 语言描绘，都相形见绌！ （chu）3. 其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。乘法分配律中，两个数与它们、一个数与这个数是对应的，但是数字 符号至局限于本道题，而用字母表示它就可以随意了。（数学魔术）你想一个整数，把它乘 2 加 7，再把结果乘 3 减 21。告诉我计算结果， 我立即能判断出你想的整数是多少？设：所想的数为 x，则（2x+ 7 ）X 3-2

14、1=6x+ 21-21=6x其实这里的密密就是 6 的倍数，（也就是说你要说出的整数必定是 6 的倍数才符合题意）就直接把这个数除以 6 就可以得到该数。三、空间观念 ： 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体； 想象出物体的方位和相互之 间的位置关系；描述图形的运动和变化； 依据语言的描述画出图形等。 实际物体 几何图形特征描述在教学几何图形的时候， 遵循学生的认知规律和教材的编排意图， 一 般情况都是先于实际物体让学生通过观察、 探索，从中抽象出几何形 体，然后再次根据实物和形体进行特征描述。空间观念发展规律 例如：指认圆柱高空间知觉（表象的基础）实

15、物指认J空间观念（表象的形成）图形指认J空间想象（表象的改造）剖面指认三种水平既递进发展，又交错共存 小学生空间观念发展的若干特点（1）从感知强成分到感知弱成分 强弱具有相对性 ,特殊性 如：形状；边的长短是强成分； 关系；角的大小是弱成分。 （第一个图的展示）在人的错觉中，认为角的边越长，角就越大，第 一个图的展示是通过平移后， 两个角刚好完全重合， 让学生更加加深 角大小不是由边的长短有关，而是与角的张开的大小有关。第二个图的展示） 初看给人的感觉好像就是一个平行四边形， 但是 通过直观的演示后知道上下两条边不一样长，它应该是一个梯形。（2）从认识单一要素到认识要素间关系A 第一个图展示就

16、是从单一变多样， 第一次显示就是两条直线互相垂 直，单纯表示垂直这个要素； （单一的要素）第二次演示又加了两条 斜线，形成了不同的角，既有直角的表示、又有锐角、钝角、平角的 要素；同时也很好地让学生知道锐角、 直角、钝角、平角之间的关系。 （要素间关系）B第二道题是关于能不能装下的问题，如果单从体积比较来说，盒子 的体积比物体的体积大，就会出现能装下的可能； （单一的要素）但 是真正能装得下， 就是实物的每一条表都要比盒子的边要小， 这就是 要求高的问题， 这道题其实就是涉及到学生都对题目思路的要求的要 素问题。（三种要素都要考虑）（3）从熟悉标准图形到熟悉变式图形 第一个图示要求从中能找出几

17、对相等的三角形， 通过演示让人更加容 易知道（ 1）从等底等高的三角形面积相等的图形有两对；而从面积 相等的两个图形中去掉同一个部分后面积相等的图形有一对， 共有三 对。（标准图形） 第二个图形也是从相等图形中去掉同一个三角形得到两个面积相等 的四边形。（变式图形）（4）从直观辨认图形到语言描述特征如：识别梯形-说出梯形特征（5）从使用日常语言到使用几何语言如：底面T横截面（6）从形成二维空间观念到三维空间观念1、图形 A 的展示是比较周长的大小，通过直观演示，进行平移代换 感知周长的相等。2、图 B 的展示是比较表面积的大小，通过直观演示，进行移动代换 感知表面积是一样的。怎样发展学生的空间

18、观念？（1）观察：有序观察，选择对象，变换角度（2）操作：学会画图，动手操作，自我释疑（ 3）变式：变化形状，变化位置，变化大小（ 4）辨析：同中见异，异中求同，精确分化（5）结合：形象与语言结合，数与形结合四、几何直观 ： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助 几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、 形象，有助于探索解决问 题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中 都发挥着重要作用。案例 1：团体操原来队伍每行 10 人,有 5 行。现在调整成每行增加 3 人，增加 2 行，现在需要增加多少人？案例 1 通过把数转换成形体展示，借助几何直观把问题

19、简单化。案例 2 比较两种图形的大小， 大的圆形的面积等于四个小的圆形的面积总和，但是图中重叠的部分共有八分， 把其中四份换到空白部分就 是形成整个圆，从而就可知两种图形的面积相等。五、数据分析观念数据分析观念包括： 了解在现实生活中有许多问题应当先做调 查研究，收集数据， 通过分析做出判断， 体会数据中蕴涵着信息； 了 解对于同样的数据可以有多种分析的方法， 需要根据问题的背景选择 合适的方法； 通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每 次收集到的数据可能不同， 另一方面只要有足够的数据就可能从中发 现规律。 数据分析是统计的核心。注重学生理解数据分析是从了解 到体会的过程，是按一定的

20、认知规律来的。案例 1：小学生的研究性学习 案例 2：两幅条形图蕴涵的信息 研究性学习的缘起：父子争论，看电视是否影响视力？ 自行设计调查问卷：1.你平均每天看多长时间的电视？半小时以下半小时1小时1 小时以上2.你的视力怎样？5.2 5.15.0 4.9 4.8 4.74.7 以下在统计的过程中， 该学生先通过调查收集相关数据， 然后根据调 查到的数据制成条形统计图，从条形统计图中明显表示出： 视力是 5.2 5.1 的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多； 视力是 5.0 4.9 的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多； 视力是 4.8 4.7 的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多

21、； 视力是 4.7 以下的的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多； 1.从中可以看出，在每个视力段里头，都是显示每天看半小时至一小 时的人数最多。2.从而可以得知：每天看电视时间不要过长，时间在半小时至一小时 为宜。3. 第二个图是动画片的投入和收益的信息。 “我为歌狂”投资大于收 益；而“狮子王”却是投入大，但收益却是投资的 16 倍多，这就是 国产动画片和国外动画片的制作差距的问题。（现在国内多数动画产品， 都达不到国际入门级水平， 它们实际上不 是动画作品， 更准确地说只是动漫产品。 动画产品是完全靠绘画表现 力去吸引人的作品， 而国内动画片制作因为成本问题， 大多数仅是电 脑FLAS

22、H软件制作出来的无纸动画产品，而非靠大量人力去手绘每一 个动作与神态。按照国际市场标准制作一部动画片的成本大概是我们 目前行业内动画产品的十倍， 由于成本太高， 我们的市场对这种制作 水准的动画片没有消化能力。 ）数据中蕴涵着信息 。图的直观性可能产生“误导” 。一格表示的数量 越小 ，条形的长短相差越大。初看这两幅条形统计图，给人的感觉 就是第二幅图的数据比第一幅大， 但是仔细一看却是第一幅图的数据 比第二幅图的数据大， 这是由于两幅图的起点不同， 还有两幅图数据 间隔不一样，每个表示的数量不同。条形图与折线图可以混用 ：条形统计图和折线统计图混用更直观的 知道变化的情况。 很难有一个标准来

23、衡量， 用条形统计图好还是折线 统计图好。 所以在教学中不要讲得那么的绝对， 这主要起决于图形绘 制者想表达怎样的信息。条形与折线可以混用。六、运算能力 ：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的 能力。 培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的 运算途径解决问题。合理选择算法正确运算(1)打破以往的小数、分数的乘除法的计算方法，一般情况是要把 小数化成分数、 或把分数化成小数、 或采取直接约分的方式来进行计 算，而这这里却是把小数看成整数的方法来进行计算，因而可见，合 理地选择计算方法是很重要的， 不能强求同意的方法， 这也是显示出 不同的人在数学上得到不同的发展这一理念。(

24、2) 56 X 9=560-56=50456 X 63=504 X 7=3528这两道题目的计算， 其实就隐含着乘法分配律和结合律的运用， 只不 过是在过程中省略一些步骤。列竖式计算，第一步学生可以按照 3 和 56 相乘得到 168，而第二部 是应该是再把 6 和 56 相乘，也可以这样认为， 6 是 3 的 2 倍，所以 就直接写出 168的 2倍就是 336，把它对号入座。 估算过程中的合理判断第一种方法把 18 看成 20，看大了，得到的积就会比实际结果大； 第二种方法是把 22 看成 20，把 18 看成 20，一个看大，一个看小， 积就更加接近实际的结果；第三种方法是把 22 看成

25、 20，得到的结果就会比实际结果小。 传统的“简便运算”适度保留，发挥它的训练功能。89 X 1.0仁89.89 在计算时只要把1和89相乘得到89，再把1和89 相乘写在相应的位置， 其实这里也隐含着乘法分配律， 但在这里更加 简便。反例是学生忽略了运算的顺序，这是一种定势的影响。 寻求合理简洁的运算途径解决问题。题目（1）按常规的想法一般都是把其中三个不同的数进行组合相加 算出相应的和， 而在这里却是先算出四个数的总和， 再把和分别去减 掉最小的数和最大的数，方法更加简便。题目（2）一般的算法是把 100 分别减去 48 和 47，或者把 100 减去48 和 47的和；但是在这里把 10

26、0 分成两个 50，再把两个 50 分别减 去 48 和 47，再求出和。七、推理能力 ： 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推 理是数学的基本思维方式， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式。推理一般包括合情推理和演绎推理， 合情推理是从已有的事实出 发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是 从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算 的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。 在 解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探 索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。案例 1：因为3X 6= 18所以30X 6

27、00= 18000凭借经验和直觉一合情推理（先把 3 和 6 相乘得 18，再加上 3 个 0）因为3X 6= 18所以30X 6= 18个十凭借数的概念一演绎推理（30 表示有 3 个是十， 3 个十和 6相乘就得 18 个十）所以30X 600= 180个百（600表示有6个白百，30X 600就是6个百和30相乘，就是180个百）案例 2：因为长方形面积=长乂宽所以长方体体积=长乂宽乂高类比合情推理案例 3：图形体积是通过演示叠放小正方体来进行推算 根据体积单位概念 与计数演绎计算（一行排几个（长），排几行（宽），有几层（高）要运用几个小方块 才能拼成这个大正方体， 也就是要把几个乘几行

28、再乘几层， 从而可推出长方体体积=fex宽X高）八、模型思想： 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联 系的基本途径。建立和求解模型的过程包括： 从现实生活或具体情境中抽象出数学问 题，用数学符号建立方程、 不等式、函数等表示数学问题中的数量关 系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想， 提高学习数学的兴趣 和应用意识。单价X数量=总价本金X利率=利息y：x= k（一定）； xy= k（一定）小胖每分走 40 米，小巧每分走 60 米，他们从相距 1500 米的两地同 时出发，相向而行，几分钟后相遇？师徒合作加工零件， 15 天共做 1500 个

29、，师傅平均每天做 60 个，徒 弟平均每天做几个？篮球、足球各买 15 个，篮球每只 40 元，足球每只 60 元，一共应付 多少元?如图，求两种蔬菜的总面积 （单位：米 ）。以上几道题目其实它是可以看成是一个ax b+ cx d = s 一个模式的题目，也就是说这几道题它具有这样的数量关系。图1和图2的展示图也是一样的具有ax b+ cx d = s这样的模式。以小胖每分走 40 米，小巧每分走 60 米，他们从相距 1500 米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？为例设 x 分钟后两人相遇40x+ 60x= 150060x= 1500 40x40x= 1500 60x1500- x 6

30、0 = 401500= 40x + 60x1500 40x= 60x1500 60x= 40x(60+ 40)= 15001500 - x= 60 + 401500 - x40 = 60这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考。 水池同时打开进水管、出水管，几小时后水池满？ （崔永元在他的不过如此中写道： “对我来说，数学是疮疤，数 学是泪痕，数学是老寒腿，数学是类风湿，数学是股骨头坏死，数学 是心肌缺血，数学是中风 .。当数学是灾难时，它什么都是，就 不是数学。”竟然有人如此痛恨数学，象崔永元这样的名人始终难以 摆脱数学的恐怖阴影，值得我们数学教师深刻反省！ ） 动态平衡的数学模型 只是“取材不当”九、应用意识 ：应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数 学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象， 解决现实世界中的问 题；另一方面， 认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问 题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。图1 利用“左右的相对性” ，解释左右是人教版一年级下册第一单元中内容， 学生生下来父母就教会了 学生认识左右， 这是作为父母最基本的职责， 数学上的左右实际上是 一种序的规定，所谓“左右的相