武汉理工控制工程习题解答

1、习题解答:解：根轨迹有3个分支，分别起始于2终止于无穷远。0“ =180。,60。实轴上的根轨迹是(-8,_2及-1,0。d(s+ 352+2s)八-=Uds可得，51= -0.422 ,s2=-1.578 ； = -0.422是分离点。根轨迹见图4-28o迹上，并求出相应的根轨迹增益 KG和开坏增益K 解：若点鞋在根轨迹上,则点S应满足相角条件ZG(s)H(s) = (2k + l),如图4-29所 示。4-1负反馈系统的开环传递函数G(s)尸(s) =KGS(S+ 1X$ +2)试绘制闭坏系统的根轨迹。图4 对于亠=一1+j 羽,由相角条件ZG(&)H(s)=O-Z(-1 + jV

2、3 + l)-Z(-l+ jV3 + 2)-Z(-l+ M + 4)236满足相角条件，因此=-1+八疗在根轨迹上。将亠代入幅值条件:-1+八疗+1 -1+八疗+2 -1+八疗+4所以,K 小 2, K备|4-3己知开环零点极点p，试概略画出相应的闭环根轨迹图。(2)p = 0,-2, g=-4J4；(3)P1=-1, P2 3= -2jl:(4)p = 09 1, 5 z = 4, 6解：=10 4-30 (1)图4 30 (3)0 4-30 (4)44设单位反馈控制系统开环传递函数为G(沪心_S(S+ 1XS+ 3 5X$ + 3+2JXS+ 3-J2)试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根

3、轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。解：系统有五个开坏极点：1 人=1,”3 =_3 5,4=一3 +)2,5 =_3_)21.实轴上的根轨迹：-OO-3.5J-L0b _-1-3 5 +(-3+)2) +(-3-)2)2渐近线:= -2.13分离点:1 1 1 1 1+-+-+-+-dd + 1 d + 3 5d + 3 j2d + 3+J2di=_0 45, d2-2.4(舍去)，=-3.25土儿904.与虚轴交点：闭环特征方程为D(s)= s(s + l)($ + 3.5)(s + 3+ J2)(s + 3 j2) + K* =0把5=jCD代入上方程，整理，令实虎部分别为零得:jRe

4、(jTy) = K* +10.5犷-79.5/ = 0lm(jQ)=co5-43.5y3+45.5y = 0可得，Q = 0co= 1.02co= 6.52K、0/C=7L9。 一&46舍去)5根轨迹的起始角为：&厂180-75.96 -90-135-146.3、92.74由对称性得，另一起始角为92.74,根轨迹如图习题4 31所示。4-5己知单位负反馈控制系统的开环传递函数试作出以b为参量的根轨迹图。1实轴上的根轨迹：-40.-02.分离点：几 +40 解得：6/= -20根轨迹如图4 32所示。JO一10.11 -40-30-8 -100(J1-10图4-324-6单位反

5、馈系统的开坏传递函数为解：作等效开坏传递函数Gs)=30b5(5+ 40)(5+ 2)(5-0.5)试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的 KG值范|韦|。解：根轨迹绘制如下：1实轴上的根轨迹：-2,0.52.分离点：1 1 1 1-1-=-1-d 0.5 d + 2d-l+ j2 d j2可得： =-0.413.与虚轴交点：D(s)= (s + 2)(s - 0.5) + K (s + 2s + 5) = 0把S=J血代入上方程，令Re()( jTy) = -(1 +KG)co2+5K&-1 = 0 VIm()OQ)=(1.5_2KG)Q=0Q=0fa)=l.25KG=0.2KG=0.7

6、5根轨迹如图4 6所示。由图可知系统稳定的值范围为0.2KG0.75；又K = 5KG,所以系统稳定的K值范围为1 vK 0时，需绘制常规根轨迹。1实轴上的根轨迹：-3-2, - L02渐近线:6 =(Pa =-2-3+13-1Qk+1)龙7t-=i 3分离点：1111+-+-=-dd+2d+3d+1解得d= -2.47根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。当0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：(一8,-3, 2,-1, 0,oo)o由图435(2)可以看出，当GV0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为07 0.4147或a 0因此所求参数a 0的范I韦1为

7、05a 50.41474-9己知负反馈系统的闭环特征方程K + (s +14)(/ + 2$ + 2) = 01.绘制系统根轨迹图(0K8)：2.确定使复数闭环主导极点的阻尼系数纟=0.5的值。 解：1系统的开环传递函数(1)根轨迹的起点为：A,2=-1J,几=-14,终点在无穷远处(无有限零点)。分支数=3。实轴上根轨迹为(-8,_14区段。(4)渐近线为fi fjj =3条。(5)根轨迹离开复极点的出射角G($) =(5 + 14)(52+25 + 2)-.-5,333(2k+1)龙n一m(2R + l)180。360V = 0)= 180V = l)300。伙=2)nmn一mn由公式级=

8、180-工 +工0,=180 -(90+ 4) = 86您=-86。根轨迹如图4-37所示用幅值条件可得g_l+ J1.6):K】=p（s :H（S）|=I一 卅卜】-P2I卜1- 加=0.6x3.2x 13.1心25.14-10系统的特征方程为s2(s + a) + k(s + l) = 01.曲出c/ = 2，c/ = l，a = 6，67 = 9 c/ = 10时的根轨迹。2.求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时值的范围。解：1) 4 = 1时,特征方程为(S + l)(S2+k) = 0根轨迹是-1及整个虚轴，见图4-38)。工1，特征方程可写为1 +卑匕_ =0ss + a)开环传

9、递函数G(字斗$(s + d)+-3支根轨迹，起于0, 0,止于和无穷远。渐近线与实轴交角是一2,交点为亠，为所求之闭环极点2. 0 = aTccos$o5-_a+lf/0；a9cra s(2s2+ (a + 3)5 +2a)= 0解得$i = 0asds_ (ci+ 3)土J (a - a)(a - 9)4a=2 +1= 1 5当a= 2时，实轴上根轨迹是-1,2,入2-(-2 + 3)J(-3X-11)3 _452= 1.186, 53=-1.686 (不在根轨迹上，舍去)分离点是1.186,对应的 =0.524根轨迹见图4-38(b) = 6，实轴上根轨迹是-61_-(6 + 3)丁(5

10、)(-3)*-归是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4 38(c) d= 9，实轴上根轨迹是-9,-152,3 = _3对应的R = 27。 根轨迹见图4-38(d) d =10，实轴上根轨迹是-101唁如“4.5“ 2=-(10 + 3)顾，片一e4J对应的k2= 31.25 ,人=32 根轨迹见图4.38(e)4-11已知某单位反馈系统的开环传递函数为2 )当分离会合点上3不是实数时，系统没有非零分离会合点(a_l)(c/_9) 1 9图338(c)图3.38(d)K52(5 + 1)试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图

11、来说明。 解：(1)根轨迹起始于0, 0,终止于三个零点(为无限零点):(2)根轨迹分支数=3；实轴上的根轨迹位于(-8,区段；(4)渐近线斤加=3条。nmO- =-1aon一rn3由图4 39 (1)可见，三条根轨迹分支，有两条位于f右半平面。当K从0-时，三个闭 环极点中有两个位于S右半平面，所以系统不稳定。c3_(2比 +1)龙_+臂由图4-39 (2 )可见，根轨迹渐近线“一 ，“一2 ，由三条变为二 条。根轨迹向左半S平面变化，闭环极点全部处于左半s平面，K从0-8时，控制系统是 稳定的。4-12设单位负反馈系统的开环传递函数为1.G($) =K52(5 + 1)时,Oa =Qk +

12、 l)7Tn一m(2k+ 1)180。3j60J80o300k =0,1,22增加负实零点(-。)时,5(5 + 1)(0 6T 1) o解得523=-2.05丿4351.绘制系统的根轨迹图(不要求求出分离点)；2.已知系统的一个闭环极点为-0.9,试求出其余的闭环极点；3.该系统是否可以用低阶系统来近似？若能，则求出它的闭坏传递函数：若否，则给出理 由解：1.绘制系统的根轨迹(K=0TOO),步骤如下：(1)根轨迹起始于开环极点0, -2, -3；终止于开环零点-1和两个无限零点 8。(2)根轨迹的分支数77 = 3条。实轴上的根轨迹区间为-3,-2, -1.0o(4)根轨迹的渐近线，有 n

13、-m = 2 条,与实轴的交点o“、交角Q为：nmV厂孕_2_3 +1CT =_=2=-27?-in2 & = (2k + l)J(2k +1)180。=90。 n -m3(5)根轨迹的分离点位于-3r2E段内。绘制出系统根轨迹如图440所示。2.已知门=0,p2= -2 ,卩3=一3，Z = -l;= -0.9 ,设其余二个闭环极点为S2/3。用幅值条件可以求得K_|久_门卜氏-加J必_加_0.9x1.1x2.1将其代入系统特征方程l + G(5)= 0,即5(5 + 2)(5 + 3) + 20.79(5 + 1) = 0(5 + 0.9)( + 4.15 + 23.1) = 0= 20.793由$严-0 9和z = 1构成一对闭环偶极子，故系统可以降阶为二阶系统，其闭环传递函数为y(s) _20.79(5 + 1)u(s) (s + 0.9)(s + 2.05 + J4.35Xy + 2.05一 丿435)4-13单位负反馈系统的根轨迹如图4 27所示。1.求系统的闭环传递函数；2设计补偿器，使系