全等三角形辅助线系列之二---中点类辅助线作法大全

1、For personal use only in study and research; not for commercial use全等三角形辅助线系列之二与中点有关的辅助线作法大全一、中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等 将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系.3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点， 试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系.典型例题精讲【例 1】 如

2、图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF =EF，求证：AC =BE.【解析】延长AD到G，使DG =AD，连结BG.BD二CD，乙BDG CDA,AD二GD.,ADC幻=GDBAC二GB.- G - EAF又AF =EF , EAF = AEF G = BEDBE =BG , BE =AC.【例 2】 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFIIAD交CA的延长线于点F, 交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为SBC的角平分线.【解析】延长FE到点H，使HE = FE，连结BH.在.CEF和BEH中CE =BEJ ZCEF ZBE

3、HFE =HE . ：CEF幻BEH . EFC =/EHB,CF =BH二BG . EHB BGE，而/BGEAGF . AFG =. AGF又EFIIAD, AFG:一CAD,AGF BAD . CAD =. BADAD为ABC的角平分线.【例 3】 已知AD为ABC的中线，ZADB, ADC的平分线分别交BE CF .EF.AB于E、交AC于F.求证:【解析】延长FD到N，使DN二DF，连结BN、EN.易证BND CFD, BN =CF,又；ADB,- ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F,乙EDF EDN =90,利用SAS证明EDNEDF, EN二EF,在EBN中，BE BN E

4、N, BE CF EF.【例 4】 如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果 BM2CN DM2DN2,1求证 AD2AB2AC24【解析】延长ND至E，使DE二DN，连接EB、EM、MN.因为DE二DN,DB =DC,. BDE - . CDN，贝. BDE幻二CDN.从而BE =CN, DBE = C.而DE =DN,MDN =90，故ME =MN，因此 DM2DN2= MN2= ME2,2 2 2即 BM +BE =MEy /MBE =90，即/MBD +NDBE =90. 因为.DBE二 C，故.MBD C =90，则.BAC =90.1AD为 RtUABC斜边BC上

5、的中线，故 AD = BC .2121由此可得 AD BC AB AC .44【例 5】 在RL ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足.DFE=90.若AD = 3，BE =4，则线段DE的长度为_.【解析】如图、延长DF至点G，使得DF =FG，联结GB、GE.图6由AF二FB，有.：ADF幻BGF= BG = AD =3二.ADF = BGF二ADIIGB=.GBE . ACB =180二.GBE =90二GE二GB2EB2=5 .又DF =FG,EF _ DG= DE = GE =5.【例 6】 如图所示，在ABC中，AB =AC，延长AB到D，使ED=AB,E

6、为AB的中点，连接CE、CD，求证CD 2 EC.解法一：如图所示，延长CE到F,使EF =CE.容易证明 ：EBF幻.：EAC，从而BF二AC，而AC二AB二BD，故BF二BD.注意至U /CBD /BAC /ACB ZBAC /ABC,.CBF二/ABC . FBA二/ABC . CAB,故三CBF ZCBD，而BC公用，故CBF CBD,因此CD =CF =2CE.解法二：如图所示，取CD的中点G，连接BG.因为G是CD的中点，B是AD的中点，11故BG是DAC的中位线，从而 BG AC AB = BE ,22由BGIIAC可得GBC ：_ACB -ABC ：_EBC，故:BCE幻BCG

7、,从而EC二GC,CD =2CE.已知：ABCD 是凸四边形，且AC :：: BD. E、F 分别是 AD、BC 的中点，EF 交 AC 于 M ; EF 交 BD 于 N, AC 和 BD交于 G 点. 求证：GMN . GNM.取 AB 中点 H，连接 EH、FH .1 AE =ED,AH =BH, /EHIIBD,EH BD,GNM ZHEF2【解析】【例 7】【解析】b AH =BH ,BF =CF/FHIIAC,FHAC2/. GMN = HFE AC : BD, /FH : EH/乙HEF #HFE,/乙GMN ZGNM1【例 8】 在ABC中，.ACB =90, AC BC ,以

8、BC为底作等腰直角.BCD,E是CD的中点，求 2证：AE_EB且AE =BE.【解析】过E作EFIIBC交BD于F.ACE =/ACB：/BCE =135. DFE = DBC =45上EFB =13511又EFIIBC, EF BC , AC BC22EF -AC,CE =FB ：EFB幻ACECEA ：._DBE又DBE：-DEB =90 DEB：-CEA =90故.AEB =90AE _EB且AE=BE.证:(1)DEM幻.FDN;(2)/PAE ZPBF.【例 9】 如图所示，在.SBC中,D为AB的中点，分别延长CACB到点E、F，使DE = DF过F分别作直线CA、CB的垂线,相

9、交于点P,设线段PA、PB的中点分别为MDFDMIIBN且DM = BN,F【解析】（1 ）如图所示，根据题意可知DNIIAM且DN = AM所以./AMD - . APB二.DNB.而M、N分别是直角三角形.AEP、BFP的斜边的中点,所以EM二AM二DN,FN二BN二DM,又已知DE =DF,从而.DEM幻.FDN.(2)由(1)可知/EMD ZDNF，则由/AMD ZDNB可得乙AME ZBNF.而AME、 BNF均为等腰三角形,所以PAE二PBF.【例 10】已知，如图四边形ABCD中，AD =BC,E、延长线分别交于M、N两点.求证：.AMEF分别是AB和CD的中点,AD、EF、BC

10、的【解析】连接AC，取DF=CF,/ ADAC中点H，连接FH、EH.1AH二CH ,FH / AD , FH2EH =FH,HFE HEF二BC,IIAM,EHIIBC二.BNE.AD，同理,2EH JBC2EHIIBCFHNAMEHFE，乙HEFZBNE，乙AMEZBNE【例 11】已知：在ABC中，BC AC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且AD二BC,连结DC.过AB、DC的中点E、F作直线,直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、图1ND图3(1)如图 1,当点D旋转到BC的延长线上时，点 结HE、HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质，(2) 当点D旋转到图 2 或图 3 中

11、的位置时，/AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想, 并任选一种情况证明.恰好与点F重合, 可得结论AMF取AC的中点H，连=BNE(不需证明).A【解析】图 2:/AMFENB，图 3:/AMF心/ENB =180证明：在图 2 中，取AC的中点H，连结HE、HFF是DC的中点，H是AC的中点1HFIIAD, HF AD ,二.AMF =. HFE21同理，HEIICB, HE CB , ENB =/HEF2/ AD =BC, HF -HE，/HEF ZHFE，/ENB ZAMF证明图 3 的过程与证明图 2 过程相似.D为AB的中点，求证DM =DL.aADa【解析】如图所示，取AP、

12、PB的中点E、F，连接EM、ED、FD、FL,11则有DEIIBP且 DE BP ,DFIIAP且 DF AP .22【例 12】如图所示，P是ABC内的一点,.PAC二.PBC，过P作PM _ AC于M，PL _ BC于L，因为“AMP和BLP都是直角三角形，11故 ME AP , LF BP，从而ED=FL,DF =ME.22又因为MED二MEP PED,DFL = DFP PFL,而MEP=2MAP =2 LBP = PFL，且PED = DFP，所以MED = DFL, 从而MED也DFL，故DM =DL.【例 13】如右下图，在SBC中，若B =2. C,AD_BC,E为BC边的中点

13、.求证：AB =2DE.A口右下图，则取AC边中点F，连结EF、DF.1由中位线可得，EF AB 且.B=/CEF.DF为Rt . ：ADC斜边上的中线，二DF =CF. 2 CDF ：._C，又IDFE ：._FDE ：._CEF，即乙C ： ._DFE =2./C,1DFE二EDF, DE =EFAB , AB =2DE.2与AC交于F.求证：BE =AF,AE =CF./AB =AC,BAC =90.B = . C = . 45/ D是BC中点BAD =45且AD _ BC ED _DFEEDA ZADF =90ADE ZEDB =90BDE = ADF在BDE与ADF中，AD =BD,

14、- DAF = B =45,- BDE二ADF BDE也ADFBE =AF. AE =CF.在ABCD 中， A=/DBC，过点 D 作DE = DF，且乙EDF ZABD，连接 EF、EC, N、P 分别为 EC、BC 的中点，连接 NP.(1)如图 1,若点 E 在 DP 上，EF 与 DC 交于点 M，试探究线段 NP 与线段 NM 的数量关系 及/ ABD 与/ MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2)如图 2，若点 M 在线段 EF 上，当点 M 在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立， 写出你确定的点 M 的位置，【解析】【例 14】如图，ABC中，AB =AC，乙B

15、AC =90,D是BC中点,ED_FD,ED与AB交于E,FD【解析】AD.【例 15】AB DEC并证明(1)中的结论.A【解析】(1)NP =MN，/ABD ZMNP =180(2)点 M 是线段 EF 的中点(或其它等价写法).证明：如图，分别连接 BE、CF./ 四边形 ABCD 是平行四边形， AD/ BC, AB / DC,./A ZDCB,/ABD =NBDC. . A =/DBC , . DBC =/DCB,/. DB =DC . EDF二.ABD,乙EDF ZBDC.NBDC _NEDC =NEDF _ZEDC.即NBDE =NCDF.又DE = DF，由得 ABDECDF

16、.EB二FC,. 1 = 2.1 N、P 分别为 EC、BC 的中点， NP/ EB, NP =丄 EB .21同理可得 MN / FC, MN FC . NP =NM.2/ NP / EB, /NPC - . 4, .ENP - . NCP NPC二.NCP Z4/ MN / FC, .MNE =. FCE = .3 .2 = .3 .1图 2D.NMNP =NMNE +ENP 3 +4 +NNCP +N4= DBC DCB =180 - BDC =180 - ABD./ABD ./MNP =1801【例 16】在 Rt ABC 中，ACB =90, taBAC .点 D 在边 AC 上(不

17、与 A, C 重合)，连结 BD,F 为 BD 中点.(1)若过点 D 作 DE 丄 AB 于 E,连结 CF、EF、CE ,女口图 1 .设CF =kEF,贝 U k =_;(2)若将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2所示.求证：BE - DE =2CF;(3)若BC -6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点，类似于情况 1，可知 CF 的最大值为 43 5 .图 1图 2备图【解析】(1)k=1 ;(2)如图 2,过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G,设 BD

18、与 AC 的交点为 Q./ D、E、B 三点共线， AE 丄 DB. BQC 二 AQD , ACB =90, QBC 二 EAQ . ECA ： _ACG =90,- BCG ：_ACG =90, ECA = BCG.BCGB IBCG ACE, , GB =DE.AC AE 2 F 是 BD 中点， F 是 EG 中点.1在RtECG中，CF EG , BE-DE=EG=2CF.21(3)情况 1:如图，当 ADAC 时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM ,- ACB =90，31BCDE1tan._BAC， 2ACAE2由题意,求线段 CF 长度的最大值.类似于情况 1，可知

19、CF 的最大值为 43 5 .1tan /BAC =，2且BC二6, AC =12， AB=6、5 .M 为 AB 中点， CM =3 51 ADAC， AD = 43M 为 AB 中点， F 为 BD 中点，.1 FMAD=2 .2当且仅当 M、F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大，此时 CF =CM FM23 5 .2情况 2:如图，当 AD =2AC 时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM，3综合情况 1 与情况 2,可知当点 D 在靠近点 C 的三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为 4 3 5 课后复习【作业 1】如图，JABC中，AB :：: AC,A

20、D是中线.求证：.DAC ： . DAB.【解析】延长AD到E，使AD = DE，连结BE.在.ADC和厶EDB中JAD =ED三 ADC EDB.V:ADC幻.：EDBDC 二 DB AC =EB，/CAD = BEA在ABE中，IABAC,AB：EB /AEBv/EAB，/DACv DAB.【作业 2】在Rt . ：ABC中，.BAC =90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED _FD以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角三角形？【解析】延长FD到点G，使FD =GD，连结EG、BG. 在CDF和BDG中CD =B

21、DMCDF - BDGFD =GDCDF BDGBG =CF，/FCD GBDJA =90ABC：-ACB =90CABC：-GBD =90在EDF和厶EDG中ED =EDIgEDF 二/EDG =90FD =GD. ：EDF幻. ：EDGEF =EG故以线段BE、EF、FC为边能构成一个直角三角形.F是AD的中点，BF的延长线交AC于E.求证：AE 二1AC .3BF =EF.【解析】取AC中点M,AD中点N.连结MF、NF、MB、NE,则根据直角三角形斜边中线的性11质及中位线的性质有 MF AD =NE , NF AC =MB ,MFIIAD,NFIIAC,22 DNF二CAD二CMF,vBM二AM，二MBA二CAB.BMC MBA CAB =2CAB.同理可证DNE =2DAE./BAC EAD/BMCEND.【作业 3】AD是. ABC的中线,【解析】取EC的中点G，连接DG易得DGIIBE,F为AD的中点,所以AE二EG，从而可证得：AEJAC.3【作业 4】如图，在五边形ABCDE中，.ABC =. AED =90,. BAC = . EAD,F为CD的中点.求证:G.上BMC CMF FND DNE,即/BMFENF,MBF幻NFE, BF二EF.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For perso