数学建模之层次分析法

1、层次分析法层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方 法。该方法将定量分析与定性分析结合起来， 用决策者的经验判断各衡量目标能 否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权 数，利用权数求出各方案的优劣次序，比拟有效地应用于那些难以用定量方法解 决的课题。缺点：1层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的 主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。2层次分析法模型的部结构太过理想化，完全别离、彼此独立的层次结构 在实践中很难做到。5层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的 策略。1.模型

2、的应用用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。1公司选拔人员，2旅游地点的选取，3产品的购置等，4船舶投资决策问题下载文档，5煤矿平安研究，6城市灾害应急能力，7油库平安性评价，8交通平安评价等。2.步骤建立层次结构模型首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的 结构模型，模型如以下列图所示。目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要到达的总目标。通常只有一个总 目标。准那么层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉与的中间环节。方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案 可选。1任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅

3、受相邻的上层元素的支配， 并不是任一元素与下层元素都有联系；2虽然对准那么层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过9个。这是因为，心理学研究说明，只有一组事物在 9个以，普 通人对其属性进行判别时才较为清楚。当同一层次元素数多于9个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。构造判断成比照拟矩阵以任意一个上一层的元素为准那么，对其支配的下层各因素之间进行两两比拟。得到判断矩阵，再求出各元素的权重。aj重要程度的衡量用Santy的1 9标度 方法给出。即标度含义1两元素同等重要3前者比后者略重要5前者比后者重要7前者

4、比后者重要的多9前者比后者绝对重要246,8介于以上判断的中间值倒数假设元素i与元素j的重要性之比为pij，那么元素j与元素i的重要性之比为pij =1/ pji设各元素C,C2,，C n对目标0两两比拟后的重要性aj G.：Cj,A ajnn, aj 0®，那么得到比拟矩阵A层次单排序与其一致性检验am1Hiamn对判断矩阵A,用w表示一非零向量，计算满足：Aw nw ,即(p nI )w 0的特征值和特征向量。由aik aj即得矩阵A的秩为1,所以A仅有一个非零特 征值。由A的特征值之和即A的主对角线元素之和为n,得到n是A的唯一非零 特征值，A的特征值满足的关系为：°

5、, maxn,( imax因为只有判断矩阵A有完全一致性时,maxn才能满足。所以我们对判断矩阵的一致性进行检验。用CI作为一致性指标，CI=O,有完全的一致性，CI接近 于0,有满意的一致性，CI越大，不一致程度越严重。但仅仅用 CI的值作为衡 量判断矩阵A的一致性检验标准是不准确的，因此，引进平均随机一致性指标 RI检验成比照拟阵A是否具有满意的一致性。n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51用CR作为判断矩阵的一致性比例，CR CI/RI。当CR 0.1时，认为判断矩 阵具有满意的一致性；当CR 0.1时，认为判断矩阵不具

6、有根本满意一致性。假设 矩阵A不具有满意的一致性，那么需要对判断矩阵进行修改。即求得特征向量w后，将wj/wj(i,j 1,2,川,n)的值按照第i行第j列的位置进行排序，构造新的判 断矩阵和原判断矩阵对应位置相比拟，差值的绝对值最大者为要修改的数据。层次总排序与其一致性检验上边已得出一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们需要从最高层次到最低层次依次计算，假设某一层 A层m个元素的层次总排序权重分别为 a1,a2,|,am，其下层B层有n个元素，它们相对于A的层次单排序权重为分别是5,|,厲(B和Aj没有关联时，bj 0 )，那么得到B层各个元素对决 策目标的权重，即B层各个元素的层次总排

7、序权重bi为:mbbjaj,(i 1,2,|, n)j 1由上一步求得单排序一致性指标 CI j ,(j 1,|,m)，相应的平均随机一致性指标RI(j)，那么B层总排序的随机一致性比例为准那么层B方案层C'工作满意程度'工作3工作1工作2mCI MCRj 1mRl(j)ajj 1当CR 0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并承受该分析结果。 例题：挑选适宜的工作。经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该 生要如何选择工作？模型的建立我们根据已有信息建立了一个层次结构模型，如以下列图所示。目标层A模型的求解准那么层的判断矩阵如表1所示。表1A鬲珀11I411

8、/21t2斗11/21121531/21/4riV511/31/3111/33L1222331方案层的判断矩阵如表2所示C1qCi1 42Q 1 411/3Cj 1/231Cll45Ci1 4121/51 口LCl11 33Q311G1 3 n1GGGCG心GC2G1135Ci117Ci119317n117Ci1 1111/51/71q1/71/71q1/911层次总排序如表3所示。研究课遜开展 前逹待遇同事 情况地理单位 軒气总排序权值准那么垸权值0.15070.17P20.1 £960.04720.14640 2879方案层一作i043(550.0?74024260.27900.456