微分几何练习题库及参考答案已修改

1、微 分 几 何 复 习 题 与 参考 答 案一、填空题,(a 为常向量)，则r(t) = t2a- c.26.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的切线 和 密切平面_7.曲率恒等于零的曲线是_直线_.8.挠率恒等于零的曲线是_平面曲线_.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线10. 曲线r=r*（t）在 t = 2 处有扌=3*，则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 .11. 若在点（u,v）处：汇 2 式 0,则（u,v）为曲面的一正常_点.斗呻彳.呻Td耳.12 .已知f (tH (2 t)j (ln t)k,g(t) = (sin t)i -(cost)j,

2、 t 0，贝 U (f g)d6cos4 .0dt13. 曲线(t) J.2t,t3,eY 在任意点的切向量为 S,3t2,e1 .14. 曲线(t) = ：acosht,asinht,at;在 t =0 点的切向量为 0,a,a?.15. 曲线(t) -acost, asint,btf 在 t =0 点的切向量为 0,a,b?.17.设曲线= etcost, etsi nt,z=et，当t =0 时的切线方程为xT = y=z-1.18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是F=M=0_.19. u 曲线（v 曲线）的正交轨线的微分方程是_Edu+Fdv = 0 （Fdu+Giv = 0）

3、 _.20. 在欧拉公式kn=% cos k2sin2二中，二是_的夹角.21.曲面的三个基本形式 ；川、高斯曲率 、平均曲率匚之间的关系是2H K = 0 .d722.已知 r（ u,v）u v,u v,uvf，其中u =t2,v = si nt，则 一 2tCDSt2 t cos ,2 vt icos1.2.3.极限limj(3121)i _t3jk = 13i -8j k.2设f(t)=(si nt)i tj,g(t) =(t 1)i e j，求lim( f(t) g(t)_0_.已知fr(t)dt二1,2,3,fr(t)dt二2,1,2,才=2,1,1, =1,1,0，则44.6 J

4、Ja r(t)dt+b a r(t)dt=3-9,5. 已知r(t)=a( a 为常向量)，则r(t)=ta c.5.16.设曲线C : x = e： y =e, z = t2，当 t=1时的切线方程为1y-_e1z1asin cosv-2atcossinv,-asin sinv 2atcoscosv, acosT.t / .dt-23.已知 7（- acoscosr,acoss ind as in，其中 二 t , - -12，贝Uasin cosv-2atcossinv,-asin sinv 2atcoscosv, acosT.dR 日)dt24. 设,=F(u,v)为曲面的参数表示，如果

5、r;r;-0，则称参数曲面是正则的；如果7:G_. r (G)根据罗德里格斯定理，如果方向(d)=(du:dv)是主方向，则d；二-kndr*，其中心是沿方向(d)的法曲率.37. 旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面.38. 测地曲率的几何意义是曲面 S 上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于(C)在 P 点的切平面二上的正投影曲线(C*)的曲率.39.k,kg,kn之间的关系是 k2- k2k .40.如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为041. 正交网时测地线的方程为是25.对应的26.27.，则称曲面是简单曲面.如果u曲线族和v-曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为平面 r(u,

6、 v) - u, v,f的第一基本形式为du2dv2，面积微元为 dudv . 悬链面 r(u,v) -coshucosv,coshusinv,u?第一基本量是E =cosh2u, F =0,G =cosh2u.正规坐标网.28.2曲面 z=axy 上坐标曲线x=x0，y = y0的交角的余弦值是%一2 2J(1 + a2x2)(1 + a2yo2)29.正螺面 P(u,v) - ;ucosv,usinv,bv?的第一基本形式是du2- (u2b2)dv2.30.双曲抛物面 r(u, v) = ；a(u v), b(u-v), 2uv?的第一基本形式是2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(a

7、 b 4v )du2(a -b 4uv)dudv (a b 4u )dv.31.正螺面 r (u,v) =、ucosv,usinv,bvf 的平均曲率为_032.方向(d)二 du:dv 是渐近方向的充要条件是kn(d)=0或Ldu22Mdudv - Ndv2=0.33.方向(d) =du : dv和(3) = u :&共轭的充要条件是II (d,祸)=0 或 Ldu u+M (du 3 +dv 3) + Ndv 3 = 0.34. 是主曲率的充要条件是，E - L F - M-F -M G -N-0.35.(d) =du:dv是主方向的充要条件是Edu + Fdv Ldu + Mdv

8、Fdu+Gdv Mdu + Ndv=0 或dv2EL-dudvFMdu2GN=0 .36.d =Evds2E7Gducos 6ds晁dvsin日UsCOS”3si nr2GVE42.曲线是曲面的测地线，曲线（C）上任一点在其切平面的正投影曲线是直线1.2.3.4.5.6.7.8.、单项选择题已知(t) -eller，则r (0)为(A ).A.厲 0,仁;B.已知r二，r（t）,A. ta ; B. 其中 a 为常向量.曲线（C）是：-1,0,1;C.为常数，则r（t）为（ a ；C.C ).e几a；D.“a.般螺线，以下命题不正确的是（D ）.畐 I法线与固定方向成固定角;.副法线与固定方向

9、垂直.A.切线与固定方向成固定角；C.主法线与固定方向垂直；曲面在每一点处的主方向（A ）A.至少有两个；B .只有一个；球面上的大圆不可能是球面上的（A.测地线； B .曲率线；只有两个;）法截线；D .可能没有.D .渐近线.已知 r（x,y） x,y,x*，求dr（1,2）为（D ）.A. dx,dy,dx 2dy;C. ?dx-dy,dx+dy,01;B.D.、dx dy,dx -dy,Of ;dx,dy,2dx dy?.圆柱螺线 r - lcost,sint,t1 的切线与z轴（C ）.A.平行； B. 垂直； C.设平面曲线C :r r（s），s 为自然参数,；A.:-为单位向量；

10、B. 直线的曲率为（B ）.A. -1 ; B. 0;10 .关于平面曲线的曲率（s）i;有固定夹角一； D. 有固定夹角一.43，是曲线的基本向量.叙述错误的是（k”：亠.9.A. k(s)C. k（s）11.对于曲线，A.充分不必要条件;C ).C. 1; D. 2.C :r =r (s)不正确的是(k(s)(s)，B., D.“曲率恒等于0”k（s）=|r（s）|.是“曲线是直线”B.D ）.为戈（s）的旋转角;的（D ）.必要不充分条件;12. 下列论述不正确的是（D ）.A.二厂均为单位向量；B. ? - - ; C. .I ; D. ?|_ -.13. 对于空间曲线 C，“挠率为零

11、”是“曲线是直线”的（B）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.t兀14.x=a（t-si n t）, y = a（1-cost）, z = 4asi n在点t的切线与z轴关系为（D ）.22A.垂直； B. 平行； C. 成的角；D.成的角.342 2 215 .椭球面笃与务=1的参数表示为（C ）.a b cA.x y, z,、cos coscos sinr,sin:；B.：x, y, zl = iacos cosr,bcos sinr,sin /；C.lx, y, z = a cos cos 日,bcos sin 0,csi n；D.x yZ

12、=、acoscosr ,bsin coscsin2 卅.16. 曲面 r（u,v） =2u-v,u2 v2,u3-v3?在点M （3,5,7）的切平面方程为（B ）.2 2 2 2 2 2 2 2C.R （dusinh udv ）；D.R （du cos udv ）.18.正圆柱面 r（u,v） = ：Rcosv,Rsinv,uf 的第一基本形式为（C ）.A.du2dv2； B.du2-dv2；Cdu2R2dv2； D.du2- R2dv2.19.在第一基本形式为l（du,d v）二du2 sinh2udv2的曲面上，方程为u=v（wH2）的曲线段的弧长为（B ）.A .cosh v2-co

13、shM；B.sinh v2-sinh q；C .coshvi-coshv2；D.sinhw-sinh v2.20.设 M 为正则曲面，贝UM 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）.A . E =0 ；B . F -0 ； C . G=0 ； D . M =0 .21.高斯曲率为零的的曲面称为（A ）.A .极小曲面； B.球面；C .常高斯曲率曲面；D .平面.C.既不充分也不必要条件;D.充要条件.A.21x 3y-5z 20=0；B.18x 3y -4z-41 = 0；C.7x 5y -6z18=0；D.18x 5y-3z16=0.17. 球面 r（u,v）二：Rcosucosv

14、,Rcosusinv,Rsinu?的第一基本形式为（D ）.2 2 2 2 2 2 2 2A.R （du sin udv ）；B.R （du cosh udv ）；22 .曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）.A .0 ；B.1 ；C. 2 ； D . 3 .23.当参数曲线构成正交网时，参数曲线 u-曲线的测地曲率为（B ）.18.二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudv C(u,v)dv0总表示曲面上两族曲线.XA .直线；B.平面曲线；C .抛物线；D .圆柱螺线.三、判断题(正确打V,错误打X)1. 向量函数r =r(t)具有固定长度，则r (t),(t).V2.

15、 向量函数r =r(t)具有固定方向，则r (tJr(t).V3. 向量函数r(t)关于 t 的旋转速度等于其微商的模r (t).X4.曲线】的曲率、挠率都为常数，则曲线:是圆柱螺线.X5. 若曲线一的曲率、挠率都为非零常数，则曲线-是圆柱螺线.V6.圆柱面r二RcosRsin z, z线是渐近线.V7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.X8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.V9.等距变换一定是保角变换.V10.保角变换一定是等距变换.X11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.X12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一.X13

16、.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线.V14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向.V15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量.X16.曲面上的直线一定是测地线.V17.微分方程A(u,v)du ，B(u,v)dv=0表示曲面上曲线族.X1 l n G2、E:v1；:l n E2、,G ；:u24.如果测地线同时为渐近线，则它必为(A ).C.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是 F = 0，这里 F 是第一基本量.V20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.V21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.X22.球面上的圆一定是测地线.X23.球面上经线一定是测地线.

17、V24.测地曲率是曲面的内蕴量.V四、计算题 1.求旋轮线x = a(t - sin t), y二a(1 - cost)的 0 一 t 一 2 二一段的弧长.解 旋轮线 7(t)二、a(t -sint), a(1 -cost).的切向量为 r (t)二：a - acost, asint,则在 0 - t - 2 二bsinv x - bcosu y uz -buv =0,法线方程为x-ucosv畀 壘.bsi nv-bcosvu5.求球面acos ：:cosr,acos ：:sin,asin 上任一点处的切平面与法线方程.解 r.： - -asin cos, -asin sin acos v

18、,2兀.2n_段的弧长为：s= r (t) dt二、2a、l-costdt = 8a.00求曲线x =tsin t, y = t cost, z = tet在原点的切向量、主法向量、副法向量.A(t) -、sint tcost,cost _tsint,etteh ,r(t) = 2cost -tsint, -2sint -tcostNe、tel ,F(0) =(0,1,1),产(0)=(2,0,2),./ HFI IF 7 r F r IR F 斗F蚌(r)r1(rJr )rr，寻弓,J#2.由题意知在原点，有又：所以有(04).3. 圆柱螺线为 (t) - ia cost, as in t,

19、bt?,求基本向量 二呻;求曲率 k 和挠率. *(t)二:-asint,acost,b?, 7 (t)二-acost,asint,Ol ,又由公式:-(r厂)r.:-asint,acost,-cost,-sint,0,扌a2b21drbsin t, bcost,a； a2b24.由一般参数的曲率公式k(t)二有k = 22,22a+ba+br4.3/ F r rr r i“及挠率公式.(t)二(J丄；)求正螺面 7(u,v) =、ucosv,usinv, bvf 的切平面和法线方程.ru= :cosv,sin v,0 /,- -usinv,ucosv,b，切平面方程为x -u cosvcos

20、v-u sin vy - u sin vsin vu cosvz-bv0b=0,r = acos sindacos cospO,eie2e3-a sin cos日-a sin申sin日acos -acoss in日acoscos日0=a2cos - cosCOST，- cos sin 人 - sin /球面上任意点的切平面方程为lx -acoscosr, y -acos sin n, z -asin/a2cos：；一cos:cosr, -cossin二一sin 1 = 0,即cos v cosxcos:sin v y sinz _ a = 0,法线方程为(x _acos cosv, y -ac

21、os sin v, z _asin) = -a2cos(_coscosv, _cossin v, _sin),6.求圆柱螺线x = acost, y = asint,z =t在点(a,0,0)处的密切平面.解,(t)二asint,acost,1,(t) = -acost, -asint,0,所以曲线在原点的密切平面的方程为x a y 0z 0-a si nta cost 1 = 0，-a cost -a si nt0即(sin t)x(cost)y azasint =0.7.求旋转抛物面z =a(x2y2)的第一基本形式.解 参数表示为 7(x, y) = x, y, a(x2y2)f ,住-

22、.1,0,2ax , g -0,1,2ay?,E = rxrx=14a2x2, F = ry =4a2xy , G = 1 4a2y2,l(dx,dy) =(1 4a2x2)dx28a2xydxdy (1 4a2y2)dy2.8.求正螺面 F*(u,v) -ucosv,usinv,bv?的第一基本形式.解r; =cosv,sinv,Of,；-usinv,ucosv,b,E = r; ru =1,Fr； = 0,G = H = u2b2, . I(du,dv)二du2(u2b2)dv2.9.计算正螺面 7(u,v) = ：ucosv,usinv,bvf 的第一、第二基本量.解 r;_cosv,s

23、inv,Of,-usinv,ucosv,b?,二 =9,0,0?, I -sinv,cosv,0?, I -ucosv,-usinv,0?,tbs in v, -bcosv, u /cosvusinsin vu cosv-bsin v, -b cosv,u J,M二n-2,N二仏n= b uZ=x2 y2的高斯曲率和平均曲率.LFun=0 ,10.计算抛物面G = u解 设抛物面的参数表示为 r (x, y x, y,x2y2?，则2y：-2x, -2y,1?解直接计算知化简得dy(2ydx xdy) = 0，dy二0或2ydx xdy二0渐近线为 y=G，x2y=C213.求螺旋面 r -、

24、ucosv,usinv,bvf 上的曲率线.,0,2x1,ry0,1,2 y?，rx-.0,0,2 /，rXy=fyx = I0,0,0f，yy= ：0,0,2f，2xU.-2x, -2y,1?,xry4x24y21?E =rx1 4x2，F =rx札= 4xy,2ry 4y，L =rxxn2$4x +4y +14x24y2i2LN -M4x24y21-0K2 2 2 2EG _F2(1+4x2)(1+4y2)_(4xy)22 2 2 ，(4x24y21)21 GL -2FM EN4x24y22H_2 EG -F211.计算正螺面 r(u,v)(4x24y21)。=ucosv,usinv, a

25、v?的高斯曲率.二u2a2，L =0 ,M、u2a2=0 ,KN-M2a2EG -F22 2 2(ua )12.求曲面z = xy2的渐近线.解z = xy2，贝U p-2:z-=xxy=2y,-2:z2= 2x-:y所以，L=0,2y2x1 y44x2y21 y44x2y2渐近线微分方程为4y1 y44x2y2dxdy2x1 y44x2y2dy，解:=cos v,sin v,0, r；=-usin v, u cos v, b2 2 2 2E二ru1,F二rurv=0,G二 ju b ,15. 求抛物面z = a(x2，y2)在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即r =x,y,a(x2y2),

26、rx-1,0,2ax, ry-0,1, 2ay,E(0,0)=1, F(0,0) =0, G(0,0)=1,rxx=0,0, 2a, g二0,0,0, =0,0, 2a,L(0,0) =2a, M(0,0) =0, N(0,0) =2a,4r. rvlbs in v，bcosv,u ? : bsinv，bcosv,u ?ru吋bsin v，一 bcosv,u ?、b2u2bruu= 0,0,0 , ruv= -s inv ,cosv,0, g =-ucosv, -us in v,0,L =0,M = ,N =0Ju2+ b2曲率线的微分方程为：dv21-dudvdu20u2b2-bub2=0

27、或dv = 1- duJu2+b2积分得两族曲率线方程：v =ln(u . u2b2)G和v =ln(、u2b2_ u)c2.14.求马鞍面r =u,v, u2-v2在原点处沿任意方向的法曲率.解ru=1,0,2u, r；=0,1,-2v,E=皆=1 4u2, F=囂|_1 - -4uv, G = 1 4v22 2 2 2I= (1 4u )du -8uvdudv (1 4v )dv_ 2u,2v,1 和0 时，是椭圆点；v0 时，是双曲点；v=0 时，是抛物点.18. 求曲面r(u,v) =v3, u2, u v上的抛物点的轨迹方程.解 由r(u,v) v3, u2, u v,得覽二0,2

28、u, 1 f, rt=3v2, 0,1 -令LN-M2=TE&=.得u=0或v=0所以抛物点的轨迹方程为 r= :v3,0, W 或 r=、0, u2, u?.19. 求圆柱螺线r(t) =acost, asint, bt自然参数表示.解 由,(t)=acost, asint, bt,得 7 二-asint,acost, b，r (t-a 制弘)3,n的夹角)法曲率kn= k ： n kcos，.2.2. 2k =kn+kg.6.证明曲线 etcost, etsi nt. Of 的切向量与曲线的位置向量成定角.证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为 etcost, etsi nt,

29、0，该点切线的切向量为:，二elcost-sint),et(sint cost),0 /，贝U有：由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角.7.证明：若r和卜对一切t线性相关，则曲线是直线.证明 若r和 r 对一切t线性相关，则存在不同时为 0 的f(t), g(t)使f(t)：(t) g(t)： (t) =0，贝U-t, A(t) , (t) =0,又k(t)=iyj，故p t有k(t)=o.于是该曲线是直线.8.证明圆柱螺线x二acost,y二as in t, z二bt的主法线和 z 轴垂直相交. 证明由题意有T(t) -I-as in t, a cost, bl, r (t) -

30、；、-acost,-asi nt,01，由二(G (:9.证明曲线x=asin2t,y = asin t cost,z = a cost的所有法平面皆通过坐标原点.证明 由题意可得 A(t)=asin2t,acos2t,-asint?，则任意点的法平面为asi n2t(x-asin t) acos2t(y-asi n tcost。)- asi n t(z - a cost。)= 0将点(0,0,0 )代入上述 方程有左边二as in 2t0(0 - asi n210) a cos2t0(0 - asi nt0cost0) - asi n t0(0 - acost0) =0二右边，故结论成立.1

31、0. 证明曲线x=3t+2，y=2-2t 5t2, z =1为平面曲线， 并求出它所在的平面方程. 证明 ： 1 3t+2t2, 2-2t5t2, 1-尺，r3Mt, -2 10t, -2 存，丨4, 10,0,0,)=0,0,所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面,(0)-3, -2,01，7(0)4 10, -2；x1 y2 z1密切平面方程为3-20 =0,匚 r LCOSE=7 =Lte冷，故夹角为孑另一方面z轴的方向向量为 a00,仆，而ab = 0，故a _b，即主法线与z轴垂直. )r屯；)r知 B = cost, sint,0.410-2化简得其所在的平面方程是 2x+3

32、y+19z - 27= 0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线证明设曲线方程/二r(s)，定点的向径为Ro，贝 u彳 呻4r(s) -Ro= (s)：两边求微商，得 7 =l(s)-,； ”(s)k一：(1 -(s)： - (s)k空=0 由于：:线性无关,二 k = 0 曲线是直线.12.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线 证明取定点为坐标原点，曲线的方程为r=r(t)，则曲面在任一点的密切平面方程为-r(t),rt),r)=0因任一点的密切平面过定点，所以，(0-r(t),?(t),r(t) =0,即(rt);(t),r)=0所以卩二九)平行

33、于固定平面，所以r二r(t)是平面曲线.13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线.证明根据已知条件，得弓e=0.，两边求导，得 扌 2=0，由伏雷内公式得k 叫 2 = 0,i) k =0，则曲线是直线；H)艸e=0又有可知4IIe 因 e 是常向量，所以是常向量， 于是 冃九二。，所以.=0，所以曲线为平面曲线.14.设在两条挠曲线-的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行证明7=一： , I绥ds1由伏雷内公式得二二一/空1二士皿2进而2ds115.证明挠曲线( = 0)的主法线曲面是不可展曲面 证

34、明设挠曲线为r二r(s)，则挠率.=0，其主法线曲面的方程是：？二(s) -1 - (s)取a =(s), b二-(s)，贝 Ua = (s),b =-(s)+所以，(a,b,b) =(：(s)(s), -k：+ .) =(：(s), *s), -k!) + (?(s), Is),弓)=.=0 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面16.证明挠曲线( = 0)的副法线曲面是不可展曲面 证明设挠曲线为r =r(s)，则挠率=0，其副法线曲面的方程是：二r(s) J(s)”1 -X=0取a = r(s), b =4(s)，贝 y a .二F(s), b = (s)所以，(a；b,b)=(r(s),呻(

35、S),o,所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证明设曲线r=r(s),则曲线的主法线曲面为r =r( s)+v( s)=(1-vk)：亠v，rv= - (s),己rv(1-vk)2(v.)2，沿曲线(v二)n=4所以主法向量与曲面的法向量夹角, kn=kcosv - 0,2所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18.证明二次锥面=aucosv,busin二cu沿每一条直母线只有一个切平面.证明r二aucosv,busin v,cu二uacosv,bsinJ,C =0 uP(v)为直纹面(0,怕),(R) = 0,所以，曲面可展，即沿每一条直母线

36、只有一个切平面.也可以用高斯曲率 K=0 证明.19.给出曲面上一条曲率线丨，设丨上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角, 求证-是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角4，则nL=cos两边求微商，得屮+茁=0由于曲线丨是曲率线，所以忘,进而瞎0，由伏雷内公式得-.=0(1)=0 时，丨是一平面曲线=0，即 n _ ，kn= kcos二=0，I又因为丨是曲率线，所以dn二-kndr=0即 n 是常向量，所以:是平面曲线.20.求证正螺面上的坐标曲线(即 u-曲线族 v-曲线族)互相垂直.证明 设正螺面的参数表示是 r(u,v) - ucosv,usinv,bvf，贝

37、Ur -:cosv,sinv,0?，r; -: -usinv,ucosv,b， &sv,sin v,0 心 -us in v, ucosv, b = 0，故正螺面上的坐标曲线互相垂直.21.证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式knH&cosJ k2sin2*221kn二 kQos() +k2Sin(-)2 2二kin +k2cos2二=-Tprs二：+v(-k:亠r：(1- vk)斗-v . ?所以knk*n二kk2=常数.22.如果曲面上非直线的测地线-均为平面曲线，则】必是曲率线.证明 因为曲线】是非直线的测地线，所以沿此曲线有辟二从

38、而7- _(-=),又因为曲线是平面曲线，所以.=0,进一步7=由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线23.证明在曲面z = f(x) f(y)上曲线族 x=常数，y =常数构成共轭网. 证明 曲面的向量表示为r(x,y) x, y, f (x) f(y)： ,x=常数，y=常数是两族坐标曲线.rX -1,0, f ,ry二0,1, g.r： 0,0, f , rly二0,0,0, y 0,0, g ,因为Mrx=ry=0,所以坐标曲线构成共轭网，xy/EGF即曲线族 X=常数，丫=常数构成共轭网.24证明马鞍面 z 二 xy 上所有点都是双曲点. 证明 参数表示为 r

39、 (x, y) = ix, y,xy?，贝 U=1,0,y?, ry】0,1,x?，人=0,0,0?，0,0,1，% =0,0,0 ?，面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的. 证明设球面的参数表示为r(u,v) -Rcosvcosu, Rcosvsinu,Rsinvf，贝 U -Rcosvs inu, Rcosvcosu,0 f，-Rs inv cosu,-Rs invsinu ,Rcosvf，I - ；-Rcosvcosu, -Rcosvsinu,0?， I = I _ Rsinvsinu，-Rsinvcosu,0?， Rcosvcosu,-Rcosvsinu, -Rsinvl，2 2 2E f rR cos v， 0，G齐rR，(ru,rv,ruu)2(ru,rv,ruv)(ru,rv,rvv)L -二r Rcos v，M - - =0，N-厂-R， EG-F2EG-F2EG-F21(L,M ,N)(E,F,G)，故球面是全脐的.R26.证明平面是全脐的.；-y, -x,1j，L=rxxn =0，M1x2y21N=ryy.LN -M2= 0 025如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即dv?与方向无关，则称该点是曲n1-y, -x,i：证明 设平面的参数表示为 r (x, y)二：x,