基本不等式非常全面

1、28基本不等式专题辅导222、基本不等式一般形式（均值不等式） 若a,b R,则a b2ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,b R*，则2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“=”a b特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式（1）若a, b,c, d R，则（a2b2）（c2d2） （ac bd）2(2)若a1, a2, a3, bi, b2, b3R，则有：22 2 2 2 22一、知识点总结1、基本不等式原始形式二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式(1

2、)若a,b R，则a2b22ab1、设a,b均为正数，证明不等式：、.ab二(2)右a, bR，则 aba,b,c为两两不相等的实数，(2)若a, b R,则abb2abbcca4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1)若x 0，则x 2（当且仅当x1时取“=”)x12（当且仅当x1时取X(3)若ab 0,则-2 （当且仅当ab时取b a22(4)若a, b R，则 ab（b)2ab2 2(5)若a, b R，贝 U1. a abba2b2v-1122(1已知aa,b,ca )(11,求证:b)(1 c) 8abca, b, c R28(a1a2a3)(柑b?b3)(aQa?

3、b2asbs)(3)设a1,a2, ,an与 db, ,b是两组实数，则有222p222佝a2a.)(0 b2bn)(日山 a2b2anbn)42x 46、（2013年新课 标H卷数学（理）选修 4 5 :不等式选 讲设a,b,c均为正数,且a b c 1,证明：(i) ab bc ca13；（2 , 2 2a b c ,n)1.b c a7、（2013年江苏卷（数学）选修 4 5 :不等式选u讲已知a b 0,求证：2a3b32ab2a2b题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)y 3x22x(2)yx(4 x)1(3)y x(x 0)x(4)y1x (x 0)x题型三：利用不

4、等式求最值（一）（凑项）1、已知x 2，求函数y2x42x 4的最小值;变式 1 :已知x 2，求函数y2x42x 4的最小值;变式 2：已知x 2，求函数y 2x的最大值;42x 45，求函数 y 4x 2- 的最大值;44x 5题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当LI，一时，求y x(82x)的最大值；3、求函数y 2x 15 2x(- x -)的最大值;2 2(提示：平方，利用基本不等式)变式 1：当I.二时，求y 4x(82x)的最大值;变式：求函数 y . 4x 311 4x(3 x W)的最大值;44练习：1、已知x5,求函数 y 4x 2_的最小值;44x 52、若0

5、x 2，求y . x(63x)的最大值;2、已知X变式：若0 x 4，求y . x(8 2x)的最大值;3变式 2：设0 x，求函数y 4x(32x)的最大值。x y题型五：巧用“1”的代换求最值问题1 11、已知a,b 0,a 2b 1，求t丄-的最小值;a b法一：xy变式 5：（1 ）若x, y 0且2x y1. 1 11，求一x y的最小值；（2）若a,b,x, y R且axb，求xyy的最小值;19变式 4：已知x, yO,且4，求x y的最小值;a b变式 2：已知x, y 0, 一x y1，求xy的最小值;变式 1：已知a,b 0,a 2b 2，求t -1的最小值;、1 1变式3

6、:已知x, y 0，且9，求x y的最小值。变式 6：已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若-14存在两项am, an，使得am3n4厲，求的最小值；m nx y题型六：分离换元法求最值（了解）x27x 101、求函数y（x1）的值域;x 1题型七：基本不等式的综合应用ab1、已知log2a log2b 1，求39的最小值2、（ 2009 天津）已知a, b 0,求2、ab 的最小值; a b21 1式a的最小值;ab a(a b)变式 2：（2012 湖北武汉诊断） 已知，当a 0, a 1时，函数y loga（x 1） 1的图像恒过定点A，若点A在直变式：求函数y1）的值域;2、求函

7、数y（提示：换元法）变式 1： （2010 四川）如果a b 0，求关于a,b的表达变式：求函数y航的最大值;线mx y n 0上，求4m2n的最小值;3、已知x, y 0,x2y 2xy 8，求x 2y最小值;4、（ 2（)13年 山东（理）设正实数x,y,z满足2x3xy4y2z 0,则当xy取得最 大值z时,21-的最大值为()xyzA.0B .1C9D .34（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）变式 1:已知a,b 0，满足ab a b 3，求ab范围;变式 2: （2010 山东）求xy最大值；（提示:已知x, y通分或三角换元）2变式：设x,y,z是正数，满足x 2y

8、3z 0,求的XZ最小值；变式 3: （ 2011 浙江）求xy最大值；已知x, y 0，x2y2xy 1，题型八：利用基本不等式求参数范围i、（ 20i2 沈阳检测）已知x, y 0,且（x y）（! 旦）9 x y恒成立，求正实数a的最小值；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式a b（a,b, c, d R,当且仅当一 一；即 ad be 时等号成立）c d若a, b,c,d R，则（a2b2）（c2d2） （ac bd）22、二维形式的柯西不等式的变式（1）Ja2b2Jc2d2ac bd（a,b,c,d R,当且仅当a-;即 ad be 时等号成立）c d（2）. a2b2、c

9、2d2ac bd（a,b,c,d R,当且仅当a-;即 ad be 时等号成立）c d（3）（a b）（c d） （. ac . bd）2（a,b, c, d 0,当且仅当-;即 ad bc 时等号成立）c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式（当且仅当0,或存在实数 k,使 a k 时,等号成立）4、三维柯西不等式若ai ,a2, a3,bi,b2,b3R，则有:5、一般n维柯西不等式设 42,an与 bi,b2, ,bn是两组实数，则有：z22(aia2an2)(b2b22bn2) (一 bia2b,日“)2（a,biR,当且仅当色邑也时等号成立）14变式：已知a,b 0满则丄-a b求c

10、的取值范围；2，若a b c恒成立,/ 2 2(aia2a32)(ibi2b22b32)心柑 a?b2asbs)2（卅R,当且仅当 b b a 时等号成立）i i n2、已知x y z 0且-恒成立,x y y z x z如果n N，求n的最大值；（参考：4）bib2bn析：令a(2sin ,3cos ， cos )，b(1, sin，cos )题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设x, y, z R，若x2y2z24，则x 2y 2z的析：(x2y2z)2(x2 2yz2)12( 2)2224936 x 2y2;z最小值为6此时xyz6212212(2)2223244x,yz33，32、设x, y, zR,2xy 2z6，求x22 2y z的最小值m,并求-此时x,y, z之值。4 24最小值为_时，（x, y,z）_Ans:m 4;(x，y，z)(3, 3, 3)3、设x, y,z R，2x 3y z 3，求x2（y 1）2z2之最小值为_，此时y_(析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0)4、（2013年湖南卷（理）已知a, b, c , a 2b 3c 6,则a24