方程应用题的几种类型

1、4列方程解应用题(1) 意义：方程是刻画现实世界的有效数学模型，通过设未知数，找出实际问题中的已 知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程并求解，从而解决实际问题(2) 方法步骤：1设：根据题意设出适合的未知数，一般是问什么设什么(直接设法)，有时采用间接设法2列： 找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出方程3解： 解出方程，并检验解是否符合实际4答：回答说明实际问题的答案.解技巧 列方程解应用题 运用方程解决实际问题最大的特点是设出未知数后， 可以用 含未知数的代数式表示所需要的量，符合人们顺向思维的观点【例 4】某乡改种玉米为种优质杂粮后，今年农民人

2、均收入比去年提高 20%.今年人均 收入比去年的倍少1 200 元这个乡去年农民人均收入是多少元分析： 列方程就是用两种不同的方法表示同一个量，设这个乡去年农民人均收入是x元，那么今年的人均收入是 (1 + 20%)x元，又今年人均收入比去年的倍少1 200 元，所以今年的人均收入又可以表示为 1 200) 元解：设这个乡去年农民人均收入是x元，根据题意，得(1 + 20%)x=- 1 200,解方程， 得x= 4 000.答：这个乡去年农民人均收入是 4 000 元5部分与全量关系型应用题“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中常用的等量关系，它包含在各类题目中，是最基础、 最常用的一种等量

3、关系之一, 题目一般已知总量, 再通过不同的方式表述各分量 所占比例,或各分量之间的倍数关系,求某一个量,如：一批文稿,若由甲抄30 小时抄完,乙抄 20 小时抄完,现由甲抄 3 小时后改由乙抄余下部分,那么乙尚需几小时抄完其中包含 的数量关系就是，甲抄写的量+乙抄写的量=总量.部分与总量的关系般设其中的一部分为X,根据各部分之间的关系，用含x的式子表示其他分量，最后相加等于总量【例 51】 用大小两台拖拉机耕地,每小时共耕地 30 亩已知大拖拉机的效率是小 拖拉机的倍,问小拖拉机每小时耕地多少亩分析：大拖拉机 1 小时的耕地亩数+小拖拉机 1 小时的耕地亩数=1 小时的耕地总亩数.解：设小拖

4、拉机每小时耕地x亩，那么大拖拉机每小时耕地亩，根据题意，得x+ = 30,解方程，得x= 12.答：小拖拉机每小时耕地 12 亩.【例 5-2】 甲、乙两列火车分别从相距 660 千米的A B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇,其中甲的速度是乙的速度的倍,求甲、乙两车的速度.分析：甲的路程+乙的路程=总路程.解： 设乙的速度为y千米/时， 则甲的速度为千米/时， 根据题意， 得 2X+2y= 660, 解方程， 得y=x=180（千米/时）.答：甲、乙两车的速度分别是 180 千米/时, 150 千米/时.6. 盈不足问题解法“盈不足”问题是日常生活中平分钱物经常出现的问题,是方程解决实际问

5、题的典例,顾名思义, 它一般是按一个数目分配不够 （少） ,按另一个数目分配结余 （多）,不论怎么分配, 被分配的物品的总量不变,人数不变,只是分配方式的变化, 所以“表示同一 个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系.【例 6】 七年级 （1） 班组织全班学生去郊游, 但需要一定的费用, 如果每个学生付 5 元, 那么还差元；如果每个学生付元,那么就多出元,则这个班有多少名学生共需费用多少元分析： 不论每人 5 元不够,还是每人元结余,总费用不变.解：设这个班有x名学生，根据题意，得5x+ =.解方程，得x= 52.总费用：5X52+=（元）.部分与总量的关系般设其中的一部分为X,根据

6、各部分之间的关系，用含x的式子答：这个班有 52 名学生,共需费用元.7. 数字问题数字问题是数学中出现较多的问题，它分类多，主要有以下两类：(1) 顺序数字问题：按一定规律排列的一系列数字，已知其中几个数的和，求每 个数是多少，如课本例 2：一列数，按一定规律排列成 1, 3,9 , - 27,81 , - 243，其中某三个相邻数的和 是 1 701，这三个数各是多少，或连续三个奇数的和是 51，求这三个数，或给出一个日历 表等,框出一些数,已知它们的和,求各数等解法：这类题目一般是设其中一个数为x,根据排列规律用含x的式子表示出其他各数, 把它们相加列出方程求解,再分别求出各数(2) 求

7、两位数、三位数问题：已知一个两位数或三位数中各个数位上的数字间 的关系,求这个数解法：这类问题不能直接设这个数，应该设其中一数位上的数字是x，根据其他数位上的数字与这个数字之间的关系，用含x的式子表示出其他数字，根据“个位数字是X，十位数字是y，百位数字是z，那么这个三位数就是 100z+ 10y+x”的道理，写出这个数，列出 方程，求出各个数位上的数字，进而求出这个数【例 7- 1】 一个两位数， 个位上的数字是十位上数字的 3 倍， 它们的和是 12，那么这 个两位数是多少分析：求两位数或三位数的问题，不能直接设，而应该间接设十位上的数字是x,那么个位数字就是 3x.解：设十位上的数字是x

8、，那么个位上数字就是 3x，根据题意，得x+ 3x= 12.解方程，得x= 3.个位上的数字是 3x= 3X3= 9.答：这个两位数是 39.【例 7- 2】 已知三个连续偶数的和是 30，求这三个偶数分析：遇到三个偶数或三个奇数问题， 常设中间的一个数为x,则前面的数为x- 2,后 面的数为x+ 2.也可设最前面的一个数为x，那么后面的两个数分别是 (x+ 2), (x+ 4).解：设中间的一个数为x，则前面的数为x- 2，后面的数为x+ 2,根据题意，得x- 2+X+x+ 2= 30.解方程，得X= 10.答：这三个连续偶数为 8,10,12.【例 73】 下面给出的是 2 0 1 3 年

9、 7 月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数， 请你运用方程思想来研究，圈出的三个数的和不可能是 () A69B54C 27D40解析：设中间的数为x，那么三个数分别为x 7,x,x+ 7,合并化简得这三个数的和 为 3x，所以三个数的和一定能被 3 整除只有 D 不能被 3 整除，故选 D.答案： D8. 方案设计题应用方案设计题是近几年中考的热点，也是现实生活中经常遇到的问题，它是我们生活中决 策、选择的数学依据.在目前这类问题一般比较简单， 给出两种方案， 让我们选择在不同情况下， 选择哪种方 案合算或更好.破疑点 方案问题的解题方法一般设两种方案花费一样多时的情况， 列出方程，求出

10、临界点时的情况，再根据变化通过讨论，选择最优方案.【例 8】 某影碟出租店采用两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1 元；另一种是会员卡租碟，办卡费 12 元，租碟费每张元，小华经常来该店租碟，请你帮小华设计一下 怎样租碟合算分析： 哪种方式租碟更合算取决于小华租碟的数量， 因此先求出费用一样时的情况， 可 设每月租碟x张时费用一样，根据两种收费方式相等，列出方程再分类讨论.解： 设小华每月租碟x张时收费一样多，根据题意，得x= 12，解方程，得x= 20.所以当每月租碟 20 张时两种方式收费一样多；当每月租碟大于 20 张时，办会员卡合算；当每月租碟少于 20 张时，零星租碟合算.9.绝

11、对值方程的解法 绝对值方程：像|x| = 5, |x-3| = 2 这样的方程，我们叫做绝对值方程，即绝对值 中含有未知数的方程.(2) 解法：这类方程的解法关键就是去掉绝对值号，把方程转化为一元一次方程，再解一元一次方程求解.如：|x 3| = 2,由绝对值意义可知，+ 2 和一 2 的绝对值都等于 2,所 以转化为两个一元一次方程：x 3= 2 和x 3= 2,解方程，得x= 5 或x= 1,将它们分 别代入原方程检验，x= 5,x=1 都能使方程左右两边相等，所以是绝对值方程的解.破疑点 绝对值方程的解法对于绝对值方程，大多方程有两个解，有些方程无解，有的只有一个解，应注意.对于较复杂的

12、绝对值方程如：|3x 2| = |x+ 1|，解法也是根据绝对值的性质，化为一元一次方程解决， 可化为 3x 2 =x+ 1 和 3x 2 = (x+ 1)来解决.【例 9】解下列方程：(1) 1 7x| 1 = 0； (2)|2x 3| = 7;45(3) | 6 + 5x| =| 3| ; (4)| 尹2| = 0.分析：(1)移项，方程可化为| 一x| = 1,所以一匚X= 1 或一；X= 1，解此方程就能求444出原绝对值方程的解.(2) 没有哪个数的绝对值是负数，所以此方程无解.(3) | 3| = 3，所以原方程就是| 6+ 5x| = 3.5(4) 0 的绝对值等于 0，所以尹+

13、 2= 0.解：移项，得| 7x|=1,方程可化为一 4x=1 和一 7x=1，解方程，得x=7 和4x= 7.(2)原方程无解.93(3) 原方程化为：一 6 + 5x= 3 和一 6+ 5x= 3,解方程，得x= -,x=-.5554(4) 原方程可化为-x + 2= 0，解方程，得x=.2510.比例型问题的巧设与妙解运用一元一次方程解决比例分配问题时，设是关键，一般是设每一份为x，再根据每一份所占的比例，用含未知数的式子表示每一份，从而列出方程，解决问题如：某种中药含 有甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种成分的质量比是：1:2:.现在要配制这种中药 2 100 克，四种草药分别需要多少

14、克本题所求的量有四个，若设其中一个(第二个量除外)为未知数，虽也能列方程求解，但会出现较复杂的关系转换，带来计算上的烦琐，故不可取.本题既给出了四个量的比例关系，我们不妨间接设未知数：设比例中的“每一份”为x克，则甲、乙、丙、丁四种草药分别为克，x克，2x克，克，根据题意，得+x+ 2x+= 2 100.解此方程即可求出x，再根据所占比例，分别求出四种药材的用量.解技巧 解比例型应用题的方法若题目中有比例为 1 的情况时，可设比例为 1 的为x,若比值中没有所占比例为 1 的，则设“每一份”为未知数更具有优越性.【例 10 1】 某会议厅主席台上方有一个长 m 的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底.开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上.但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距=9:6：2，如下图所示.根据这个规定，求会议名称的字数为18 时，边空、字宽、字距各是多少分析：可设每一份为xcm 根据图示得到所有的边距、字宽、字距之和等于1 280 cm,列出方程.解:设边空、字宽、字距分别为9x cm,6x cm,2x cm,则 9xx2+6xx18+2x(181)=1 28