条件概率及全概率公式练习题

1、1、计算题解设事件A表示“甲取到的数比乙大”，设事件B表示“甲取到的数是5的倍数” 则显然所要求的概率为P(A|B).1.从 1,2, 3,15,甲、 乙两人各任取一数(不重 复),已知甲取到的数是 5的倍数,求甲数大于乙数的 概率P(A|B)=9/14.解设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点 数都不一样”.则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式丄| .- 2.掷三颗骰子，已知所得三个数都不一 样,求含有 1 点的概率CjP/=5=18P(A|B)=1/2.根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,3.袋中有一个白球和一个黑球， 一次 次地从袋中摸球，如果取出白球，则

2、除 把白球放回外再加进一个白球，直至 取出黑球为止，求取了 N 次都没有取1解设事件Ai表示“第i次取到白球”(i=1,2，,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2A1)=2/3,2P(AIA2)=P(A2|AI)P(AI)=1/3.而P(A3|AIA2)=3/4 ,P(AlA2A3)= P(A3AlA2)P(AlA2)= 1/4 .由数学归纳法可以知道P(AIA2AN)=1/(N+1).解.设事件A表示“取到的是甲袋”，则表示“取到的是乙袋”，事件B表示“最后取到的是白球”.根据题意：P(B|A)=5/12 ,4.甲袋中有 5 只白球,7 只红球；乙袋中有 4-只白球,2 只红球从两

3、个袋子中任取一袋，皿 I 上-:然后从所取到的袋子中任取一球，求取到的球是白球的概率.p(A)=1/2.= F(纠+ P(B | A)P(A)解.设事件Ai表示 从甲袋取的2个球中有i到黑球的概率由乘法公式可知2丄12 2 321324.35.有甲、乙两袋，甲袋中有 3 只白个白球”，其中i=0,1,2 .球,2 只黑球；乙袋中有 4 只白球,4 只黑球.现从甲袋中任取 2 个球放、” 入乙袋，然后再从乙袋中任取一球”事件B表示“从乙袋中取到的是白球,求此球为白球的概率显然Ao, A1,A构成一完备事件组,且根据题4P(A)=1/10 ,P(A)=3/5 ,P(A)=3/10 ;P(B|A)=

4、2/5 ,P( B| Ai)=1/2 ,P( B| A)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(BAo)P(Ao)+P(B|Ai)P(Ai)+P(B|A2)P(A2)=2/5 X 1/10+1/2X 3/5+3/5X3/10=13/25.解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”，则表示“第一次取到的是非1号球”；事件B表示“最后取到的是2号球”显然P(A)=1/N,6.袋中装有编号为 1,2,的 N 个球，先_ MTP(仍从袋中任取一球，如该球不是 1 号球就放回袋中，是 1 号球就不放回，然后再摸一次，求取且P(B|A)=1/(N-1),到 2 号球的概率.P(B) = P(B A)P(A)

5、+ P(B | A)P(A)=1/(N-1) X 1/N+1/NX (N-1)/N5=(N2-N+1)/N2(N-1).7.袋中装有 8 只红球，2解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”，6设事件A2表示“第二次取到的是红球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根据题意P(AI)=4/5,刊耳)=1/5,P(A2|AI)=7/9, P(AIA2)=P(AI)P(A2AI)=4/5 7/9=28/45.(2)要求的是事件H二：的概率.(3)要求的是取出一只红球一只黑球，它包括 两种情形，即求事件 门:7!-的概率.九9, P他同)询9,- . I I-I. -. ,- - ； - ,-.I -

6、 . I：.只黑球， 每次从中任取一球，不放回地连续取两次， 求下 列事件的概率.(1)取出的两只球都 是红球；(2)取出的两只球都 是黑球；(3)取出的两只球一只是红球，一只是黑球；(4)第二次取出的是 红球.根据题意：三兀匚盧，7(4)要求第二次取出红球，即求事件A2的概 率.由全概率公式：8F比)=F(地 |* 代IAWi)=7/9M/5+8/9 W5=4/5.解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”，设事件Bi表示 射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)一级射手 4 人，二显然，Bi、B2、B3、B4构成一完备事件组，且P(Bi)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=

7、7/20, P(B4)=1/20;P(A|Bi)=0.9, P(AB2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.由全概率公式得到P(A)=P(A|Bi)P(Bi)+P(AB2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B0.9、0.7、0.5、0.2.4)P(B4)求任选一名射手能通过选拔进入=0.9 X 4/20+0.7 X 8/20+0.5X 7/20+0.2 X比赛的概率.1/20=0.645.解.设事件Ai表示“飞机能飞到距目标400米处”，设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”，设事件A3表示“飞机能飞到距目标i00米处”，9.轰炸机轰炸某目标，它能飞

8、到用事件B表示“目标被击中”.距目标 400、200、i00(米)的概率分别是 0.5、 0.3、 0.2， 又设它在距由题意， P(Ai)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2, 目标 400、200、i00(米)时的命中且Ai、A2、A3构成一完备事件组.率分别是 0.0i、0.02、0.i .求目标被命中的概率为多少？又已知P(BAi)=0.0i, P(BA2)=0.02,&某射击小组共 有20 名射手，其中级射手 8 人， 三级 射手 7 人，四级射三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是9P(B|A3)=0.i.由全概率公式得到：P(B)=P(BAi)P(Ai

9、)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.0i X.5+0.02 (X3+0.i X2=0.03i.10解.设事件Ai表示“第i道工序出次品”，i=1,2,3,4因为各道工序的加工互不影响，因此A是相互独立的事件.P(A1)=0.02, P(A2)=0.03,P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,吃+场+厶+如訂仙场M)=(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.P(AI+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.10.加工某一零件共需要 4 道工序,设第 一、第二、第三、第四道工序的次品率 分别为 2：、3：、5：、3：,假

10、定各道 工序的加工互不影响，求加工出零件的 次品率是多少？只要任一道工序出次品，则加工 出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.为了运算简便，我们求其对立事件的概率解.设事件Ai表示“第i次命中目标”i=1,2,311.某人过去射击的成绩是每射 5 次总有 4 次命中根据已知条件目标，根据这一成绩，求P(Ai)=0.8,匚冷 :,i=1,2,3(1)射击三次皆中目标的概率；某人每次射击是否命中目标是相互独立的 件Ai是相互独立的.，因此事(2)射击三次有且只有 2 次命中目标的概率;(1)射击三次皆中目标的概率即求由独立性：P(AlA2A3).(3)射击三次至

11、少有二次命中目标的概率.3P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个 事件用B表示.11设事件Bi表示“目标被命中i弹”，i=0,1,2,3.设事件C表示“目标被摧毁”.分别为 0.4、由已知P (A1)=0.4, P(A2)=0.5, P(A3)=0.7;P(C|Bo)=O, P(C|B1)=0.2, P(CB2)=0.6, P(CB3)=0.8.二、三弹，该目又由于三次射击是相互独立的，所以标被摧毁的概.率分别为 0.2、1-1 |_ 丄丄 厂上 :，J0.6 和 0.8,试求此目标被摧显然匕 二.“上上: 上卜丄上

12、j上-一二：,又根据独立性得到P& =C护P(电)P =3x0.82xo,2 = 0.384(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事 件用C表示.至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标，所以C=B+AiA2A3P(C)=P(B)+ P(AIA2A3)=0.384+0.512=0.896.解.设事件Ai表示“第i人能译出密码”，i=1,2,3.由于每一人是否能译出密码是相互独立的，最 后只要三人中至少有一人能将密码译出，则密码被译12.三人独立译某一密码，他们能译出的概率出，因此所求的概率为P(Al+A2+A3).已知P(Ai)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5,分别为 1/3, 1/4, 1/5,求而能将密码译出的概率.XFV4)=岖菊3)=昭卩危屮佃)=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.13.用一门大 炮对某目标进解.设事件Ai表示“第i次命中目标”i=1,2,3.行三次独立射击， 第一、 二 三次的命中率0.5、0.7,若命中此目标一、12 P（A爲為）+P（&血忑）+P仙禺4）=0.6 0.5 E.7+0.6 0.5 3+0.4 （X5 &3=0P02）=P（R虫2虫3 + 4A3 + 44a崗）=卩佃矽3）+P（細2石）+尸厲刁2虫