第十二章无穷级数例题ppt课件

1、第十二章 无穷级数1常数项级数的概念和性质例1无穷级数 叫做等比级数(又称为几何级数),其中 叫做级数的公比,试讨论该级数的收敛性。20nnnaqaaqaqaq0,aq例2.判别下列各级数的收敛性例3证明：调和级数是发散的。 1111, 2ln 1.1nnnnn！11nn1常数项级数的审敛法2定理2比较审敛法） （1定理 设 都是正项级数，且 若级数 收敛，则级数 收敛，反之，若级数发散，则级数 发散。11nnnnuv和1,2,nnuvn1nnv1nnu1nnu1nnv例证明正项级数收敛。011111!1!2!nnn 例证明级数是发散的。 111nn n(2)推论：设 都是正项级数，如果级数

2、收敛，且存在正整数N，使当 成立，则级数 收敛，如果级数 发散，且当 成立，则级数 发散。11nnnnuv和1nnv0nnnNukvk时有1nnu1nnv0nnnNukvk时有1nnu例讨论一级数的收敛性，其中常数 。11111123ppppnnn 0p 3、定理3 （比较审敛法的极限形式）（1定理 设 都是正项级数，假如 且级数收敛，则级数 收敛。假如 且级数 发散，则级数 发散。11nnnnuv和lim0nnnullv 1nnv1nnulim0lim=+nnnnnnuulvv 或1nnv1nnu例 判定级数的收敛性。11sinnn(2)推论极限审敛法） 设 为正项级数 假如 则级数 发散。

3、假如则级数 收敛。1nnu1 ,lim0pnnpn ull 而1nnulim0limnnnnnulnu 或1nnu例判定级数的收敛性。211ln 1nn例判定级数的敛散性。例7判别下列正项级数的敛散性11 1 cosnnn31ln21nnn例8判别正项级数的敛散性。1301sin1nnxdxx4定理4比较审敛法，达朗贝尔判别法） 设 为正项级数，假如时级数收敛； 时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。1nnu1lim,1nnnuu则当11limnnnuu 或=1例9证明级数是收敛的，并估计以级数的部分和 近似代替和S所产生的误差。1111111.21.2.31 !n nS例10判定级数的收敛

4、性。2311.21.2.3!10101010nn5定理5根值审敛法，柯西判别法） 设 为正项级数，假如 ，则当 时级数收敛， 时级数发散， 时级数可能收敛，也可能发散。1nnulimnnnu11limnnnu 或1例11判定级数的收敛性1212nnn 例1判别下列正项级数的敛散性 ln121,3nnn 12021nnnnnbbn例1判别交错级数的敛散性。11111nnne例1设正项数列 单调减少，且 发散，试问是否收敛，并说明理由。 na11nnna111nnna例1判别级数的收敛性。例6判别级数的敛散性。21sinnnn2111112nnnnn例7判别级数的敛散性。11111nnne 13

5、幂级数例求幂级数的收敛半径与收敛域。231123nnxxxxn 例求幂级数的收敛域。21112!nxxxn例求幂级数的收敛半径。例求幂级数的收敛域。0!nnn x2121nnnxn例求幂级数的收敛半径。例6求幂级数的收敛域。2202!nnnxn2112nnnnnx 例7求幂级数的收敛域。例8求幂级数的收敛域。112 .nnnxn111nnxnx四、幂级数的和函数的性质1性质幂级数 的和函数 在其收敛域 上 连续0nnna x S xI性质幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并有逐项积分公式。逐项积分后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径。0nnna x S xI 10000001xxxn

6、nnnnnnnnaS x dxa x dxa x dxxx In性质幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导，且有逐项求导公式。逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。0nnna x S x,R R 1001nnnnnnnnnSxa xa xna xxR 由此性质不难得知幂级数的和函数 在其收敛区间内具有任意阶导数。0nnna x S x,R R例9求幂级数的和函数。01nnxn例10求幂级数 的和函数。例11求级数 的和。1212nnn11nnn nx14 函数展开成幂级数例1将函数展开成 的幂级数。例2将函数展开成 的幂级数。 xf xe sinf xxxx例将函数 展开成 的幂

7、级数 。例将函数 展开成的幂级数。xax0a cosxx例将函数 展开成 的幂级数。例6将函数展开成 的幂级数。211xx ln 1f xxx例7把函数展开成 的幂级数。例8将函数 展开成 的幂级数。 1ln 1f xxxsin x4xx例9将函数展开成 的幂级数。 2143fxxx1x例10将展开为 的幂级数。例11求级数的值。 2arctanln 1f xxxxx0212!nnnn例12设 求 sin010 xxf xxx时时 01,2nfn 17 傅里叶级数(二)三角函数系在区间 上正交。 所谓三角函数系1.在区间 上正交，就是指在上面三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 上的积分

8、等于零，即1,cos ,sin ,cos,sinxxnxnx, cos ,sin ,cos2 ,sin2cos,sinxxxxnxnx, , ， ，cos01,2,3nxdxnsin01,2,3nxdxnsincos0.1,2,3kxnxdxk ncoscos0.1,2,3,kxnxdxk nknsinsin0.1,2,3,kxnxdxk nkn 任何两个相同函数的乘积在区间 上的积分不等于零。即 ， 。, 212dx2sin nxdx2cos1,2,3nxdxn （收敛定理 狄利克雷充分条件） 设 是周期为 的周期函数，如果它满足（1在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。（2在一个周期内

9、至多只有有限个极值点。 f x2 那么 的傅里叶级数收敛，并且当 的连续点时，级数收敛于 ，当 的间断点时，级数收敛于 。 f x xf x是 f x xf x是12f xf x例1设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为将 展开成傅里叶级数。 f x2, ) 1010 xfxx f x例2设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 将 展开成傅里叶级数。 f x2, ) 000 xxfxx f x（三周期延拓 如果函数 只在 上有定 义，并且满足收敛定理的条件，那么 也可以展开成傅里叶级数，我们 可以在 外补充函数 的定义，使它拓广成周期为 的周期函数 ，按这种方式拓广函数 定义域的过

10、程称为周期延拓， 再 将 展开成傅里叶级数， f x, f x, )(, 或 f x2 F x F x最后限制 内，此时这样便得到 的傅里叶级数展开式，根据收敛定理这个级数在区间端点 处收敛于 。,x 在 F xf x f xx 2ff例 将函数展开成傅里叶级数。 00 xxfxxx例将函数展开成傅里叶级数，其中 是正的常数。 sin2tu tEt E例设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅里叶级数。 f x2, f xx f x例6设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅里叶级数。 f x2, ) f xx f x（二奇延拓与偶延拓 设函数 定义在区

11、间 上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间 内补充函数 的定义，得到定义在 上的函数 使它在 上成为奇函数（偶函数），按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓偶延拓）， f x0,0 f x(, F x, 然后将奇延拓偶延拓后的函数展开成傅里叶级数，这个级数必定是正弦级数余弦级数），再限制 上，此时 ，这样便得到的正弦级数余弦级数展开式。0 x在（ ， F xf x f x例7将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。 cos0202xxf xx18 一般周期函数的傅里叶级数一、周期为 的周期函数的傅里叶级数定理：设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为 其中2l2l f x 01cossin2nnnan xn xf xabxcll 1cos0,1,2,lnln xaf xdxnll 1sin1,2,3,lnln xbfxdxnll 12Cx f xf xf x 当 为奇