第五节隐函数求导法则ppt课件

1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学第五节第五节 隐函数求导法隐函数求导法 理学院数学系 主讲教师：付一平0),( yxF方程：方程：一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例验证方程验证方程0122 yx在点在点)1 , 0(的某邻的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且域内能唯一确定一个单值可导、且0 x时时1 y的隐函数的隐函数)(xfy ，并求这函数的一阶和二阶导，并求这函数的一阶和二阶导数在数在0 x的值的值.解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点

2、)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 010 yxdxdy222)(yyxydxyxddxyd 2yyxxy ,13y . 11022 yxdxyd.广广到到多多个个变变量量的的情情形形隐隐函函数数的的求求导导方方法法可可推推),(,0),(212121nnnxxxzzxxxzzxxxF 的的可可微微隐隐函函数数是是确确定定了了设设方方程程zxnzxzxFFxzFFxzFFxzn ,2121则有则有解解1 利用公式利用公式令令那那么么,

3、4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFzzxFFxz 22xz2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz ,2zx xzx 2 两边对 x 求偏导解解2 2 将方程两边关于将方程两边关于x x求导，并注意求导，并注意z z是是x,yx,y的函数，的函数，0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz再对 x 求导思路：思路：把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看

4、成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解1 用公式法用公式法). ,(),( xyzzyxfzzyxF 令令xxxyzfzyxf)()(21 ).(2 1fzxf ),(2 1fzyf xxxyzzyxfzF) ) ,( yyxyzzyxfzF) ) ,( yyxyzfzyxf)()(21 zzxyzzyxfzF) ) ,( zzxyzfzyxf)()(121 ).(12 1fxyf 于是，于是，zxFFxz .12121fxyffyzf xyFFyx .2121fyzffxzf yzFFzy .12121fxzffxyf xz )1(1xzf ),(2xzxyyzf 整理

5、得整理得xz ,12121fxyffyzf )1(01 yxf),(2yxyzxzf 解解2整理得整理得,2121fyzffxzf yx )1(11 zyf),(2zyxzxyf 整理得整理得zy .12121fxzffxyf 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形),(),(yxvyxu 设方程组确定函数的的偏偏导导数数？如如何何求求),(),(yxvyxu 下面推导公式：下面推导公式： 0),(0),(vuyxGvuyxF).,( ),( yxvvyxuu 确定了确定了即即 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF上述方程组等式两边对上述方程组等式

6、两边对 x 求导，求导， 00 xvGxuGGxvFxuFFuuxvux xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF现现 xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF这是关于这是关于xvxu ,的的 二元线性方程组。二元线性方程组。vuvuGGFF, 0 方程组有唯一解。方程组有唯一解。当系数行列式当系数行列式解此方程组，得到解此方程组，得到,vuvuvxvxGGFFGGFFxu ,vuvuGGFF ),(),(vuGF xuxuGGFF ),(),(xuGF .vuvuxuxuGGFFGGFFxv 通常把由函数组关于某些变量的导数组成的行列式称通常把由函数组关于某些变量的导数组成的行列式称为函数行

7、列式或雅可比行列式，为函数行列式或雅可比行列式， 记作记作类似，对类似，对 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对等式两边对 y 求导，求导，得关于得关于yvyu ,的线性方程组。的线性方程组。解方程组得解方程组得 yu.),(),(),(),(vuGFvyGF yv.),(),(),(),(vuGFyuGF 特别地，方程组特别地，方程组 0),(0),(zyxGzyxF且且可可以以确确定定函函数数 ),( ),( xzzxyy ,),(),(),(),(zyzyzxzxGGFFGGFFzyGFzxGFdxdy .),(),(),(),(zyzyxyxy

8、GGFFGGFFzyGFxyGFdxdz 例例1 设设 . 432,50222zyxzyx. , dxdzdxdy求求解解 1： 令令, 050),(222 zyxzyxF. 0432),( zyxzyxG那那么么zyzyGGFFzyGF ),(),(,2xFx ,2yFy ,2zFz , 1 xG, 2 yG. 3 zG3222zy .46zy zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx .26zx xxxxGGFFxyGF ),(),(.42xy 1222xy ),(),( ),(),( zyGFzxGFdxdy zyzx4626 ),(),( ),(),( zyGFxyGFdxd

9、z ,233zyxz zyxy4642 ,232zyyx 时，时，当当 046 ),(),( zyzyGF . 432,50222zyxzyx解解 2：方程两端对方程两端对 x 求导。求导。 . 0321, 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx注意：注意：),(xyy ).(xzz 即即得得 . 132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy时时，当当023 zy解得解得dxdydxdz,233zyxz .232zyyx 例例5 .00,0),(0),(),()(dxduygzhhgfzxhzyxgyxfuxu，求，求，都可微，且都可微，且所确定，其中所确定，其中由方程组由方程组设函数设函数 解解的函数的函数都看成是都看成是以及以及将方程组的变元将方程组的变元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小