平面向量与解三角形

1、.第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.锐角ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2csin B=b,则角C的大小为A.B.C.D.解析:由正弦定理得2sin B=,sin C=,C=.答案:A2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是A.uvB.vwC.w=u-3vD.对任一向量,存在实数a,b,使=au+bv解析:因为u·v=0,所以uv,显然wv,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使

2、=au+bv.答案:C3.在ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是A.B.C.D.解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac,化简得b=.答案:D4.在ABC中,AB=4,ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于A.4B.0C.4D.8解析:由·=·,得·(-)=·=0,即,所以|=2,BAD=60°,所以·=4×2×=4.答案:C5.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c

3、,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为A.B.C.D.-解析:cos C=,当且仅当a=b时等号成立.答案:C6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为A.5a-4b=3B.4a-3b=5C.4a+5b=14D.5a+4b=14解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3), 即 4a+3=8+3b,4a-3b=5.答案:B7.在ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin B+asin A=csin C,c2+b

4、2-a2=bc,则B等于A.B.C.D.解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A=,所以cos A=,A=,因为bsin B+asin A=csin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=.答案:A8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若ab,则log2(x-1)+log2y等于A.1B.2C.3D.4解析:ab,则=,(x-1)y=8,log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3.答案:C9.在ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin Acos B,则ABC是A.等腰三角形B.等边三角形

5、C.等腰直角三角形D.直角三角形解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C=,所以C=,因为sin C=2sin Acos B,所以c=2a·,得a=b,所以ABC是等边三角形.答案:B10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是A.B.C.D.解析:如图所示建立直角坐标系,因为AB=,BC=2,点E为BC的中点,所以B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1),设F(x,2),则=(x,2),=(,0),所以·=x=,所以x=,=(,1),=(-,2

6、),所以·=(-)+2=.答案:D11.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于A.B.C.-D.-解析:因为2S=(a+b)2-c2,所以absin C=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab,所以sin C=2cos C+2,又因为sin2C+cos2C=1,所以sin C=,cos C=-,tan C=-.答案:C12.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若=a+b,且01,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是解析:设点C的坐标为(x,y

7、),由题意知x=3+,y=+3,解得=,=,代入01,解得y3x,yx,3y-x8.答案:A第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知向量|a|=1,|b|=2,a(a-b), 则向量a与b的夹角的大小是. 解析:因为a(a-b),所以a·a-a·b=0,cos<a,b>=,<a,b>=.答案:14.在ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则ABC的面积为. 解析:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,4=12+BC2-4×BC,

8、BC2-6BC+8=0,BC=2或BC=4.当BC=2时,S=·AB·BC·sin B=×2×2×=,当BC=4时,S=AB·BC·sin B=×2×4×=2.答案:或215.在ABC中,已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则ABC外接圆的面积为. 解析:记ABC的外接圆半径为R,依题意得2B=A+C,因此有B=,所以AC=7,又2R=,即R=,故ABC的外接圆的面积是R2=.答案:16.如图所示圆O的半径为2,A、B是圆上两点且AOB=,MN是一条直径,点

9、C在圆内且满足=+(1-)(0<<1),则·的最小值为. 解析:因为=+(1-)(0<<1),所以C在线段AB上,因为·=(-)·(-)=-(+)·+·=-4,所以当OCAB时取得最小值,(·)min=1-4=-3.答案:-3三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知向量a,b满足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)·(2a-b)=61.(1)求a·b的值;(2)求向量a与b的夹角.解析:(1)由(2a+

10、3b)·(2a-b)=61,得4a2+4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,可得a·b=6.6分(2)设向量a与b的夹角为,则cos =,可知向量a与b的夹角为60°.10分18.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b.(1)若xy,求k的最大值;(2)是否存在k,t,使xy"若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(-,-+).(1)若xy,则x·y=0,即(

11、-2t2-1)(-)+(t2+3)(-+)=0,整理得,k=,当且仅当t=,即t=1时取等号,kmax=.6分(2)假设存在正实数k,t,使xy,则(-2t2-1)(-+)-(t2+3)(-)=0,化简得+=0,即t3+t+k=0.因为k,t是正实数,故满足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使xy.12分19.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b-c=acos C.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积为2,且2abcos C-bc=a2+c2,求a.解析:(1)根据正弦定理可知,b-c=acos C可化为sin B-sin C=sin Acos C,

12、因为sin B=sin(A+C),所以sin(A+C)-sin C=sin Acos C,整理可得cos Asin C=sin C,即cos A=,因为0<A<,所以A=.6分(2)因为2abcos C-bc=a2+c2,所以2ab·-bc=a2+c2,即a2+b2-c2-bc=a2+c2,得b2-2c2-bc=0,b=2c,因为SABC=2=bcsin A=bc,得bc=8,所以解得b=4,c=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×4×2×=12,所以a=2.12分20.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对边

13、分别为a,b,c,且1+=.(1)求角A;(2)若m=(0,-1),n=(cos B,2cos2),试求|m+n|的最小值.解析:(1)1+=1+=,即=,所以=,cos A=.因为0<A<,所以A=.6分(2)m+n=(cos B,2cos2-1)=(cos B,cos C),所以|m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(-B)=1-sin(2B-).因为A=,所以B+C=,B(0,).从而-<2B-<.当sin(2B-)=1,即B=时,|m+n|2取得最小值.所以,|m+n|min=.12分21.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分

14、别为a、b、c,且满足(a-c)·=c·.(1)求角B的大小;(2)若-=, 求ABC面积的最大值.解析:由题意(a-c)cos B=bcos C,根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),即sin Acos B=sin A,cos B=,所以B=.6分(2)因为-=,所以|=,即b2=6,根据余弦定理b2=6=a2+c2-ac,有基本不等式可知6=a2+c2-ac2ac-ac,即ac3(2+),所以SABC的最大值为acsin B=×=,即当a

15、=c时,ABC的面积的最大值为.12分22.(本小题满分12分)在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+(其中cos =,0<<90°),且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由.解析:(1)由题知AB=40,AC=10,BAC=,0<<90°,cos =,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos =(40)2+(10)2-2×4