离散型随机变量的期望值和方差

1、12.2 离散型随机变量的期望值和方差知识梳理1.期望：若离散型随机变量，当=xi的概率为P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），则称E=xi pi为的数学期望，反映了的平均值.2.方差：称D=（xiE）2pi为随机变量的均方差，简称方差.叫标准差，反映了的离散程度.3.性质：（1）E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D（a、b为常数）.（2）若B（n，p），则E=np，D=npq（q=1p）.点击双基1.设投掷1颗骰子的点数为，则A.E=3.5，D=3.52B.E=3.5，D=C.E=3.5，D=3.5D.E=3.5，D=解析：可以取1，2，3，4，5，6.P（=1）=P（=2）=P（

2、=3）=P（=4）=P（=5）=P（=6）=，E=1+2+3+4+5+6=3.5，D=（13.5）2+（23.5）2+（33.5）2+（43.5）2+（53.5）2+（63.5）2=.答案：B，则下列结论正确的是A.E=0.1B.D=0.1C.P（=k）=0.01k0.9910kD.P（=k）=C0.99k0.0110k解析：B（n，p），E=100.01=0.1.答案：A3.已知B（n，p），且E=7，D=6，则p等于A.B.C.D.解析：E=np=7，D=np（1p）=6，所以p=.答案：A，则D等于 B.0.8 C解析：D=100.020.98=0.196.答案：C5.有两台自动包装机甲

3、与乙，包装重量分别为随机变量1、2，已知E1=E2，D1D2，则自动包装机_的质量较好.解析：E1=E2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D1D2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.乙机质量好.答案：乙典例剖析【例1】 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D.101P12qq2剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出E、D.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以 解得q=1.于是，的分布列为101P1所以E=（1）+0（1）+1（）=1，D=1（1）2+（1）2（1）+1（1）2（）=1.评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方

4、差的计算公式，出现以下误解：E=（1）+0（12q）+1q2=q2.拓展提高既要会由分布列求E、D，也要会由E、D求分布列，进行逆向思维.如：若是离散型随机变量，P（=x1）=，P（=x2）=，且x1x2，又知E=，D=.求的分布列.解：依题意只取2个值x1与x2，于是有E=x1+x2=，D=x12+x22E2=.从而得方程组解之得或而x1x2，x1=1，x2=2.的分布列为12P【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则

5、a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数的期望值大于0，故需求E.解：设为盈利数，其概率分布为aa30000a10000P1p1p2p1p2且E=a（1p1p2）+（a30000）p1+（a10000）p2=a30000p110000p2.要盈利，至少需使的数学期望大于零，故a30000p1+10000p2.评述：离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值.思考讨论本题中D有什么实际意义?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D.剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方

6、法数为A=4!，P（=0）=；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为CCA，P（=1）=.同样可分析P（=2），P（=3）.解：的所有可能取值为0，1，2，3.P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=.的分布列为0123PE=，D=.评述：本题的关键是正确理解的意义，写出的分布列.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.=2时，此时有两种情况：有2个空盒子，每个盒子投2个球；1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.闯关训练夯实基础1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量n、p的值为A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1解析

7、：由E=2.4=np，D=1.44=np（1p），可得1p=0.6，p=0.4，n=6.答案：B2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目的期望为B.3.376解析：=0，1，2，3，此时P（=0）=0.43，P（=1）=0.60.42，P（=2）=0.60.4，P（=3）=0.6，E=2.376.答案：C3.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_.解析：D=npqn（）2=，等号在p=q=时成立，此时，D=25，=5.答案： 54.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各

8、交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为_.解析：设甲在途中遇红灯次数为，则B（3，），所以E=3=1.2.答案：1.2解：设学生甲答对题数为，成绩为，则B（50，0.8），=2，故成绩的期望为E=E（2）=2E=2500.8=80（分）；成绩的标准差为=2=45.7（分）.6.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的概率分布和数学期望.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P（=5）=，P（=6）=，P

9、（=7）=，P（=8）=，E=5+6+7+8=.培养能力7.表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望E和方差D.解：设Ai=部件i需要调整（i=1，2，3），则P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（A3）=0.3.由题意，有四个可能值0，1，2，3.由于A1，A2，A3相互独立，可见P（=0）=P（）=0.90.80.7=0.504；P（=1）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.398；P（=2）=P（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3）=0.10.20.7+0.10.80.3+0.90.20.3=0.092；P（=

10、3）=P（A1A2A3）=0.10.20.3=0.006.E=10.398+20.092+30.006=0.6，D=E2（E）2=10.398+40.092+90.0060.62=0.820.36=0.46.8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过.证明：设事件在一次试验中发生的次数为，的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则P（=0）=1p，P（=1）=p，E=0（1p）+1p=p，D=（1p）（0p）2+p（1p）2=p（1p）（）2=.所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过.探究创新9.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称

11、之为一个巧合，求巧合数的数学期望.解：设为巧合数，则P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=0，P（=4）=，所以E=0+1+2+30+4=1.所以巧合数的期望为1.思悟小结1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差.3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：E=xi pi，D=（xiE）2pi，E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D.4

12、.二项分布的期望与方差：若B（n，p），则E=np，D=np（1p）.5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.教师下载中心教学点睛1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E由的分布列唯一确定.2.D表示对E的平均偏离程度，D越大表示平均偏离程度越大，说明的取值越分散.3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力.拓展题例【例1】 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差D的最大值；（2）求的最大值.剖析：要求D、的最大值，需求D、E关于p的函数式，故需先求的分布列.解：随机变量的所有可能取值为0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1p，从而E=0（1p）+1p=p，D=（0p）2（1p）+（1p）2p=pp2.（1）D=pp2=（p）2+，0p1，当p=时，D取得