随机变量学习指要

1、随机变量学习指要李伟随机变量这一大节中，主要研究的是离散型随机变量。对于离散型随机变量，首先应明确它能取到哪些值，在此基础上，我们来探讨三方面的问题：（1）取每个值的可能性的大小（概率），（2）这些值的平均水平，（3）这些值的集中和离散程度。这就是本大节中我们要研究的三个基本问题：离散型随机变量的分布列、期望、方差。它们从三个不同的侧面描述了离散型随机变量的数量特征。一. 概念解析1. 随机试验教科书上不加定义地引入了“随机试验”的概念。一般地，一个试验如果满足以下条件：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验后可能出现的多种结果，是事先明确的，但在一次试验进行之前，不能肯定这次试验究

2、竟发生哪一种结果；（3）每一次试验总是恰好出现这些结果中的一种。那么我们称这个试验是随机试验。2. 随机事件随机试验的每一种可能的结果（或表现）叫作一个随机事件，简称为事件。例如预测明天天空中云量情况，可能出现的晴天、多云、阴天，这些表现就是一些随机事件。随机事件可用一个大写字母来表示，如事件A（晴天），事件B（多云），事件C（阴天）。3. 随机变量许多随机事件表现为数量形式。如“从100件产品中抽出5件，其中不合格产品的个数”。但有些随机事件并不具有数量形式。这时，我们也可把这样的随机事件与实数之间，人为地而又合理地建立起一种对应关系，使每个随机事件都对应着一个实数，那么，随机事件就可以用这

3、些实数为变量来表示，这个变量叫随机变量。例如，天空中云量的情况，我们可以把随机事件：晴天，多云，阴天，分别用随机变量，1，2来表示。随机变量的引入，使得我们可以用数学的方法来研究随机事件的规律。二、内容指要本大节的重点内容是离散型随机变量的分布列、期望、方差。解题的关键是运用排列、组合、概率知识，求出随机变量的分布列。因为有了分布列，期望与方差问题就迎刃而解了。1. 离散型随机变量的分布列教科书的第5页给出了该定义。可以看到，分布列的第一行列出了随机变量可能取到的所有值，第二行给出了第一行各个值相应的概率值，从而完整地刻画了随机变量的统计规律。由随机变量的实际意义可知：第二行各值必须是非负值，

4、且这些非负值之和为1。例如下面的两个数表：表1表2一个是第二行各数之和，另一个第二行尽管有，但其中的。因此，这两个数表不能是某个随机变量的分布列。2. 随机变量的数学期望随机变量的分布列，显示了随机变量取值的统计规律，但还不能反映出随机变量取值的平均水平。而依据数学期望的定义（见教科书第10页），对分布列再进行计算，就可得到随机变量取值的平均值。为了理解数学期望的实际意义，我们来看一个例子：某人从事一项商业活动，成功率为0.3。若成功，则获利5000元；若不成功，则亏损1000元，求它获利的期望值。可知获利数的分布列如表3。表3可知此人有望获得利润800元。这里加以说明，如果该人只从事一次这项

5、商业活动，那么不是赚5000元，就是亏1000元，不可能赚得800元。但是，他多次从事这项商业活动，从平均意义上来讲，那么一次可赚得800元。在实际问题中，我们可以运用数学期望进行决策。例如，教科书在本章引言中（见教科书第3页）的一个问题，可设该商场在商场外搞促销活动获得的经济利益为万元，则有表4。表4可见在商场外搞促销活动的平均效益是4.4万元，超过了在商场内搞促销活动的2万元的效益。因此，在该商场应选择在商场外搞促销活动。3. 随机变量的方差数学期望刻画的是一组数据或一个随机变量取值的平均水平，但有时我们还要知道这组数据的集中程度。而方差就反映了随机变量所取值与平均值（即数学期望）的离散程

6、度。我们来看一个例子。甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测5个工件，结果如表5、表6。表5表6不难求得，可见他们的平均值（期望）相同。谁的质量更好些呢？下面计算他们的方差。由，知甲比乙加工的零件要精密些，质量更好些。4. 期望与方差的几个性质（1），（2）若，则（其中q1p）（3）性质（1）、（2）的证明比较简单，性质（3）的证明见文尾。利用上述性质，可以简化运算。三、例题解说例1. 在一批的10件产品中，有7件是合格品，3件是次品。现从中一件一件地抽取产品，设每件产品被抽到的可能性相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止，所需要抽取次数的分布列：（1）每次取的产品都不放回该批产品

7、中；（2）每次取出一件产品后，若是次品，放到一旁，另以一件合格品放回该批产品中；（3）每次取出一件产品后，若是次品，则放回该批产品中，然后再抽取一件产品。解：（1）由于只有3件次品，故最多抽取4次，必抽到合格品，所以的取值为1，2，3，4。当时，表示第一次就取到合格品，故当时，表示第一次取到次品，第二次取到合格品，故当时，类似地可求得可得的分布列如表7。表7（2）的取值是1，2，3，4。当时，取第一次就取到合格品，故当时，即第一次取出的是一件次品，放到一旁，另以一件合格品放回该批产品中，然后第二次取到合格品，故类似地，可有可得的分布列如表8。表8（3）的取值是1，2，3，k，。当时，当时，即第

8、一次取出的是次品，放回后，第二次取出的是合格品，故当时，即第一次、第二次取出的都是次品，放回后，第三次取出合格品，故依此类推，当时，表示前k1次取出的都是次品，都放回，而第k次取出合格品，故因此的分布列如表9。表9说明：本例三个小题，要注意区分所进行的抽样，是无放回抽取，还是有放回抽取，因为这将影响此后的每一次抽样的概率。另外，在求解中用到了等可能事件的概率以及概率的乘法。本例第（3）小题，就是教科书P7介绍的几何分布问题。学习了无穷等比数列的和（见教科书P91阅读材料），可以知道：这个结果恰好符合离散型分布列性质（2）（见教科书P6）。例2. 现有一串外形相同的钥匙，共有n把，其中只有一把可

9、以打开门上的锁。现遂把钥匙试开门锁，直到打开锁为止。试求开锁次数的数学期望和方差。解：“”表示前k1次均未打开锁，而第k次才首次打开锁。因此这样，的分布列为说明：本例中“”的意义，容易使人误以为服从几何分布。实际上，本例中的每次试验的条件都在改变，不是独立重复试验，这应引起我们的注意。另外，在求时，利用了方差性质：，大大简化了计算。最后在计算时，应用了一个常用结果：这个等式的证明，可见教科书P64例2。期望与方差在生产生活中都有应用，如产品质量的检验与评价，行为方式的决策，生产条件的合理配置等。例3. 现有甲、乙两种建筑钢筋材料，从中各取等量的样品，检验它们的抗拉强度指数如表10、表11。表1

10、0表11表10、表11中和分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度。在使用材料时，要求抗拉强度平均不低于120的条件下，试比较甲、乙两种材料哪一种的质量更好些。分析：先看期望是否合格，然后再比较它们的方差。解：可见甲、乙两种材料的平均抗拉强度相同，并且都合格。再比较方差。可见，因此乙材料的质量更好些。说明：方差是衡量稳定性的一个重要标志，本例中，建筑材料稳定性的检验，对保证建筑质量是很重要的。再如，在乒乓球比赛中，本队中甲、乙两名乒乓球队员与对方队员的比赛胜率（期望）相当，但甲队员起伏很大，而乙队员较稳定。现派甲、乙中一人上场与对手比赛，那么在胜率较大时，应派乙上场，在胜率较小时，可派甲上场一试。例4. 某车间有5台机床，每台机床所附电动机功率均为10kW，每台机床是否工作是独立的，且工作的概率均为。若供电部门只能提供30kW的电力给该车间，试问是否会对该车间的正常工作产生较大影响？解：用表示开动机床的台数，如果开动4台或4台以上的机床，则用电超过30kW，不能正常工作。所以事件（）表示该车间不能正常工作。由于每台机床工作的概率均为，各台机床工作与否又彼此独立，所以服从二项分布：。的分布列如表12。表12不能正常工作的概率为：若按一天8小时工作时间计算，不能正常