提高例题相交线与平行线培优

1、 七年级数学：相交线与平行线 一、知识要点： 1平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一 个交点。 3垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2） 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角 分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 _ ;如果两个角都在两直线之间， 并且分别在第三条直线的两侧， _ 具有这种关 系的

2、一对角叫做 :如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同 一旁，具有这种关系的一对角叫做 _ 5.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 _ . 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 _ . 6 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： _ 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那 么这两条直线平行 .简单说成： _ .两条直线被第三条直线所 截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： _ . 7 .在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 &平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同

3、位角相等 .简单说成： _ _ .两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .简单说成： _ .两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 .简单说成： _ 。. 方法指导：平行线中要理解平行公理， 能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、 同旁内角，并会运用与“三线八角” 有关的平行线的判定定理和性质定理， 利用平行公理及 其推论证明或求解。 、例题精讲 例 1.如图 ，直线 a 与 b 平行，/ 1 = （3x+70），/2=（5x+22） 求/ 3 的度数。 解：/ a/ b, / 3 =Z 4 （两直线平行，内错角相等） / / 1 + Z 3 =/ 2+Z 4= 180 （平

4、角的定义） / 1 = / 2 （等式性质） a 则 3x+70= 5x+22 解得 x=24 即/ 1 = 142 / 3 = 180 -Z 1 = 38 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组） 例 2.已知：如图（2）, AB/ EF/ CD, EG 平分Z BEF, Z B+Z Z B-Z D=24,求Z GEF 的度数。 解： AB/ EF/ CD Z B=Z BEF, Z DEF=Z D （两直线平行，内错角相等） Z B+Z BED+Z D =192 （已知） 即 Z B+Z BEF+Z DEF+Z D=192 2 （Z B+Z D） =192 （等量代换） 则Z B+Z D=

5、96 （等式性质） Z B-Z D=24（已知） Z B=60 （等式性质） 即Z BEF=60 （等量代换） / EG 平分Z BEF（已知） Z GEF=1 Z BEF=30 （角平分线定义） 2 例 3.如图（3）,已知 AB/ CD,且Z B=40 ,Z D=70,求Z DEB 的度数。 解：过 E 作 EF/ AB / AB/ CD （已知） EF/ CD （平行公理） Z BEF=/ B=40 Z DEF=/ D=70 （两直线平行， 内 错角相等） Z DEB=Z DEF-Z BEF Z DEB =Z D-Z B=30 评注： 证明或解有关直线平行的问题时， 如果不构成“三线八角

6、” 图（3） 例 4.已知锐角三角形 ABC 的三边长为 a, b, c,而 ha, 求证：ha+hb+hcV a+b+c 分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段 证明：由垂线段最短知，haV c , hbVa, hcV b 以上三式相加得 ha+hb+hcV a+b+c 研究垂直关系应掌握好垂线的性质。 2.垂线段最短。 例 5.如图（4）,直线 AB 与 CD 相交于 O, EF?AB 于 F, GH?CD 于 H, 求证 EF 与 GH 必相交。 分析：欲证 EF 与 GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。 证明：假设 EF 与 GH 不相交。 EF、GH 是两条不同的直线

7、EF/ GH图 ，是几何计算常用的方法。 图 hb, hc分别为对应边上的高线长, 1.以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。 G E F ，则应添出辅助线。 A H F E G D C O B EF?AB GH?AB 又因 GH?CD 故 AB/ CD 垂直于同一直线的两直线平行 ) 图(4) 这与已知 AB 和 CD 相交矛盾。 所以 EF 与 GH 不平行，即 EF 与 GH 必相交 评注：本题应用结论： (1) 垂直于同一条直线的两直线平行。 (2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线； 例 6.平面上 n条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上

8、直线共点，有多少个不同交点？ 解：2 条直线产生1 个交点， 第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交 占； 八、 第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个 交点； 、 1 贝 U n条直线共有交点个数： 1+2+3+ (n-1)= n(n-1) 2 评注：此题是平面上 n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考， 从中发现规律。 例 7. 6 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条 直线？ 解：6 条不同的直线最多确定

9、： 5+4+3+2+仁 15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条 直线，即能确定的直线为 15-2=13 条。 另法： 3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线， 这 3 点与直线上的 3 点最多有 3 X 3=9 条直线，加上 3 点所在的直线共有：3+9+仁 13 条 1 评注：一般地，平面上 n个点最多可确定直线的条数为： 1+2+3+(n-1)= n(n-1) 2 例 8 10 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域? 3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成 3 段， 每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加 3

10、 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域； 同理：4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域； 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域 1 1 推广：n条直线两两相交，最多将平面分成 2+2+3+4+n=1+ n(n +1)= (n2+n+2)块不同的 2 2 区域思考：平面内 n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域? 例 9.平面上 n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于 证明：平面上 n条直线两两相交最多得对顶角 乜 卫x 2 = n(n-1)对，即 2n(n-1)个角 2 平面上任取一点 O,将这 n条直线均平

11、行移动过点 O, 成为交于一点 O 的 n条直线， 这 n条直线将以 O 为顶点的圆周角分为 2n个(共 n对) 互不重叠的角：？!、？2、？3、?2n 由平行线的性质知，这 2n个角中每一个都和原来 n条 直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这 2n个角 均是原 2n(n-1)个角中的角。 +?2n =360。，产生矛盾 评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。 例 10. ( a)请你在平面上画出 6 条直线(没有三条共点)，使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，并简单说明画法。 (b)能否在平面上画出 7 条直线(任意 3 条都不共点)，使得它们中

12、的每条直线都恰 与另 3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。 解：(a)在平面上任取一点 A。 过A作两直线 m1与n1。在n1上取两点B, C,在m1 上取两点D, G。过 B 作 m2 m1,过 C 作 m3 / m1,过 D 作 n2 / n1,过 G 作 n3/ n 1,这时 m2、m3、n2、n3 交得 E、 F、H、I四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交， 所以，图中每条直线都恰与另 3 条直线相交。 (b)在平面上不能画出没有 3 线共点的 7 条直线，使得 其中每条直线都恰与另外 3 条直线相交。 理由如下： 假设平面上可以画出 7 条直线，其中每一条都恰与其

13、它 个交点，又没有 3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另 根据直线去计数这些交点，共有 3X 7= 21 个交点，但每个交点分属两条直线，被重复 计数一次，所以这 7 条直线交点总数为 =10.5 个，因为交点个数应为整数，矛盾。 2180 n 若这 2n个角均大于 180 n 则?1+?2+?3- ?2n 2n x 竺=360 故 ？1、?2、？3、一、?2n中至少有一个小于 1800 n 即原来的 2n(n-1)中至少有一个角不小于 1800 n 3 条相交，因两直线相交只有一 3 条直线交得的 3 个不同的交点。 n 所以，满足题设条件的 7 条直线是画不出来的。 三、巩固练习 平面上

14、有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 ）条 6 B. 7 C. 8 D. 9 平面上三条直线相互间的交点个数是 A. 3 B. 1 或 3 C. 1 或 2 或 3 平面上 6 条直线两两相交，其中仅有 36 条 B. 33 条 C. 24 条 1. ( A. 2. 2 点作一条直线，一共可以作直线 3. A. 4. （ ） D.不一定是 1 , 2, 3 3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ D. 21 条 已知平面中有n个点代B,C三个点在一条直线上， A,D, F, E四个点也在一条直线上, n个点作一条直线，那么一共可以画出 除些之外， 再没有三点共线或四点共线， 以这

15、 不同的直线，这时 n等于（ ） （A） 9 5若平行直线 A. 4 对 6 .如图， A. 90 38 B. 已知 B. (B) 10 AB、CD 与相交直线 8 对 FD/ BE, 135 C. 12 对 则/ C. 1 + / 2- / 3=( 150 (C) 11 (D) 12 EF GH 相交成如图示的图形, D. 16 对 ) 则共得同旁内角（ O D. 180 CD, /仁/2，则/ E 与/ F 的大小关系 每两点都连一条直线，问除了原有的 7 .如图，已知 AB/ &平面上有 5 个点， 有 _ 交点 9 .平面上 3 条直线最多可分平面为 _ 个部分。 10.如图，已知 A

16、B/ CD/ EF, PS?GH 于 P,/ FRG=110 , 则/ PSQ= 11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段 AB 的垂直平分线 与直线的交点个数是 - ? 5 点之外这些直线最多还 G B A P C Q D E S F H 第 10题 R 12 .平面内有 4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 _ 个。 13.已知：如图， DE/ CB，求证：/ AED=/ A+/ B 14.已知：如图， AB / CD,求证：/ B+/ D+/ F=/ E+/ G F A 15. 如图，已知 CB?AB CE 平分/ BCD, DE 平分/ CDA, / EDC+Z E

17、CD =90 , 求证：DA?AB 16. 平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？ 17. 平面上 5 个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面 分成多少块区域？ 18. 一直线上 5 点与直线外 3 点，每两点确定一条直线， 最多确定多 少条不同直线？ 19. 平面上有 8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于 23 。 20. 平面上有 10 条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现 31 个交点，怎样安排才能 办到？画出图形。 答案 1. 5 个点中任取 2 点，可以作 4+3+2+1 = 10 条直线，在一直线上的 3 个点中任取 2 点，可 作 2+1=

18、 3 条，共可作 10-3+1 = 8 （条）故选 C 2 平面上 3 条直线可能平行或重合。故选 3 .对于 3 条共点的直线，每条直线上有 9条不重叠的线段 对于 3 条不共点的直线，每条直线上有 12 条不重叠的线段。 故共有 21 条不重叠的线段。故选 D 5 .直线 EF、GH 分别“截” 分别“截”相交直线 16 对 D E 第 13 题 第 14 题 4 由n个点中每次选取两个点连直线, 直线上，可以画出 3 条直线，若 可以画出一1）条直线，若ABC三点不在一条 2 A, D ,E, F四点不在一条直线上，可以画出 6 条直线， n(n 1) 3 2 38. 整理得 n2 n

19、90 0,(n 10)( n 90) 0. n+9 0 n 10, 选 B。 B 第 6 题 E D 4 个交点，截得 3 条不重叠的线段，3 条直线共有 5 个交点，截得 4 条不重叠的线段，3 条直线共有 平行直线 AB、CD,各得 EF、GH,各得 6 对同旁内角，共 2 对同旁内角，共 4 对；直线 AB、CD 12 对。因此图中共有同旁内角 4+6 = A 6,v FD/ BE / 2=Z AGF / AGC=/ 1-Z 3 / 1 + Z 2-Z 3=Z AGC+ / AGF=180 选 B7.解：T AB/ CD （已知） / BAD=Z CDA （两直线平行， （已知） / B

20、AD+Z 仁/ CDA+Z 2 （等式性质） 即/ EAD=Z FDA AE/ FD -Z E=Z F 8解：每两点可确定一条直线， 这 5 点最多可组成 10 条直线，又每两条直线只有一个交 点，所以共有交点个数为 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 （个） 又因平面上这 5 个点与其余 4 个点均有 4 条连线，这四条直线共有 3+2+1 = 6 个 交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉 5X 6=30 个交点，所以有交点的个数 应为 45-30 = 15 个 9.可分 7 个部分 10.解/ AB/ CD/ EF / APQ=Z DQG=Z FRG=110 同理/ PSQ=Z

21、 APS / PSQ=/ APQ-Z SPQ=/ DQG-Z SPQ =110 -90 =20 11. 0 个、1 个或无数个 1）若线段 AB 的垂直平分线就是 L,则公共点的个数应是无数个; 2）若 AB?L,但 L 不是 AB 的垂直平分线，则此时 AB 的垂直平分线与 L 是平行的关系，所以 它们没有公共点，即公共点个数为 0 个； 3）若 AB 与 L 不垂直，那么 AB 的垂直平分线与直线 L 一定相交，所以此时公共点的个数为 1 个 12. 4 条直线两两相交最多有 1+2+3 = 6 个交点 13. 证明：过 E 作 EF/ BA / 2=/ A （两直线平行，内错角相等） D

22、E/ CB, EF/ BA / 1 = / B （两个角的两边分别平行，这两个角相等） / 1 + / 2=/ B+/ A （等式性质） 即/ AED=/ A+/ B 14. 证明： 分别过点 E、F、G作AB的平行线EH PF、GQ, 贝U AB/ EH/ PF/ GQ （平行公理） AB/ EH / ABE=/ BEH （两直线平行，内错角相等） 同理：/ HEF=/ EFP / PFG=/ FGQ / QGD=/ GDC / ABE+/ EFP+Z PFG+/ GDC=/ BEH+/ HEF+内错角相等） / 仁/ 2 C 一 D S E l F第 10 题 R H G A P B -

23、Jb- - * / FGQ+/ QGD （等式性质） 即 / B+Z D+Z EFGN BEF+Z GFD 15. 证明：/ DE 平分Z CDA CE平分Z BCDZ EDC=Z ADE Z ECD =Z BCE (角平分线定义) Z CDA +Z BCD=Z EDC+Z ADE+Z ECD+Z BCE =2 (Z EDC+Z ECD = 180 DA/ CB 又 CB?AB DA?AB 16. 两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有 4 个交点，三条 直线最多有 3 个不同的交点，即最多交点个数为： 2+4 X 3+3=17 17. (1) 2 个圆相交有交点 2X 1= 1 个， 第 3 个圆与前两个圆相交最多增加 2 X 2= 4 个交点，这时共有交点 2+2 X 2= 6 个 第 4 个圆与前 3 个圆相交最多增加 2X 3= 6 个交点，这时共有交点 2+2X 2+2X 3= 12 个 第 5 个圆与前 4 个圆相交最多增加 2X 4=8 个交点 5 个圆两两相交最多交点个数为： 2+2 X 2+2 X 3+2 X 4 = 20 (2) 2 个圆相交将平面分成 2 个区域 3 个圆相看作第 3 个圆与前 2 个圆相交，最多有 2 X 2= 4 个不同的交点，