分式型函数求值域的方法探讨

1、.分式型函数求值域的方法探讨在教学中， 笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式， 二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如 f ( x)axb ( ao, b0 ) （一次式比一次式）在定义域内求值域。cxd例 1：求 f (x)2x1（ x2) 的值域。3x232( x24111)1233232解： f ( x)3323x=3x23x20,3x233( x233)32其值域为 y / y3一 般 性 结 论 ， f ( x)axb( a o, b 0 ) 如 果 定 义 域 为 x / xdcxd,则值域cay /

2、 yc例 2：求 f ( x)2x11,2的值域。3x， x2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。105510211解： f ( x)2x1=3，是由 y3 向左平移2 ，向上平移2 得出，通过图3x233x2x33像观察，其值域为3 , 558.小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。二、形如求 f ( x)xa（ a 0) 的值域。x分析：此类函数中，当a0 ，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当a 0 时，

3、对函数求导， f (x)1a , f ( x) 0 时， x ( , a )a , ）， f ( x)0 时，x2x ( a,0) (0, a ) ，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常说的双勾函数，通过图像求出其值域。当然在某些时候可以采用基本不等式来解决其图像- aa例 3：求 f (x)2x4 , (x(1,4) 上的值域。x2 ) ，根据双钩函数的性质，解：将函数整理成f ( x)2( x我们可以判断此函数在(0,2)x单调递减，在 (2,) 上递增，其在2 处取最小值，比较1， 4 出的函数值，我们可以知道在 1 处取的最大值，所以其值域为42,6三、用双钩函数解

4、决形如mx n（ m0, aax 2bxcf ( x)bx0 ）， f ( x)ax 2cmx n（ m 0, a0 ）在定义内求值域的问题。例 3：（ 2010 重庆文数） 已知 t0 ，则则函数t 24t1的最小值为 _.yt.t 24t 1t14 ， to 由基本不等式地 y 2解： ytt例 4:求 f (x)x1( x1) 的值域。x 2x2解：令 x1t,则 xt1, 则 f ( x)t=t1，1)2(t1)t 23t44(t2t3t其中 t0.则由基本不等式得1f ( x)7例 5:求 f (x)4x22x2( x1 ) 的值域。2 x12t122( t1)t1422t 22解：

5、令 t2x1, 则 x22t= t2， f ( x)t=t1t，其中 t0，由基本式得f (x)2 2 1小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成f ( x) x a ( a 0) 这类型的函x数，解决此类函数注意应用基本不等式， 当基本不等式不行的时候， 注意应用双勾函数的思想去解决此类问题三、形如 f ( x)ax 2bxc (a 0, m0) 在定义域内求值域。mx2bxc例 5：求 y2 x2x1x 2x的值域。1分析：当定义域为R 时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R 时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。解： x 2x10 恒恒成立，所以此函数的定义域为xR ，将函数整理成关于 x 的方程，yx2yx y 2x2，2( y 1) x ( y 1) 0,当y 2 0,关于 x 的方程x 1 ( y 2) x恒有解，则( y 1) 24( y 2)( y1)0,即1y7，显然， y2 也成立，所以其73值域为y