两角差的余弦公式教学设计及点评

1、1两角差的余弦公式教学设计课题两角差的余弦公式项目内容理论依据或设计意图教 材分 析教材 地位 及作 用两角差的余弦公式是普通高中课程 标准实验教科书人教 A A 版数学 4 4 (必修)中 的第二早的，教学课时为 1 1 课时。前两章学 生已经学习了任意角的三角函数和平面向 量等知识， 对三角函数有了一定的认识，有 利于学生接受两角差的余弦公式. .两角差的余弦公式是三角恒等变换这 一章中的一个重要内容， 只有对两角差的余 弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其 他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过 程也是一个认识三角函数式的特征，体会三 角恒等变换特点的过程 课程标准教 学目 标1 1

2、知识与技能(1) 通过对两角差的余弦公式的推导， 使学生体会应用向量解决数学问题的技能. .(2) 通过公式的灵活应用，使学生掌握 两角差的余弦公式的作用 2.2. 过程与方法(1) 利用两角差的余弦公式推导过程， 使学生体会向量在代数几何方面运用的方 式方法. .(2)在公式的灵活运用过程中进一步培 养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数 形结合思想 3.3. 情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立 探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、 应用的获取知识的方式。从应用中去体会数 学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角 差的余弦公式的运用价值。根据新课程标准 的要求，从提高学生的

3、 数学素质和能力出发，结合学生心理发展的 需求，以及人格、情感、 价值观的具体要求制订. .2重重点：两角差的余弦公式的运用. .数学教学不仅使难难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及学生理解知识的发生占八、逆用公式等技能. .过程，更重要是培养学 生对知识的应用能力. .迈寸3=,cos30s= 通过学生熟知的我们已经知道cos45一2 2特殊角余弦值引入问由此我们能否得到cos15乜的值呢？题，引发认知冲突，引以出本节课题. .教境激对于cos(a _ 0) = cosa -cos P使学生明确数学是一情门严谨的科学，激励学你们同意这个观点吗？说说理由？生探索新知. .学设活动 1 1：（

4、教师活动）提出问题:究竟该如何计算通过设问，激发学生cos（a - B） ?对于求角的余弦值这种问题，自觉回顾三角函数和计我们有哪些方法？向量的相关知识，为公（学生活动）回忆三角函数定义、三角函 数线以及平面向量数量积运算等相关知识. .式的探索提供思路. .活动 2:2:二二二（教师活动）引导学生尝试用向量的方法来研探究如何计算 cos（a -0）先复习两个向量数量积的定乂与坐标运探算公式；论证定义式：a b=同b坐标式：a a b b =为 x x2)cosT；通过带有指向性的问 题，使学生意识到，向 量方法可能是解决问+ + y y2 2 -题的工具，引导学生建（学生活动）在平面直角坐标

5、系中作单位 圆，以 x x轴非负半轴为始边作角口，0，它 们的终边与单位圆O的交点分别为A、B, 则 A A （coscos 口,sinsin 口） ， B B （cocos s卩,sinsin P P ）; ;试用A、B两点的坐标表示NAOB的余弦立向量使用的数学环 境，培养学生自主探索 和数形结合的能力. .值。3（教师活动）引导学生经历用向量方法探索 求cos（：. 一 J，结合图形，明确应选择哪几 个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数 量积计算公式得到推导结果？（学生活动）计算 OAOA OBOB，在教师的引导下，通过 求两个已知向量的夹 角问题以及三角函数 定义的应用得出新的 结论

6、，使学生体会和认 识严格的推导过程是 获取数学结论的方法。由学生得到结论，让学 生在数学课上体会成 功. .教学设计研探论证OAOA OBOB 二 coscos coscos ： sinsin： sinsin ：;另一方面，从定义式OAOA OBOB 二 OAOA OBcosOBcos： 一 -；= =cosxcosx得出结coscos ：= =coscos： coscos ： sinsin： sinsin : :活动 3 3：（教师活动）引导学生思考一：的范围，完善公式的推导. .（学生活动）提出二的任意性，而向量 夹角为0,二，学生产生疑惑：-与向 量之间的夹角 v 有什么关系呢？教师活动

7、：几何画板动态展示，引导学生结 合计算机图形语言和三角函数诱导公式对 公式的严密性进行论证. .（1）We%：；根据终边相（2）（二,2二, =2k二同的角的性质， cos（- -） =cosv活动 4 4:（教师活动） 引导学生说出两角差的余弦公 式的结构特点. .（学生活动）发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和. .由于向量工具已被引 入，因此将问题归结为 角度问题，选用向量方 法推导公式，使得公式 的得出成为一个纯粹 的代数运算过程，大大 降低了思考难度. .另 外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问 题、处理问题，使他们 在建立公式的过程中

8、发展逻辑推理能力和 对知识的迁移应用. .培养学生用自己的 语言描述公式特征的 表达能力。加深对公式 的印象，掌握公式特 点，为下一步公式的应 用做好铺垫. .4研 探论 证活动 5 5:例题分析(教师活动)讲评例 1.1.利用两角差的余弦公式求 cos15s的值.这是通过应用理解公式最基础的练 习， 在讲评过程中引导学生注意以下几个要 占：八、(1) 三角变换关注角的拆分，易于理解 (2)由于是具体角，拆分过程容易进行. .(3) 拆分的多样性，决定变换的多样性. .(学生活动)求出sin 75。的值. .(1) 通过诱导公式转化为 cos15。;(2) 转化为先利用 cos(120J45)

9、求 cos75,再用同角关系求sin 75。学生到此刻，能够利用 本课新发现的两角差 的余弦公式解决这个 冋题，呼应前面，同时 让学生获得了成果的 数学体验. .通过正、余弦之间的转 化；非特殊角与特殊角 之间的转化，进一步巩 固公式的应用，渗透化 归的数学思想. .(教师活动)对题目进行解析，使学教讲评例题 2 2:生形成解决这类问题已知sin a = a (上“),cosP =是的基本思路. .5213在讲评例题的过程第三象限角，求 COS(G-0)的值.学中注重在表述规范性 上作出点评和要求，提引导学生分析问题，形成如下思路：结合余高学生的数学表达能设弦公式，欲求 cos(o - B)的

10、值，必先知道sin c(,cosc(,sinP,cosP 的值,然后利用公式力. .计C(Q3 即可求解.,.,注意角订所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号. .活动 6 6:课堂练习(学生活动)使学生独立完成证明，培养学生独立思考的1、证明 cos(a)=sin。.2数学思维品质和对数(教师活动)对学生的证明过程进行点评，学知识前后联系，建立使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公 式的特殊情形.数学知识网络的能力. .5反（学生活动）学生上台演板，是本节馈练学生上台演板，运用公式解决以下问题：课教学的重要一环，能充分调动学生学习练习2、已矢廿cos a=-_,G（,兀），52数学的实践活

11、动能力，求cos（工-a）的值.4使教师了解学生学习 情况，是激发学生学习兴趣的有效途径. .（教师活动）对学生的计算过程的母 步进 行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用 时注意利用特殊角的正弦值余弦值 通过问题的设计，注教（学生活动）先请一位同学在黑板上演示，重培养学生分类讨论然后再向全体同学讲解：的数学思想，在解题的 过程中培养学生思维学153、已知 sin日=一,8 是第二象限角,的严密性和逻辑的条17理性，同时注重对学生求 cos（日-工）的值.3的表述规范性的指导. .设（教师活动）找几份具有代表性的解答投 影，让同学们点评. .计引导学生认识到（学生活动）学生认真审题，求解问题4

12、、已知 sina = _2,a乏（兀，竺）,cos0 =?,324要使用两角差余弦公 式，应该运用同角三角 函数关系对四个数据 作出准备，培养学生P E（号,2兀）,求 COS（3 -口）的值.“举一反三”的解决数学问题的能力. .（教师活动）对学生表述的步骤是否规范 作出必要的点评和要求。引导学生一定要弄 清角的范围，准确判断三角函数值的符号. .活动 7 7:变式训练（学生活动）应用本课所学的公式进行以下计算：1、cos60 cos15 + sin 60 sin 15” = ?在练习中加深对公式四3131结构和功能的认识，使变 式2、cos（a 十亍）cos。+sin（a +）sin。=?

13、（教师活动）点评，不仅要会公式的正用而学生熟练、灵活运用公 式；掌握三角式变换的训且要注意公式的逆用和变形应用. .特点，培养学生公式的练逆用能力. .6(学生活动)应用公式计算：33、已矢口 sin(30& +G) =,60*c(c150：5求 cosot 的值.(教师活动)引导学生比较已知的角30。+ 0(与所求的角G之间的关系，注意构 造角以及研究角的范围 引导学生独立思考，得 出 a a=(30 + ) 30。， 从而具备使用两角差 余弦公式的条件，培养 学生解决数学问题的 化归思想. .课堂小结：让学生在课堂小五通过本节课的学习你有哪些收获？结中进行自我评价，回1 1、探索并

14、证明了两角差的余弦公，经历了，顾当堂所学，交流学习应猜想一探究一证明，利用向量法得出了：体会. .用cos(a - B ) = cost cosE + sina sin B评在证明公式的过程中，我们利用了向量注意公式特征，正价这一简洁有效的工具，在后面的学习中我们用，逆用和角的拼凑！会继续感受它的便利. .在探究问题时，结合所2 2、所涉及的数学思想与方法：猜想、化归与转化、数形结合、分类讨论. .学知识，要大胆猜想，细心证明！布置作业：1.1.必做：P137,P137, 2,3,42,3,4通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在2、选做：sin。+sin P =3,cosa +cosP =

15、4,三维目标方面进一步55评价，反思教学，改进求 cos(a - P)方法. .3.3.课下思考：你能用 cos(a-B), ,推导出cos(a +B)吗？板书设计:两角差的余弦公式cos(a -P) =cosacosP +sinasin P(C(a4)投影屏幕板演区域7教学设计说明一、 教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简 在数学中通过恒等变换，可 以把复杂的关系用简单的形式表示出来 三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用 而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系. .由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存

16、在紧密的内在联系，因而 需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现 行的课改教材(人教A版)安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用 向量方法推导公式cos(、卩)=coscos 1 sinsin一：作为建立其它公式的基础，使得公式的 得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。本节课的作用承前启后，非常重要。二、 学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式 C Ca-B)有一定 的难度，教师可引导学生通过合作交流

17、，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。由于 学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并 且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑 . .但同时学生在学习新的一章知识时 又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。根据学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下：1 1 知识与技能(1) 通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。(2) 通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。2.2. 过程与方法(1) 利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。(2) 在公式的灵活运用过

18、程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思 想。3.3. 情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应 用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余 弦公式的运用价值。三、 教学重点及难点重点：两角差的余弦公式的运用. .难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能 四、 教法选择和学法指导8基于对教材和学生的分析，本节课我采用“引导发现”和“主动参与、独立探索”等方 法组织课堂教学. .为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学生的 求知欲，引导和组织学生

19、参与探索公式的建立和推导过程，鼓励学生独立思考，让学生在参 与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通过以下四个方 面的师生活动：1引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；2组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；3对学生的探究活动适当指导，适时地给与帮助；4完善推理过程 对 - 0,0,二 I I 的情况引导学生完善. .通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生 的求知欲。采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。通过有梯度的练习、变 式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。学法分析1. .

20、教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数的定义，向量的 数量积等。2. .在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，给出一些证明方法的 提示性问题，引导学生去推导公式。五、教学基本流程设计教学活动设计意图活动 1 1：提出冋题：究竟该如何计算 COS0-P） ?对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向 量的相关知识，为公式的探索提供思路. .活动 2:2:尝试用向量的方法来探究如何计算COS（G - P）. .通过带有指向性的冋题，使学生意识到，向 量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立 向量使用的数学环境，培养学

21、生自主探索和数 形结合的能力. .9活动 3 3:在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在 建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知 识的迁移应用. .引导学生思考0的范围，的推导 完善公式活动 4 4:引导学生说出两角差的余弦公式的结培养学生用自己的语言描述公式特征的表构特点 达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点， 为下一步公式的应用做好铺垫. .活动 5 5:例题分析例 1 1、利用两角差的余弦公式求 cos15的值.例 2 2、已知对题目进行解析，使学生形成解决这类问4、口5口日题的基本思路. .在讲评例题的过程中注重在表sina = 匸（一，兀），

22、cos 戸二52是13述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学第三象限角，求 cos（a-3）的值. .表达能力. .活动 6 6:课堂练习3T学生上台演板，是本节课教学的重要一环，1、证明 cos（o） = sino.2能充分调动学生学习数学的实践活动能力，使教师了解学生学习情况，是激发学生学习兴趣2、已知 cosG=，口 u（一，兀），52的有效途径. .求 cos（巴-a）的值.通过问题的设计，注重培养学生分类讨论4的数学思想， 在解题的过程中培养学生思维的15严密性和逻辑的条理性，同时注重对学生的表3、已知 sin 日=，日是第象限角,17述规范性的指导. .引导学生认识到要使用两角差

23、余弦公式，求 cos（日-亍）的值.23兀门4、已知 sina = ,a（兀，一）,cosP323应该运用同角三角函数关系对四个数据作出 准备，培养学生“举一反三”的解决数学问题的能力. .4P （号,2 兀）,求 cos（0 -口）的值.活动 7 7:变式训练1 cos 60 cos1 + sin 60 sin 15* = ?JIJI2、cos（a + 亍）cos +si n（a + 亍）si n=?在练习中加深对公式结构和功能的认识，使学生熟练、 灵活运用公式；掌握三角式变换33、已知口 sin（30 + a）=一,60a 1505的特点，培养学生公式的逆用能力. .求 COS。的值.六、

24、教学评价分析1.1.-本节课采用“创设情境 - 提出问题- 探索尝试启发引10导- 解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。2.2. 在得到两角差的余弦公式后，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的认 识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的印象，及灵活应用公式解题 的能力。3.3. 在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量， 激发学生的学习兴趣，提高教学效率。4.4. 面对不同程度的教学对象， 在教学时间上和作业的布置中， 突出了学生学习的个体差异 现实，但也要视教学对象的接受程度进行灵活的删减。11两角差的余弦公式教学设计点评省级骨干教师 周净两角差的余弦公式 是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学4（必修）第三章的，教学课时为1课时。本节课教师采用了活动教学法，将获取知 识的猜想、论证和应用过程分解成为7个教学活动，在活动中通过教师的问来 启发引导学生，通过学生的练来巩固知识，是高效课堂的典型模式之一。本节 课有以下4个特点：1体现了教师在教学中的主导地位。教师在本节课的教学活动中主要是通过问 题创设情境，激发学生的求知欲，在学生探究新知时对学生的方向和方法加以 指导，在例题分析时注重