储油罐的变位识别与罐容表标定分析

1、储油罐的变位识别与罐容表标定分析摘要： 为了实现对储油罐的变位识别与罐容表标定的分析，建立了罐内储油量基于油位高度及变位参数的数学模型，过程如下：第一：（ 1）由题目可知，油位探针与罐体固定，以油位探针与罐底的交点为坐标原点，建立空间直角坐标系 o-xyz 。由微元法可得无变位时的储油量与油位的函数表达式为： V2.45a (h b) b2(h b) 2b2 arcsin h bb2。bb2代入题目所给数据并用Matlab 编程进行检验，最大误差V实 -V理max为maxV理4.42%，平均误差为 3.31%；（2）当罐体纵向倾斜变位= 4.1o 时，相当于罐体以o 为原点绕 z 轴旋转，由坐

2、标旋转公式导出小椭圆型储油罐表面方程，油面为水平面，油标杆与油面夹角为，分五种情况利用微元法分别求出了储油量V 与油位 h 的表达式（见式（ 14）。并依据所建数学模型用Matlab 编程得出罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容的标定值，具体数据见表3 所示。经检验最大误差为6.62%，平均误差为 3.47%。第二：油罐若再横向旋转角度，此时旋转轴为油罐中轴线。由于油罐由园柱体和球冠围成，关于中轴线对称，旋转后油罐表面方程保持不表，油面高度保持不变，只是油浮子旋转了角度，由 o 点变到 o / ，故只需在计算中让油罐纵向变化，利用问题一的方法算出储油量V 与原油标高度 h0 的表达式，再由式（

3、21）和（ 24）进行换算。得出罐体变位后标定罐容表的数学模型（见式（ 36）和（43）。不妨设 V、 h与、n间的理 论关 系为 ： f (V， h， ， ） 0 ，令 I ( , ) minf 2 (Vi， hi， ， ）， 用1MATLAB导入题目中所给实际储油罐的检测数据，计算得出：4.11510，2.2078 0 。利用所建模型得出罐体变位后油位高度间隔10cm的罐容的标定值， 具体数据见表 4 所示。通过比较标定值和实际采样数据的拟合曲线，得到均方差很小。关键字： 空间直角坐标系微积分Matlab误差标定值- 1 -一：问题的背景近年来，随着中国国民经济的快速发展、交通基础设施的不

4、断改善和机动车保有量的快速增加，加油站已经成为民众生活中不可或缺的一部分。通过查资料可知 1 ，在储油罐的安装过程中和长期使用后，难免会发生倾斜、变形等问题。对于加油站埋地油罐（尤其是在用油罐）的倾斜、变形等变化在现场技术条件下难以准确测定，这势必造成储存罐容积表的不准确，尤其是近年来随着中石化收购加油站数量的增加，大量系统外的加油站纳入中石化系统管理，这些加油站又多为个体加油站，大部分没有油罐容积表，即使有也很不准确。如何妥善地解决这一问题就成为现在数量管理工作的一大难题。二：问题的重述请结合问题背景中的资料， 现知道通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量

5、管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 / 出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图 1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图 2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响

6、，利用如图 4的小椭圆型储油罐 （两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 = 4.1o 的纵向变位两种情况做了实验，实验数据已经给出。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。（ 2）对于实际的储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数 （纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进 / 出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验所建模型的正确性与方法的可靠性。三：

7、基本假设1：假设题目中所给数据真实有效；2：假设地下储油罐一直处于地下恒温的环境中，即汽油不会发生热胀冷缩；3：假设储油罐的罐壁厚度忽略不计；4：假设油位探针、注油口和出油管在罐体内的体积忽略不计；5：假设油位探针进口孔很小，游浮子不会沿着探针浮出；- 2 -四：模型符号说明abhVVi （ Vi / / Vi / ）hi （ hi/ ）h0s罐体纵向变位的倾斜角度罐体横向变位的倾斜角度椭圆型储油罐横截面长半轴椭圆型储油罐横截面短半轴油浮子测得的实际油位高度储油罐的容积储油罐第 i 个区域的容积第 i 个区域，油位所能达到的最大水平高度过油浮子的水平面的水平高度所得切面的面积= 4.1o 时，

8、油标所能达到的最大油位高度R储油罐两端球冠体的半径t发生横向变位时油罐整体下移高度h /发生纵向变位时的油位高度h /发生横向变位后油浮子的水平高度h/发生横向变位后油浮子所能测得的最大水平高度误差五：问题的分析1问题（ 1）的分析：为了掌握罐体变位后对罐容表的影响， 利用小椭圆型储油罐分别对罐体无变位和倾斜角已知的纵向变位做了实验，并给出了实验数据。考虑到油罐的倾斜角已知且油位探针与油罐的的位置固定，以油位探针与罐底的交点为坐标原点，以油罐发生变位前油罐底边为坐标轴，建立空间直角坐标系 O-xyz 。如下图所示：yOxz- 3 -为得到较准确的结果，需要衡量坐标系建立的合理性，可通过当前建立

9、的坐标求出油罐无变位时油位高度与储油量的理论对应关系，得出理论数据，再结合题目所提供的实验数据相对比，求出相对误差。若误差在允许的范围内，则说明该坐标系的建立可行，可进行后续问题的计算。分析油罐纵向倾斜时，题目倾斜角已知，考虑其是以 O 为定点，在 xOy 平面内发生偏转。为得到其储油量与油位高度的关系，必须涉及体积计算问题，考虑用平行于xoz 的平面切割储油罐， 累加切面面积来计算。 由于所取切面的高度不同， 所得切面形状也有多种可能，这里可分为五种情况来讨论，具体见模型建立与求解。从而建立起罐体纵向倾斜后储油量基于油位高度计算的数学模型。利用程序计算出罐体变位后油位高度间隔 1cm的罐容表

10、标定值，并制 excel 表将其表示出来。2问题（ 2）的分析：实际储油罐的两端为球冠体，可考虑利用问题（ 1）中所建的空间直角坐标系进行求解。由于油位探针与罐体的位置固定，可先分析罐子横向（或纵向）偏转倾斜对油位高度的单独作用影响，再将两者结合起来，从而得到变位后（横向和纵向）油罐内储油量与油位高度间的数学模型。由于在问题（ 1）中得出了小椭圆形储油罐纵向变位后的影响，这里仅仅是形状有些差异，可继续利用此思想。考虑先找出储油罐横向变位前后油位变化关系，然后通过类似问题（ 1）的解决方法得出油罐未发生横向变位（仅发生纵向变位）时储油量与油位高度间的关系式，再利用油罐横向变位前后油位变化关系，得

11、出变位（横向和纵向）后油罐储油量与油位高度及变为参数间的一般关系。在此条件下，可以利用题目所给实际储油罐的检测数据，依靠模型用Matlab 编程估计变位参数（和）的取值，得出储油量与油位高度间的具体数学模型，从而可得到罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表的标定值，并制excel 表将其表示出来。再进一步利用所给实际检测数据分析检验模型的正确性与方法的可靠性。可通过计算误差来进行衡量，若误差较大，则需考虑限制条件是否有遗漏，若在允许范围内，则可通过对理想因素的实际化来增加模型的精度，提高可靠性。六：模型的建立及求解1问题（ 1）：根据分析，以油位探针与罐底的交点为坐标原点，建立空间直角坐标系

12、O-xyz。I: 当罐体无变位（即0 ）时，罐体在坐标平面内的截面图如下图 1 所示：yy2b1.2mhox-aa0-mnzz图 1- 4 -参考所查资料 2 并运用所学数学知识 3 得此时小椭圆型储油罐的空间函数为：z2( yb)21a2( y b)2a2b2zb（1）bmxnm xn又题目已知： a=1.78/2=0.89mb=1.2/2=0.6mm=0.4mn=2.05m用 y= y0 （ y0 为任意常数）切割椭圆柱体，切面是一个关于x 轴对称的矩形，积分时只积一半，结果乘以 2，其面积为：2.052.05 a2( y b)2dx4.9a2( y b)2（2）szdx 2bb0.40.

13、4 bb将其面积在 y 轴上积分可得其总体积，即为给定油位时的储油量：Vhh 4.9a2( y b)24.9asdybdy00bbh2( y b) 2 dyb0=2.45a ( h b) b2(h b) 2b 2 arcsin h bb 2（3）bb2代入数据，并通过 matlab 编程（具体程序见附录1）可得 V 与 h 的理论与实际对应值表如表 1 所示：理论累加进实际累加 进油位高度理论累 加出实际 累加出油位高度油量（ L）油量（ L）（mm）油量（ L）油量（ L）（ mm）5055.6871159.0252.7253.31681150.7210055.6871176.14102.7

14、2103.30291123.9911501196.3619462.622702.722702.9413426.803656.913803.91041152.363652.723652.8032160.483706.913882.32841193.493702.723702.79142.62将题中所给无变位进油和无变位出油的数据代入式（3）进行检验，得出其最大误差为maxmaxV实 -V理V实 -V理4.42%，平均误差为=3.31%，两误差均较小。V理V理II:当罐体发生纵向倾斜变位时，相当于罐体以 o 为原点绕 z 轴逆时针旋转0 ，故罐体在空间平面内的截面图如下图2 所示：- 5 -yh0

15、(V5 )(V4 )V31.2mh3h4h( V2 )h2(V1 )onxh1mz图 2根据所建坐标系，罐体发生= 4.10 的位变时，相当于罐体在xoy 平面内转动了的角度，设罐体上的一点变位前后的坐标分别为： A( x0 , y0 ,z0 ),A1 ( x1, y1 ,z1 ) 。则有：x10cossinx0x0x1 cosy1 siny10sincos. y0y0x1 siny1 cos（ 4）z11 00z0z0z1发生变位后的小椭圆型储油罐在空间坐标系中的空间函数为：z2( y cosx sinb) 21（5）a2b2mx cosy sinnzab2( xsiny cosb)2由式（

16、 6）可得：b（ 6）0.4y sin2.05 ysincosxcos设油位高度为 h，过油浮子水平面与 y 轴的交点为 h0 , 考虑到油位高度的取值不同，切面的形状不一样，将椭球罐体分为五个区域，具体划分如图2所示，记油位能达到的最大值为 : A =2b=1.2m ， 各个区域的取值范围可根据椭圆柱面和两端平面与xoy 平面的四条交线（图2 所示）的四个交点的 y 坐标及三角函数关系得到：- 6 -h1msinh2n sinh3Acosh1acosmsinh4A cosh0,(0h0 h4 )coshA,(h0h4 )（ 7）0 ,(h00)下面用定积分的元素法来计算罐体内的储油量。用 y

17、h0 的平面对椭圆型柱体进行切割，把罐体分为五个区域，现对这五个情况进行分别讨论：（ I ）：当 h00 时， VV1 ，即 h =0。即罐体内储油量 VV1 ， 但油标高度 h0， 当h0 =0 时， V1/ =V1 ，此时 VV1 ，此时为区域一的情况，罐体内的储油量为：V1/h0h0y coth1s1dy 2dy 0 .4 y sinh1coszdx =2a h0y cotb2(x sinb y cos )2dx （8）bh1dy 0.4 ysincos（II ）：当 0h0h2 时，即 0hh2时，此时为区域二的情况，罐体内的储油cos量为： V V1V2/ 。(9)V2h0s2dy2

18、h0y cotzdx0dy0 .4y sin0cos=2ah0y cotb 2( xsinby cos)2 dx(10)dy 0.4y sinb0cos当 h0h2 时，V2/V2 ，此时的 VV1 V2/V1V2 。（III ）：当 h2h0h3 时， h2h cosh3，即h2hh3 ， 此时为区域三的情coscos况，罐体内的储油量为： V V1V2V3/。(11)/h0h02.05y sincosS3 dy2dyzdxV30.4y sinh2h2cos- 7 -2a h02.05y sin22=cosb(xsiny cosdx (12)bh2dy0.4ysinb)cos当 h0h3时，

19、 V3/V3，此时 VV1V2V3。（VI ）：当 h3h0h4时， h3 h cosh3hh4，此时为区域四的情h4 ,即coscos况，罐体内的储油量为： VVVV3V /。124h0h02.05y sin/cosS4 dy2 dyzdxV4h32bh3ycotsin=2abh02.05 ysin22cosdyb( x sinycosb)dx(13)2bh3y cotsin当 h0h 4 时， V4V4/，此时的油标高度hA2b，达到最大值。（V）：当 h0h4时，即 VV1V2V3V4 , hA 。此时为区域五的情况，油标达到最大值，说明纵向倾斜较多过大，计量系统已经不能准确的确定罐内的

20、储油量，但可以得到它的一个范围为。联立式子（ 4） - （ 13），利用 matlab 编程可得：V1 =1.625LV2 =33.8LV3 =2730.2LV4 =1222.97L此时罐体总容积 V 在五个区域内的总表达式为：2a 0y cotb2( xsinby cos)2dx(h0)bdy0.4 y sinh1cos2ah cosy cotb2(x sinby cos)2dx(0 hn tan)1.625b0dy0.4 y sincos2ah cos2.05ysin22V35.425cosb(x siny cosb)hA m tan ) .(14)bdy0.4y sindx(n tann

21、sincos2ah cos2.05 ysin22265.625dycos2bb( x siny cosb)dx( Am tanh A)bmsiny cotsin3988.595V4110.15(h A)上式即为建立的研究罐体变位后对罐容表的影响的数学模型 。代入数据，通过 matlab 编程（具体程序见附录 2）可得发生变位后 V 与 h 的理论与实际对应值表和根据所建模型可得罐体变位后油位高度 (h) 间隔为 1cm的罐容标定值(V) 分别如表 2 和 3 所示：- 8 -表 2理论累加进实际累加 进油位高度理论累 加出实际 累加出油位高度油量（ L）油量（ L）（mm）油量（ L）油量（

22、L）（ mm）747.86782.6401309411.295053.11225361020.65797.86833.240565423.45100103.07285681007.731797.731899.306347670.2211001102.32383762.093297.733310.5828911034.2425002501.298477425.833299.743313.9780671035.3625502551.255482411.73表 3hVhVhVhVhV11.62525123.469449716.1537731988.148973433.43421.7916062613

23、6.036450756.1217742051.343983482.22432.29243527149.449751797.3905752114.859993529.40843741552839.9526762178.6251003574.91354.31084629178.943953883.798772242.5661013618.67265.84046130195.088654928.9136782306.6051023660.61577.72831331212.206855975.2833792370.6641033700.6889.98528932230.32

24、92561022.888802434.6651043738.804912.6241533249.4857571071.706812498.5251053774.9281015.659534269.7055581121.711822562.1651063808.9961119.1077135291.0167591172.877832625.5011073840.9541222.9868636313.446601225.171842688.4511083870.7531327.3166837337.0192611278.56852750.9291093898.3451432.1184638361.

25、7605621333.005862812.8531103923.6861537.4149939387.6926631388.468872874.1371113946.7381643.2304440414.8366641444.905882934.6981123967.4631749.5902741443.2116651502.269892994.4511133985.8281856.5211742472.8349661560.513903053.3111144001.8041964.0509243503.7219671619.583913111.1961154015.3662072.20825

26、44535.8857681679.427923168.0221164026.4912181.022845569.3371691739.986933223.7071174035.1632290.5249546604.0848701801.201943278.171184041.36723100.745747640.1348711863.01953331.3311194045.09424111.716648677.4908721925.348963383.1111204046.336根据误差公式得到此时的最大误差为6.26%，平均误差为 3.47%。2问题（ 2）：根据第二问的分析，油罐若再横向旋

27、转角度，此时旋转轴为油罐中轴线，由于油- 9 -罐由柱体和球冠围城关于中轴线对称，旋转后油罐表面方程保持不表，油面高度保持不变，只是油浮子旋转了角度，有 o 点变到 o / 故只需在计算中让油罐只纵向变化0 ，利用问题一的方法算出原油标高度，再进行换算。未发生变位时，以油位探针与油罐的交点 O为原心建立空间直角坐标系 O-xyz（如图 3 所示），油罐两端球冠体的半径为 R，y3/213mR-3m-2m6mxz图 3根据空间平面几何关系可得： R 2( R1) 2(3/ 2) 2R 13 / 8m未发生变位时的油罐实体方程为：z2( y3) 2(3)222x R 3R 2z2( y3 ) 2（

28、 15）2x 7 RR 2z2( y3 ) 22现分析横向倾斜后油位的变化情况： 过油位探针作油罐的横截面图， 如图 4 所示：h(h /h)h/h /h /oto3m0旋转图 4-10-由于油罐对称，容易观察出经过旋转前后切面油面深度始终都为h / ， 旋转后油位刻度为 h，可以找出旋转前后油位刻度h 和 h 的关系：由图可知： h /t3cos（16）3t3cos（17）222h /h/t（18）h /h cos（ 19）联立式（ 16）- （19）得：2h /3(1cos)（ 20）h2 cos0 ,.0h/3 (1cos)2又知 h2h /3(1cos ) ,3(1cos)h /3(1

29、cos)（21）2 cos223,3(1cos )h/3cos(1cos) .22下面再单独研究纵向倾斜后储油量和油位高度的关系。1当0 时，其截面图如图5 所示：yh0(V25 )(V24 )V233mh3/h4( V22 )h2/h(V21 ) h1/o1mx1m2mz图 5当发生纵向倾斜变位后，设罐体上的一点在变位前后的坐标分别为：A(x0 , y0 , z0 ), A1 (x1, y1, z1 ) ，根据矩阵可得前后点的坐标的关系式为：x10cossinx0x0x1 cosy1 siny10sincos. y0y0x1 siny1 cos （ 22）z11 00z0z0z1将式（ 22

30、）代入（ 15）可得纵向旋转后，油罐实体的方程为：-11-z2( y cosx sin3 )2924x cosy sinR3R 2z2( y cosxsin3) 2(23)2x cosy sin7RR 2z2( y cosxsin3 ) 22记 h / 为实际测得的油位高度，h0 为油面的水平高度， 依据图示的几何关系可得：0,( h1/h00)h0h / cosh /h0,(0h0h4/ )（24）cos3,( h0h4/ )h1/2 sin， h2/6sin ， h3/3cos2sin， h4/3cos（25）用 yh0 的平面对球冠体进行切割，记切面上的左球冠在x 轴上的坐标为 x左 ，

31、右球冠在 x 轴上的坐标为 x右 ，通过计算可得：4cos(3R)3sin 24 y 24 y( 2R sin6sin3 cos)24R45x左22- cos (3R)3 sin(26)24cos(R- 7)3sin24 y 2 - 4 y(2R sin14sin- 3 cos)56R205x右22cos(R7)3 sin(27)2记切面左球冠所在曲线函数为z左 ，切面右球冠所在曲线函数为z右 , 柱体切面所在曲线的函数为z柱 ， 通过旋转后的油罐实体方程（15）可知：z左R 2( xcosy sinR3)2( y cos- x sin3 ) 2(28)2z右R 2( xcosy sinR7)

32、 2( y cos- x sin3 ) 2(29)2z柱9 （- ycosxsin3 ) 2(30)42-12-同问题（ 1），将罐体分为五个区域，现对这五个情况进行分别讨论：I ：1、当 h1/h00时， VV21/, 即 h/0h02 y siny cot/cosz左 dxz柱 dx(31)V21h/s1 dyx左2ysin1cos当 h00 时， V21/V21, 此时 VV21II ：当0h0h2/ 时，即 0h/h2/，此时 VV21V22/ 。(32)cosh02ysiny cot/cosz左 dxz柱 dxV220s2dyx左2 y sincos当 h0h2/时， V22/V22

33、此时 V V21V22III:当 h2/h0h3/时，即h2/h/h3/，此时 VV21V22V23/。(33)coscos/h0/-2- y sin6y sinx右cosz左 dxcosz柱 dxz右 dxV23h/ s3dyx左2ysin6 y sin2coscos当 h0h3/时， V /V23, 此时 V V21V22V2323IV ：当 h3/h0h4/ ,即h3/h /h4/，此时 VV21V22V23V24/。 (34)coscosh06y sinx右/cos3 z柱 dxz右 dxV24h3/ s4 dyycot6ysinsincos当 h0h4/时，V24/V24 此时 h/3V：当 h0h4/时， VV21V22V23V24