平面向量与向量方法的应用竞赛辅导材料

1、1平面向量与向量的方法的应用（一）（教师版）一、用向量表示三角形的心”（重心、内心、垂心、外心）在:ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.三角形四心”的向量的统一形式：X是ABC的心二 XA XBXC = 0.引理：若X是:ABC内的一点，贝y SXBC: SXAC: S XAB：XAXB斗=0. _.斗证明：这里只证明 XA .iX,XC =0二SXBC*SXAC: S严B（八均为正数）.作XM z XA,XN = XB,XP XC，则XM XNXP=0.容易JSXNP1| XN2证明点X为MNP的重心于是T TXB|XC|s in BXCTXN |XP|sin. NXP，所以1I

2、SXNPPvSX BC: SXAC: SXABS.XBC人卩vSMNP，冋理SXACSMNP，SXABSMNP，所取-SXBC，则二SXAC， -SXAB，S.XBCXSXACXBSXBAX -0 练习：，1.2.GGB=生=半是- ABC的aA b IB c IC 0sin2A OA sin2B OB sin2C OC = 0 =O是ABC的2 2 2心.i是AABC的_心.心.3.!_2OA = OB =OC：=O是匚AB4.H在ABC内部，则tan A HA tanB HB tanC HC = 0二H是：ABC的 心HA HB二2HA BC HB AC HC AB H是ABC的当你学完正

3、弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法.ABAC所在直线一定通过ABC的灣AC|AB諂C所在直线一定通过 卫ABC的 _ABAC1所在直线一定通过ABC的| AB| cosB | AC | cosC已知A, B,C是坐标平面内不共线的三点，O是坐标原点，动点P满足T TT二（1- ）OA （1- QB，（T 2OC R），则点P的轨迹一定经过ABC的T TTTHB HC二HC HA =H是h222是2ABC的心.心.5.6.7.心.8.OP-13_心.案：1.亠 2 .内心.3 .外心.4 .垂心HA HB = HB士 T THA HB =|HA| |HB |cos BHA二- |HA| |

4、HB|cosCSH A毛又S.XBC心.心.HC = HC HA因为H在-H j HaBn,同理CXA S.XACXB SXBAXC = 0，所以S.HAC-HHC tanB,（提示：H为ABCABC内部，_ _2S嗇ABcOsCsin（180；-C）的垂心sin （180工）SHBC-HB HCta nA.223= 3【O A+O B+ OC七(AC BC所以AP+ BP+CP =h(CA+CB), 设CTch,则-C-C+ j=XCC),即3C=(1 -)C.因为OD经 过AB的中点，C, P,D三点共线，所以P的轨迹一定经过ABC的重心.)二、三角形形状的判定_* _1.O为ABC所在平

5、面内一点，且满足(OB - OC)(OB OC - 2OA)二0,则三角形 形状为三角形.1.解：由条件，得CB(OB2 2以ABAC) BC =0，且上| AB| | AC |AB| |AC| 2形.3 . 在ABC中彳P是BC边的中点，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cAC aPA b PB，则心ABC的形状为_.1b(AB -AC) =0,所以(ca亠bc0且a -b =0，所以a = b = c, 即卩ABC为等边三角形.tan A H+tanB HB斗anC，HC =0). 5.内心.6.重心.7.垂心.提示：设ACABAP =(| AB1O P O A O B OG( OC

6、)OA( - O C ) O B)BC = | cosB | AC | cosCBC | BC1=0) ) 8 .重心.提示：T T T I TT T 4OB-OA OC-OA) =0，即(AB-AC)(AB AC)=0，所 二AC，即|AB|=|AC |.所以ABC等腰三角形.AB AC T则MBG是_了AB2.解：设AD三角形+ AC，贝U AD为BAC的角平分线；又由AD BC二0得到 丄ABAC1AD _ BC，所以AB = AC.由得到.A = 60、，所以ABC为等边三角|AB| |AC| 22.ACU,r r13.解：因为P是BC边的中点，所以cAC aPA bPB=cAC -

7、a(AB AC)2 a_b)ACAB.因为AB与AC不共线，所以AB = AC =1, x = AB BM =12 2=xAB yAC,则 6 22 2若AD2.32242三、向量分解问题1.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.x =_, y =_ .1.解：不妨设AB二AC=1,则DE二BC二,2,BD =236.由于CA AB,所以过点D作AB的2 2垂线，与AB的延长线交于点M，则.BDM -45.vT T TADxAB yAC,5xy =2cosx亠cos(120 - ： ) =cos很亠；3 sin ： - 2sin( ) _ 2./.x亠y的6最大值是2.解法2：以点O为坐标

8、原点，OA为x轴，建立平面直角坐标系，则1J32兀T T TB（,）.设C（sino（,coso（） （a引0,）,由OC=xOA+yOB可得,223_3.O岂ABC内一点，AOB =150,CO _ AO,|OA戶1,|OB戶2,|OC戶3, 设OC = xOA +yOB，贝Ux + y =_.3.过点C作OB的平行线交AO的延长线于点E，过点C作OA2.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为120.如图所示斗 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上变动.若OC二xOA yOB,其中x,y R,贝yx y的最大值是解法1:设OC OAOCOB-I T T.AOC二：，由OC二xOA

9、 yOB可得，r 1 cos ： = x y,，即2cos(120 - ： ) - -1I2= xOA OA yOB OA,二xOA OB yOB OB.x y.A(1,0),1,-c o：s = x-尹,1 (cos ： ,sin :) =x(1,0) y(,2si,n y二213sin ：x y二cost13sin二3X = C 0 ：s3x y的最大值是2. 解法3：设- AOC线交OB于点E,|OE|=|DC卜y.1 _sin 60： sin(120* - ：)siny,2过点C作OB的平行线交OA于点匕过点C作OA的平行|OD |=x,O B 1 2 0在：DOC中，由正弦定理得亠品

10、.2巧.x = cossin ：,ysin ：,=CtT|OA = |OB| |OC#及OC =xOA + yOB可知，：O Asin :71x y =c os、3-s2ns i： n兰,） x2 y的最大值是2., EOC =90； J以EC寸0匚6,26的平行线交BO的延 长线于点F,则.OEC m/BOf _r_f OE二6cos30； = 3、3,OF = 3OB,OE = -3. 3OA，所以OC二-3. 3O-3OB，所 以x二-3 3,y = -3, 所以x y二-3 .3-3.四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题1.已知a,b都是非零向量，且a 3b与la-5b垂直，a-4

11、b与7a - 2b垂直， 与b的夹角.7a 16ab-15b =0,22?7a -30a b 8b =0b = 2a b且a2= 2a b,所以| a |=| b2a b，所以cos-2| a |b|(V2aT)21.解：依题意”3b)(55戶，所以Xa-4b) (7a -2 0.解得7夹角的范围是1 T T1 i T T3解：S |OF | | FM |sin OFM |OF|FM|sin : OF , FM2OF,FM二-tan ： OF, FM -.因为丄：:s3，所以22 21 tan OF M3所以=t v二所以向量OF与韻的夹角的43范围是(二二.4 3_4 . jABHJ， A,

12、. B,. C的对边分别为a,b,c，重心为G，若a G A bGB c0G则 =_ .T4.因为G为ABC的重心，所以GA GB G0，所以aGA - bGB - cGCc)GA (b3c)GB =0，因为GA与GB33TT因为二0,二，所以卄32.在:ABC和：AEF中，BAB AE AC AF = 2，则EF与 解: 因为戸匚/BE)AC (AB BF) =2,T T T T TT2A A C B + A B.因为EAB =1A=33亠1 36 AC AB =33 1 1,BE二-BF,所以2代丄1 +BF (AC AB) 1=2,即B F BC2.设EF与BC的夹角2| BF | |

13、BC | cos 2，即3cos v - 2，所以cos一 .3若2TAB (AB2是EF的中点，AB=EF与BC的夹角的余弦值等于B.,A+丘AC宁A所=1 , BC = 6,3.已知OFM的面积为S，且OF FM=1，若S,则向量OF与FM的2 211OF FM tan : 2-H-二aGA bGB c(-GA-GB)=(a不共线，所以a二bAB的中点为D,则C D丄A B所以1cos A c -22 _32所以nA =6CF8共线，所以存在唯-1 T TAF-a=二(AE -AF)=二(b-AF )，解得AFab，.31 + 43(1 +巴因为AB与AC不共线，所以比较得，解得,1 +卩

14、23(1+門BFPFE)问题OA=(1,1),OB=(-1,一1),点P是抛物线y = x2 3 42(-3乞x乞1)= (X-1, X21),X2+3)42平面向量与向量方法的应用(二)(教师版)一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用1 如图，在ABC中，已知BD =2DC,AM =3MD,过点M作直线交AB、ACAB 2AC于P、Q两点，贝U+-=AP. AQj 11AC = b，则BC AB b=a_1 .解：构造基底AB = a,22BD BC (b-a),331AD AB BD =DC BC (b-a),3323斗a b,AM AD已 T S17 b2- a,AQ = AC =b,

15、因为点P、11AM =(1 m)AP - mAQ(mR),于是一ab=(1-m)，a mb.又a、42111112所以(1-m)，且，消去m，得1，即4，所以4242-b不共线,ABAP2 AC+-1242ABC中，D为BC的中点，E为AC边上靠近点 分点，AD与BE交于点F，求：AF与FD的长度之比; 的长度之比.AB二a,AC二b,因为D为BC的中点，所以2 解：设1 1AD a b因为A, F,D点共线，所以存在唯一实数 AD匕a b，因为B,F, E三点.1AF所以AF AD,BF =3FE，所以=1,2FD二、数量积(或模长)的取值范围斗最值)1 平面内的向量(斗 、，上任意一点，贝

16、U AP BP的取值范围是_TH2T T T,可设点P(x, x2+2)(厂生x兰1)，则AP=OPOAAM三点共线，所以2 LAC|AP| |AQ| -丿使得9=x 5x_2 J为x -3,1，所以X20,9，所以AP BP 2,128点评：将AP BP表示为关于x的函数式，针对该函数式及x匕3,曙求函数的值域多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令t =x，则AP Bt25t 2(t 0, 9) 注意从函数t=x2角度来确定t 0, 9，不要得出错误结论1,92.已知a、b是两个互相垂直的单位向量，且| c |=13,ca二3,c，b二4，则对于任意实数t1、t2,| c tia 1

17、2b |的最小值是_.2.解： 依题意，| a |=| b | = 1， 且ab =0,于是| c ba -t2b f = c2- tfa2- t； b2-2tiC a2t2Cb 2tit2a b = tt； -6ti-8t2169=魚-3)2住-4)2144 _ 144,所以|c-ta-t2b|_12，当且仅当t1=3、t2=4时上式取得等号，故所求的最小值为12，选C.在长方形ABCD中，AB二乙6,AD3,0为AB的中点，若P是线段DO3 3贝U (PA + PB) PD的最小值是_.|0D|=X|OA|2 |AD= 1.因为丄为B巴中 点，所以x,(PA + PB) PD=2P0 PD

18、2111 一 .22.2 上动点，器题意得IPA十P B2 PO设| PD |=x(0 x0)，则| PO|=1 -2x(1 - x) = 2(x -1)，故所求最小值为2 2 2=2| P0| | PD|cos180三、求面积比1 设DABC的边AB上一点，PABC内一点，且满足AB,4SAAPDSAABC1 .解：连PD，贝y DP =AP -AD = ，5BC ，所以DP / BC，故ADP二/B，故!|AD=_1-AB BC sinNB2点评：由DP =2SAPDSABCDP sinNADP323-1.故选A.45102BC且DP与BC没有公共点推出DP / BC,再利用同位角相等和面

19、51积公式SabsinC而使问题简捷获解.22.设O点在ABC的内部，且有OA 2OB 3OC = 0,2.解：延长OB至E，使OE二2 OB, T T T 彳OA OE OF=0，所以O为AEF的重心.延长0C至显然SAOC求注=_.SAOCF,使得OF二3OC,则11SAOFSAEF.同理39SAOB1 _ 1 _ 1亠SAOESAEF,SBOCSEOF2 6一 -61 118SAEF，所以S虫BC = 3SEF=3SOC.设点P是ABC内的一点，记学AB1,SPBC二SgcS.ABC11f(P) =(1, 2, 3).若AQ =3AB2AC，则f (Q)321 1 AE=AB AF =

20、AC3，2，3 .解：如图，所以AQ =AE AF,FQ / AB,A5101)11EQ / AC,所以点Q到AB的距离是点C到AB的距离的1丄，点Q到AC的距离是点B到2AC的距离的1,所以电13SABCSQACSABCS.ABCS.QABS QACSABC， . 1“、“111、=1鮎几3.所以f（Q）=（,）.62 6 3四、求参数或参数和的取值范围或最值T 1四边形OABC是边长为1的正方形，OD =3，点OP=O（OC+BOD （O，阮R）, Uo+B的最大值等于1.解：显然点P在线段CB上 （不含点B）上无法取得最大值，点OB = OC 0A,OD = 3OA，所以OP =：1-S

21、QBC2 JP为BOD内（含边界）的动点,P在线段BD上才OC ：OD】fyrf 1 r nrrfya二：(OB OA)：OD =：(OB OD)：OD = : OB ( )OD点B, P, D三33有可能取得最大值.因为3aa点共线时，1，所以：:=1，由几何图形知卅三0,1，所以二的最334大值为4，当P位于点B时取得.3IT T2 已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若AP二ABI AC（人H R）,贝U九+ 4 的取值范围是_.,ITT2.解：因为点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若AP = ABAC,dAC =卩 化十 4 =S血AB+S舌AC = 1SABCSABCS

22、A BC所以.0,.0,SPA = ,SABCP到BC的距离越大，SBC越大,S.ABC1P与G场合时 -1 -3 越小.过点P作BC的平行线,淀.而点SABC观察可知，当点23，2点，所以I的取值范围是（一，1）.33.设两个单位向量q、e，满足| e12、6卜1,e1、的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te的夹角为钝角，求实数t的取值范围.22l、i3 .解：由条件，得0=4,e2= 1,0=21 cos601，所以（2娼7） （e1te2）=2t& （2t27）e,e27te2=2t215t 7.由2t215t7=0121解得t =-7,t，数形结合可得不等式2t 15

23、t0的解为-7 : t.设2 22t +7e2=九（ee2）0）,因为、e2不共线，所以2t=九且7 = th，得到14?. 14-d4,t，即当t时向量2tq 7e2与向量te2的夹角为二.故2 2实数t的取值范围为（-7,-一比-42 2五、平面向量与平面几何的交汇问题当点P在BC上时 J=1.因为点P是GBC内一1)12131.已知O, H为ABC的外接圆的外心、垂心，求证： I t r IOH =OA OB OC.证明：延长BO交:ABC的外接圆于D,连结DA DC,贝U DA丄AB，CD丄BC，所以DA/CH，T T T T T=OA+AH)I TDC/CH,所以 竺二DC， 所以o

24、生OAAH =OA DC = OA DO OC = OAOB OC.2.已知ABC内接于L O,AB二AC,D为AB的中点，证明：设OA = a,OB =b,OC =C，因为D为AB的中点,1E为ACD的重心，所以OD (a b),OE =OD DE21 1- =OD (DC DA) =OD -(OC -OD OD - OB)311(a b) (c -b)-3呻1呻 2 -.1呻11 11所以OECD=( a b c)( a b-c)2“-“1叫21叫2D_ 121 ., a bc.2E为AACD的重心.求ib ic,CD云OCi叫21T .c a (bc)(因为|a|2=|b|2=|c|=R

25、)361叫2121叫21a b c a b -41233因为AB = AC,OB =OC，所以AO为BC的中垂线，所以3 21 a3,2a (b-c) =0.所以OE CD=0，故OE _CD.3 设向量a,b满足：|a |=3,| b|=4,ab二0.以a,b,a-b的模为边长构成 三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_.3.解：.Ta| =3,| b|=4,a b = 0,|a- b|二二a2b2= = 32 42= 5.a,b,a -b的模为边长构成三角形是一个直角三角形,3汉4其内切圆半径-k当半径为1的圆所处的位置正好是三角形的内切圆位置时， 三角形与圆只有三个交点， 当

26、圆的位置偏 离后使得三角形有两条边与圆相交时，能实现4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现.因此公共点个数最多为4个.1415平面向量与向量的方法的应用（一）（学生版）一、用向量表示三角形的心”（重心、内心、垂心、外心）在:ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.三角形四心”的向量的统一形式：X是.ABC的心二T t T T T THA HB = HB HCHA H是ABC的_心.2222 2 2HA BC =HB AC = HC ABH是ABC的_心.当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法.AB AC5.所在直线一定通过ABC的_心.AB|C|6.AB _AC所在直

27、线一定通过ABC的_心.ABAC7.1所在直线一定通过ABC的_心.|AB| cosB | AC | cosC8 .已知A, B,C是坐标平面内不共线的三点，O是坐标原点，动点P满足1O P （1- QA，（1- QB，（T2OC R），则点P的轨迹一定经过ABC的弓理若XABC内的一点，则S-XBC: SXAC: SXAB2 ：XAXB _XC =4_.斗证明：这里只证明，XA r XB XC = 0 =均为正数).作XlXA,-1XB,XPJSXNP1| XN2证明点X为MNP的重心于是SXASXAB：(L,.；，贝U XM XN XP=0.容易T TXB|XC|s in BXCTXN |

28、XP|sin. NXP，所以1ISXNP HzSX BC: SXAC: SXABS.XBC卩v，冋理SXACSMNP，SXABSMNP，所取，-SXBC， y 二SXAC, 练习：，L L-S.XAB,SXBCXASXACXBSXBAX -0.1.2.GGB gC=出=G是- ABC的aA b IB c IC 0sin2A OA sin2B OB sin2C OC = 0：=O是ABC的ABC的_.心.I是:ABp的_心.心.3.2 2 2OA OB OC O是4.H在二ABC内部，则tanA HA tanB HB tanC HC = 0：=H是二ABC的 心.怎JXBXC163_心.、三角形

29、形状的判定171.O为ABC所在平面内一点，且满足 形状为_三角形.3. 在ABC中.，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别为a，b，ccAC aPA b PB，贝U MBC的形状为_.三、向量分解问题_1.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若AD =xAB +yAC，贝H x=_,y =_2.给定两个长度为 1 的平面向量0A和0B,它们的夹角为120如图所示 C 在以 0 为圆心的圆弧AB上变动若OC =xOA yOB,其中x, y R,则x y的最大值是3.O :ABC内一点，AOB =150：,CO _ AO,|OA卜1,|OB|=2, 设OC二xOAyOB，贝U x y二_.四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题1.已知a,b都是非零向量，且a+ 3b与la-5b垂直，a-4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.刍 在ABp和-:AEF中,_B是EF的中点，AB二EF = 1,BC = 6,CA=33, 若AB AE AC AF =2，则EF与BC的夹角的余弦值等于_.3.已知OFM的面积为S,且则向量OF与FM的2 2夹角的范围是_4.,ArBrC的对边分别为a,b,c,重心为G,若a G A b GB c0G则 乂A=.2.已知非零向量则iABC是_三角形.AC满足条件