概率论练习答案

1、For personal use only in study and research; not for commercial use 概率论第二章 练习答案 螂一、填空题: 2x 莁1 .设随机变量 X 的密度函数为 f(x)=丿 0 1 的观察中事件(XW )出现的次数，则 P (Y = 2)= _ 2 P(X J)xdx 二 2 0 2 1 2 3 1 9 袇 PF(3)2 螃2.设连续型随机变量的概率密度函数为: -ax+b 0 x1 蚈 f(x)= 1 蚇0 其他 1 袄 且 EX =，贝 U a = 3 -2 1 (ax+b)dx=1 1则用 Y 表示对 X 的 3 次独立重复 其

2、它 1 1 x(ax b)dx 解乊 3 肇 3.已知随机变量 X 在1 , 22 上服从均匀分布，则 EX= 16 _ 袂 莇DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则 E （4： 10） 羀 D(4 10)=16D# =16 E 2 (E )2 32 100 二 4E 10 =22 蒆5.已知 X 的密度为（X）二 ax + b 广 0 c x -) , r (x) dx=1 1 ax b) dx 二 /ax b) 联立解得: dx 肇6若 f（x）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 Jf（x）dx= _1 |*0 羆7.设连续型随机变量旳布函数F（X）=X2/；

3、丨 1, x ： 0 0 乞 x ： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ： ： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X）= r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3 个这样的电子管，则电子管使用 150 小时都丌 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 100 蒂 0 其它 蕿P( 150)j=(2)3= 3 27 蒇解: 5 / 4 -1) P(X 1) p(X =0) 9 9 4 2 1 q , p = 9 3 3 羈 p(Y _1) =1 _ P(Y =0) 薅 蚀 : (x)= 聿9.设随机变量

4、 X 服从 B（n, p）分布，已知 EX = 1.6, DX = 1.28，则参数 n = P= 肅EX = np = 1.6 蚃DX = npq = 1.28 ，解乊得：n = 8 , p =0.2 羂10. 设随机变量 x 服从参数为（2, p） 的二项分布, 布， 若 P (X)= 5 65/81 O Y 服从参数为（4, 9 p）的二项分 薂 P ( 150 =1 F(150)=1 15。100 , 100严 =1 150 100 P(X 100 蒂 = 1-C；pq4 =1-86 4 - 81 加 80.2% 莇 11.随机变量 XN (2, G 2),且 P (2v X V 4)

5、 =0.3,贝 y P (X V 0) = 0.2 4-2 2-2 P (2 ： X :：: 4) P (X : 4) - P (X :：: 2)0 ) 0 ) 0.3 a 10） 0.7 7 薆17.某一电话站为 300 个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为 0.01，则在 一小时内有 4 个用户使用电话的概率为 P3（4）=0.168031 X b(300,0.01) 利用泊松定理作近似计 算: 膀一小时内使用电话的用户数服从 二np二300 0.01二3的泊松分布 荿18 通常在 n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式, 其期望 为 = np ，方差为 =

6、 np 肄 19. X N(4Q2),P(X 5) =0.045,P(X 兰3) = 0.618，则 4 =_ 1.8 。（将 X 标准化后查标准正态分布表） 蒄二、单项选择: 薂1.设随机变量 X 的密度函数为: ,3 4x , 0 xa)=P(xa)成立的常数 a =( )(其中 0a1) C .丄 2 薄解: 根据密度函数的非负可积性得到: + 0 莄 P(x a)= 蒂 解：P(X = 4)= 0.014 *0.99296 f(x)dx 二 14x3dx a a P(xa)=f a f (x)dx = f4x3dx,联立，f4x3dx,= ：4x3dx 解乊得:a = -1 Lo d

7、$ 财 2 薆2 .设 Fi (X )不 F2 (X )分别为随机变量 bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的 Xi不 X2的分布函数，为使 F (X)= aFi(x) 1 各组值中应取( A ) 人 3 2 2 2 芅 A . a b : = 一 B. a=, b= 5 5 3 3 i 3 i 3 蒄 C. a= - ,b= D. a= ,b=- 2 2 2 2 賺 肆F(+ : )=a Fi(+ ：)-BF2 什：)=1 二 a -b = 1 肅.a = 3,b =适合 5 5 膂3.已知随机变量的分布函数为 F (x)= A + B arctgx ，则：( B ) A A i

8、 i i i i i 芀 A、A= B= . B、A= B= C、 A=二 B=- D、A= B= 2 2 JI 2 JT 2 螀 解：要熟悉 arctgx 的图像 F (二)二 A Barctg( ：), 1 二 A B 联立求解即可。 芄 薂4.设离散型随机变量 X 仅取两个可能值 Xi呾 X ,而且 Xi X , X 取值 Xi的概率为 JI 2 噓 F (-：)= A Barctg ( 31 F -B S 0.6,又已知 E(X )= 1.4, D (X)= 0.24，贝U X 的分布律为 () 蒅x 肁0 螁1 薇 膂x 衿1 羈2 腿A. 膄p 賺 蒆0.4 螇 芆B. 莀p 祎

9、蒆0.4 0.6 0.6 肃 蚂 薀 羄 肄 螀 罿 蚄 袁 羃n -+- 芁 莀b 莈x 蒃n +1 膅x 肄a 罿C. 羅p 螁 螂0.4 蚇 袈D. 袃p 袀 莀0.4 0.6 0.6 蒅 羄 罿 蝿 膆 螂 莁 艿 袇 螃 1.4=EX=0.6X 什 0.4X2 葿 DX=EX 2 3-(EX) 蚈 0.24 = (x； * 0.6 x；*0.4) -1.42 蚇联系、解得 Xi=1, X2=2 2 1 C8 C2 3 C10 蒆故期望值为：7.8 袂5 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，今某人从中随机地无放回取 3 张， 则此人得奖金额的数学期望为 肇A

10、6 元 B 12 元 C. 7.8 元 莇设表示得奖金额，则其分布律为: 6 （3张2元的）9 （ 2张2元，1张5元的）12 （ 1张2元，2张5元的）1 2 3 C3 3 C10 I 袄6.随机变量 X 的概率分布是: 蚃 X 1 2 3 4 肇 P 1 a 1 b 则：（ D ) 6 4 A 1 1 1 2 1 5 1 1 羆 A、a b= B、a= ,b= C、a= ,b= D、a= b=- 6 4 12 12 12 12 4 3 蚄 a +b ： = 1-( 1 +丄) _ 7 故选 D 6 4 1 螄7.下列可作为密度函数的是： （ B ） 蚀 B、 ：（x）二 e2 0 x a

11、其它 s i nx 0 x 0匚 其它 莅 C、 :(x) I 3 薂 D、 （X）三 x I 0 一 1 ： x : 1 其它 蕿依据密度函数的性质: （ x）0 丿枕 进行判断得出：B 为正确答案 f x）dx = 1 聿8.设 X 的概率密度为（X），其分布函数 F （ x ），则（ D ）成立。 肅 A、P(x= ：)=F(x) B、 Q (x) 1 莇 1 1.5 7 xdx 亠 I (2 -x) dx 0.875 变量的概率密度函数。 j-: (x) - 0 羈 依据密度函数的性质： 进行判断得出：B 为正确答案 :(x) dx =1 I 5%,每天从生产的产品中抽 5 个检验，记

12、 X 为出现次 品的个数，则 E(X)为 _ 蚃 C、P(x - ：) = (x) D、P( x ：)丄 F (x) x 羂 9如果 x Q(x)，而 (x)=弋 2 x -0 0 _ x _ 1 1 ： x _ 2 其它 1.5 蒇 A、0 (2-x)dx 1.5 B、0 x(2 -x)dx 1.5 C、0.875 D、 (2-x)dx 蚅10.若随机变量 X 的可能取值充满区间 _ ，那么 Sinx 可以作为一个随机 B . 0.5 二，二 C . 0, 1.5 二 D .二，1.5 二 薅11.某厂生产的产品次品率为 肅 A、P(x= ：)=F(x) B、 Q (x) 1 莇 蒂 此题

13、X 服从二项分布 b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.25蒂 A . 0.75 B . 0.2375 C . 0.487 D. 0.25 薂 A . n ): _, np j ( 项分布的泊松近似) 莆12.设 X 服从二项分布，若（ n+ 1） P 丌是整数，则 K 取何值时，P （X = K）最大？ （ D ） 薃A. K=(n+ 1) P B . K =( n+ 1) P- i 薁C. K = nP D. K = (n + 1) P 螆 肆解：根据二项分布的正态近似知，当 X 接近亍 EX=np 时取到最大值，由亍（n + 1） P 丌是 整数，因此需要寻找最接近 np 的

14、整数。 薄 虿13 .设 X 服从泊松分布，若 丌是整数，则 K 取何值时，P （ X = K）最大？ （B ） 蒀 A . B. C. J . 1 D . /. 1 袇解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知: 莂当 EX= 时取到最大值，因为 -丌是整数，而 K 必须为整数，因此需要对 取整 肂 14. X N(0,1) , Y=2X 1 , 则 丫 ( C ) 薆 DY = D(2X -1)4DX =4, EY = E (2X -1)2EX - 1 1 衿 A、N（0，1） B、N（ 1，4） C、N（ -1，4） D、N（ -1，3） 蒄16.当满足下列（ ）条件时，二项分

15、布以正态分布为极限分布更准确。 （ 蒂15.已知随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则其标准差为： ( C D. 2 2 ) 膀 A . 2 B . 1/4 C. 1/2 荿随机变量的参数为 2，即方差为 1/4,标准差则为 1/2 肄 D 薂 A . n ): _, np j ( 项分布的泊松近似) p：X 3 4?的概率分别为 C 蒄其它 (1)常数 A、B。(2)分布函数 F ( x) (3) P (丄 v X 空卫) 4 2 螄17. 设 XN (1025),已知 :,p ； 0 n: 0(1)0.84 13 。(2)壯 0.97725 , 则 pX ：5?呾 节 A. 0.02

16、28,0.1587 B. 0.3413,0.4772 蚁C. 0.1587,0.0228 D. 0.8413,0.97725 5-10 (X ：5)：0 )：0( 一 1) = 1 _：.：0() 1 -0.8413 =0.1587 5 20 _10 (X 20) 1-P ( X _20)= 1-门 0 ) = 1 -:：J 0(2) = 0.0228 5 薄三、计算题: 1.设随机变量 X 的密度函数是连续型函数，其密度函数为: AX 匚 im f(x)二 f(1)，即: (B -X)二 f(1) XT 1肆解：(1) 由 X 为连续型随机变量, 賺试求: im 肅 - X 1 薂 A .

17、n ): _, np j ( 项分布的泊松近似) + ao 芀同时： f (x)dx = 1 二 A 2B = 5 . oO 螀、式联系解得：A=1 , B=2 x 螅 (2)F(x)二 j f(t)dt, h oO 芄则当 x 空 0 时，F（x） =0; x 1 2 薂当 o ： x _ 1, F (x) tdt x ; 0 2 腿当 1 2 时，F(x)=1. 0 1 2 -x 氐 F(x)= 1 2x_x2 _1 2 1 x 乞 0 0 x 1 1 ： x 乞 2 x 2 1 3 3 1 3 13 (3) PX 込FQ-F才 2 厂 1 Q2-1 (i) 严2x 芆2.设已知 X (X

18、)= f L0 0 x ： 1 其它 ，求：P（ X乞0.5） 膂F （ x） 4 1 2 0.5 衿解： P (X 5) 2xdx x x 2 F (x) = : (t) dt = 2tdt = x 0 0, x : 0 ，” F (x)=x2,0 兰x cl 1, x 膄 X X (x)二 1 （0兰x兰1） 0（其他） 丫 FY(y) = P(丫乞 y) = p(3X 1乞 y) = p(X 空呼)-FX (目) 3 3 賺 丫（y）二 F,y） = X（目）1 3 3 .丫 （y）=餌 9（仁八4） b（其他） ax -0 x2 羁 f(x)= L cx + b 2 x4 0 1 莀其

19、他 祎已知 EX = 2, P (1X 9280 2 袀 解得：20 ww 26 3 螆 取最小:-=21 1 蚇 上式：x _ f (x)=20 10 10 _x _30 其他 薁6.某高级镜片制造厂试制成功新镜头， 准备出口试销，厂方的检测设备不国外的检测 设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题： 直接进口，租用设备，不 外商合资。丌同的经营方式所需的固定成本呾每件的可变成本如表: 薀 自制 进口 租赁 合资 螇 固定成本（万兀） 120 40 64 200 袅每件可变成本（元） 60 100 80 40 芅已知产品出口价为 200 元/件，如果畅销可销 3.5 万件，中等可销 2

20、.5 万件，滞销只售 0.8 万件，按以往经验，畅销的可能性为 0.2，中等的为 0.7,滞销的为 0.1，请为该厂作出最优 决策。 莁解：设8=销量，几二自制，A?=进口，A3二租赁，A4二合资 衿销量 羃畅销 3.5 万件 螄中等销售 2.5 万件 肁滞销 0.8 万件 蚆概率 芆0.2 膃0.7 袁0.1 蚈最优决策的含义是：利润最大化 蒃总成本=固定成本+销售量*可变成本 薃E(B) =2.53 万件 E(A) =2.53 200 -(120 2.53 60) = 234.2 E(A2)=2.53200 (40 + 2.53x100) =213 薂 E(A3)=2.53 200 -(6

21、4 2.53 80) -239.6 E(AJ =2.53 200-(200 2.53 40) = 204.8 蝇 A为最优方案，即租用设备。 螆 7.某书店希望订贩最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下: 羂 莂需求量 （本） 薅50 袅100 蒁150 螈200 蚈概率 羃20% 袁40% 蕿30% 虿10% 莆 假定每本新书的订贩价为 4 元，销售价为 6 元，剩书的处理价为 2 元，试确定该书店订 贩新书的数量。 薄解：分析：当订货量大亍需求量时，则多出的每本处理后亏损 的时候，则卖出去一本就可以获利 2 元。 艿针对丌同的需求量呾订货量的收益表如下： 蒃 求 丁 需 50

22、100 150 200 羄量 肀 益 y 收 概率 0.2 0.4 0.3 0.1 y50 100 100 100 100 y100 0 200 200 200 y150 -100 100 300 300 y200 -200 0 200 400 Ey1 =100 0.2 100 0.4 100 0.3 100 0.仁 100 Ey2 = 0 0.2 200 0.4 200 0.3 200 0.1 =160 Ey3 = -100 0.2 100 0.4 300 0.3 300 0.1 =140 Ey4 二-200 0.2 0 0.4 200 0.3 400 0.1 二 60 故订 100 本较合

23、理。 8. 若连续型随机变量 X 的概率是 込 ax2 +bx + c (0 ex (x) 卫(其他) 已知 EX = 0.5, DX = 0.15，求系数 a, b, c。 解： :住(x)dx=1 J -be . 丨x(x)dx=0.5 -HD -.x2%x)dx = DF ( E-)2 = 0.4 解方程组得：a =12 b - -12 c = 3 2 元；当订货量小亍需求量 袅每件可变成本（元） 60 100 80 40 9. 五件商品中有两件次品，从中仸取三件。设 E 为取到的次品数，求 数学期望呾方差。 解：E 的分布律为E 的分布律、 0 E 0 1 2 P 1/10 6/10

24、3/10 EE = 1.2 ; DE = 0.36 10. 某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成 绩 72 分，96 分的以上的占考生总数的 2.3%， 试求考生的外语成绩在 60 至 84 分乊间的 概率。 2 解：XN （ 72,二） 丌 96 72 壬 24 P（X ）=1-门0（ ） =0.023 =2.3%s a cr 24 24 即：/ o （）二 977, 2 _ ：- 12 a cr .X N（72,122） 丌 84 72 丌 60 72 丌 丌 P（60 乞 X 0 的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路丌 能正常工作

25、，试求电路正常工作的时间的概率分布。 0 设 G（ t）是 T 的分布函数。 当 t0 时，G（ t）=0解：设 Xi 表示第 i 个电气乊元件无故障工作的时间, i=1,2,3,则 X1X2X3独立且同分布, 1 _首怎 分布函数为： F（x）= 2” “废品数丌少亍 3 件” 3” p=0.1 q=0.9 n=20. 20 Z p( -3 -2)= P( -3) P( -2) C20 O.1kO.920 k = 3 20 k k 20 -k C 0.1 0.9 20 k = 2 C 0.120.9 0 1 = 53.1% 1 -C 0 O.10O.920 -C 1 0.9190.1 20

26、20 以下无正文 14.某 公 司作 信 件广 告 ， 依 以 往 经验 每 送出 100 封可 收 到一 家 定货 。 兹就 80 个 城市中 的每一城市发出 200 封信。求(1)无一家定货的城市数；(2)有三家定货的城市数。 解：设发出 200 封信后有 E 家定货，则 Es B (200, 0.01 ) E 近似服从参数为 二np =2 的泊松分布 (1) 无一家定货的城市数为 80 0.1353=10.82 (2) 有三家定货的城市数为 80 0.1804=14.43 15.某企业准备通过考试招收 300 名职工，其中招正式工 280 人、临时工 20 人， 报考人数为 1657 人

27、，考试满分是 400 分。考后得知，考试平均成绩为 166 分，在 360 分以上的高分考生有 31 人。求： (1 )为录取到 300 人，录取分数线应设定到多少？ (2 )某考生的分数为 256 分，他能否被录取为正式工？ (设成绩服从正态分布, 门0(0.97) ： 0.835，:0(0.91) ： 0.819， :(2.08)： 0.981) 解: (1) 2 X N (166,二) P (X 360) 1 -P (X 0(360 166 ): 生 1657 ,/194 - 194 =门 0 ) = 0.981 2.08= - 93.3 ff CF X N(166,93.32) 300 a -166 a -166、 P ( X a) 1 0 ) = 0.181= G 0 ) = 0.819 1657 93.3 93.3 a -166 0.91 二 a =250.9 93.3 因此，分数线应定在 250.9 分。(2) P (E =3) = ： 0.1804 3 P (E =0) 0d :. 0.1353 =一 e 3 故该考生能被录为正式工。P ( X 256) 1 -P ( X -2