截长补短构造全等

1、全等三角形常见辅助线作法板块一、截长补短【例1】 已知 ABC中，.A=：60'' , BD、CE分别平分.ABC和.ACB , BD、CE交于点0，试判断BE、 CD、BC的数量关系，并加以证明.【解析】 BE - CD =BC ,理由是：在 BC上截取BF =BE，连结OF ,禾U用 SAS证得.BEO 也 BFO ,二.4 二.2 ,A . A =60 , . BOC =90；- . A =120：,二.DOE =120：',2 . A . DOE =180. AEO . ADO = 180. 1 . 3=180, £2 . 4 =180：. 1=. 2

2、. 3-4 ,利用 AAS证得 iCDO 也也CFO , CD=CF , BC =BF+CF = BE+CD .【例2】 如图，点M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作乙DMN =60 ,射线MN与Z DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的数量关系？【解析】 猜测DM二MN 过点M作MG II BD交AD于点G , AG二AM , GD二MB又 Z ADM . DMA =120' , Z DMA Z NMB =120'- Z ADM 二Z NMB，而 Z DGM 二Z MBN =120, DGM 也伽BN , DM =MN .【例3】 如

3、图2-9所示.已知正方形 ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且Z BAE=2Z DAM .求 证：AE=BC+CE.EEC【解析】 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：（1） 通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和（BC+CE ），再证所构造的线段与 求证中那一条线段相等.（2）通过添辅助线先在求证中长线段 （AE ）上截取与线段中的某一段 （如BC）相等的线段，再证明截 剩的部分与线段中的另一段 （CE）相等.我们用（1）法来证明.证 延长AB到F，使BF =CE，则由正方形性质知 AAB BBC CE下面我们利用全等三角形来证明AE =AF .为此，连

4、接EF交边BC于G .由于对顶角ZBGF ZCGE，所以 Rt ABGF 也.CGE AAS ,1从而 BG =GCBC , FG =EG , BG =DM2于是 Rt AABG 也 Rt AADM SAS ,1所以.BAG 二.DAMBAE 二.EAG , AG 是.EAF 的平分线2过G引GH _AE于H .因为AG是/ EAF的平分线，所以GB=GH,从而RtA GBF也RtA GHE（HL）, 所以/ F=Z HEG，贝U AF=AE（底角相等的三角形是等腰三角形），即AE=BC+CE.说明 我们也可以按分析（2）的方法来证明结论，为此可先作/ BAE的平分线AG交边BC于G ,再作G

5、H丄AE于H，通过证明 ABG AHG知AB=AH=BC.下面设法证明 HE=CE即可，请同学们自 证.【例 4 】（“希望杯”竞赛试题）如图，AD 丄 AB,CB 丄 AB,DM =CM = a ,AD = h ,CB = k，/ AMD =75°,/ BMC=45°,则AB的长为（）k + hA. aB. kC.2C【解析】过点D作BC的垂线，垂足为E./ DMC=60 CD=DM/ AMD=75°,/ BMC=45°/ DM=CM / AD 丄 AB, DE 丄 BC, CB 丄 AB,/ AMD =75 / ADM = / EDC AD=DE故A

6、BED为正方形，AB=AD=h，选D.【例5】 已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD = / FAE.求证：BE+ DF = AE.【解析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM./ AB=AD，AD 丄 CD , AB 丄 BM , BM=DF ABM ADF/ AFD=Z AMB，/ DAF = Z BAM/ AB / CD/ AFD=Z BAF=Z EAF + Z BAE=Z BAE+Z BAM = Z EAM/ AMB=Z EAM AE=EM=BE+BM=BE+DF.【例6】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边 JABD、厶ACE，连结CD、BE相交于点0.求证：OA平

7、分 DOE .【解析】 因为ABD、. ：ACE是等边三角形，所以 AB=AD , AE=AC，/CAE /BAD =60,贝U BAE = DAC，所以 BAE 也 DAC ,贝U有 ABE ADC , . AEB 二 ACD , BE = DC .在DC上截取DF =BO，连结AF，容易证得 ADF ABO , ACF也厶AEO . 进而由AF二AO .得乙AFO ZAOF ;由 ZAOE =/AFO可得 NAOF =NAOE，即 OA平分 NDOE .【例7】 如图所示， "BC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的ZMDN，点M、N分

8、别在 AB、AC上，求 AMN的周长.AACE【解析】如图所示，延长 AC到E使CE = BM .在.BDM 与.CDE 中，因为 BD =CD，乙MBD ZECD =90 , BM =CE , 所以 BDM 也 CDE，故 MD =ED .因为.BDC =120 , . MDN =60；，所以.BDM . NDC =60、'.又因为 ZBDM ZCDE，所以 /MDN /EDN =601在 MND 与 END 中，DN = DN , MDN = . EDN =60' , DM = DE , 所以MNDEND，贝V NE二MN，所以JAMN的周长为2.【例8】 如图所示，UAB

9、C是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的.MDN，点M、N分别在 AB、AC上，求.AMN的周长.【解析】 如图所示，过 D作DE交BC于E，使得BE = BM ;过D作DF交BC于F，使得CF = CN 因为ZBDC =120°, iBDC为等腰三角形，所以.DBC =30, 又因为ABC为正三角形，所以 EABC =60 注意到.DBC - MBD , BM =BE , BD = BD ,所以.DBE也 DBM ,可知AM二CE.同理， DCF 也 DCN , AN =BF 则有 DE =DM , DF =DN , MDB =“EDB ,

10、 NDC =“FDC 又因为 ZMDN =60：，乙BDC =120 ,贝U ZMDB ENDC =180而 EDC =120 - EDB =120 - MDB , - BDF =120 - FDC =120 - NDC ,故 EDC BDF =240 - MDB NDC =60，因此 FDE =60 ,贝U FDE也厶NDM , MN =EF，进而可知 AMN的周长为1.另解：如图所示，在 AB上取一点 E，使得 BE二AN 在 DAN和：DBE中，DA二DB , AN二BE ,DAN = DBE，因此 DAN 也 DBE，从而 DN = DE 在 DMN 和 DME 中，DN =DE ,

11、MD = MD , - MDN =60；,.MDE =180 -/DEM . DME= 180丄/EBD . EDB KMAD . MDA= 180 -何 .EDB 30 . MDA= 120 -/EDB -/MDA= 120 -/EDB 60 -/NDArji= 120 -/EDB 60'. EDB = 60.因此 QMN也iDME，从而 MN =ME，进而可知 MMN的周长为1 .【例 9】 五边形 ABCDE 中，AB =AE, BC+DE =CD，/ ABC + / AED=180 ° 求证：AD 平分/ CDE【解析】延长DE至F，使得EF=BC,连接AC./ AB

12、C+Z AED=180 ° AB=AE, BC=EF EF=BC, AC=AF BC+DE=CDZ AEF+Z AED=180° ABC AEF CD=DE+EF=DF Z ABC=Z AEF ADC 也厶 ADF 即AD平分Z CDE. Z ADC=Z ADF板块二、全等与角度【例10】如图，在 ABC中,.BAC =60 , AD是.BAC的平分线，且 AC二AB BD，求.ABC的度数【解析】如图所示，延长 AB至E使BE=BD，连接ED、EC.由 AC = AB BD 知 AE = AC ,而BAC =60U AAEC为等边三角形注意到 EAD CAD , AD =

13、 AD , AE = AC ,故 AED 也 ACD .从而有 DE 二 DC，/DEC = DCE ,故 BED = BDE 二 DCE DEC =2 DEC .所以.DEC = DCE =20 , . ABC BEC . BCE =60； 20 = 80 .A【另解】在 AC上取点E，使得AE=AB，则由题意可知 CE=BD.在 MBD 和iAED 中,AB = AE，厶 BAD =ZEAD , AD=AD ,则 ABD 也.AED，从而 BD =DE ,进而有 DE 二CE , ZECD ZEDC ,AED = ECD EDC =2 ECD.注意到/ABD /AED，则：1 3r.p.A

14、BC . ACB 二.ABC ABCABC =180一/BAC =120，2 2故/ ABC=80*.【例11】在等腰 ABC中，AB=AC，顶角.A=：20，在边 AB上取点D，使AD=BC，求.BDC.ABCE【解析】以AC为边向 ABC外作正 ACE，连接DE .在 ABC 和.:EAD 中，AD =BC， AB=EA， /EAD £BACCAE =2060,80 = ABC，贝V ABC也 EAD.由此可得ED=EA=EC，所以UEDC是等腰三角形由于.AED - . BAC =20，贝U . CED =. AEC . AED =60； -20 =40，从而.DCE =70，

15、.DCA =. DCE -. ACE =70 -60： =10；'，贝U . BDC =. DAC . DCA =20； 10：' =30.【另解1】以AD为边在 ABC外作等边三角形：ADE，连接EC.ACCA，在 ACB 和 CAE 中，.CAE =6020 = . ACB，AE 二 AD 二CB，因此ACB也厶CAE，从而 CAB ACE，CE =AB =AC .在 CAD 和 CED 中，AD=ED，CE =CA，CD =CD，故 CAD 也 CED，从而 ACD ECD， - CAB = ACE =2 ACD， 故.ACD =10，因此.BDC =30 .【另解2】如

16、图所示，以BC为边向 ABC内部作等边 BCN，连接NA、ND.在 CDA 和 ANC 中，CN =BC =AD , / CAD =20,ZACN ZACB £ BCN =80' -60 =20；,故 CAD =/ACN,而 AC =CA，进而有 ACDAANC .贝U . ACD 二/CAN =10, 故.BDC =/DAC . DCA =30；.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系【例12】如图所示，在.SBC中，AC =BC , . C =20，又M在AC上，N在BC上，且满足.BAN =50 ,ZABM =60，求 ZN

17、MB.【解析】过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P . 连接PN，易知 MPB、MKP均为正三角形因为.BAN =50 , AC 二 BC , . C =20 ,所以 MANB=50 , BN=AB=BP, ZBPN /BNP =80 , 贝U EPKN =40，/KPN =180 -60 -80 =40 , 故 PN =KN .从而 MPN也 MKN 1进而有 EPMN = KMN，/NMB KMP =30 2CAB【另解】如图所示，在 AC上取点D，使得.ABD =20 ,由艺C =20、AC =BC 可知 EBAC =80 .而.ABD =20，故.ADB =80 , BA

18、= BD .在 ABN 中，乙BAN =50 , /ABN =80 ,故.ANB =50，从而BA二BN，进而可得 BN二BD 而.DBN 二/ABC -. ABD =80 -20 =60，所以BDN为等边三角形在.ABM 中，.AMB =180/ABM/BAM =180 -80 -60 =40，.DBM ADB-. AMB =80 -40 =40， 故.DMB DBM，从而DM DB我们已经得到 DM =DN =DB，故D是.BMN的外心，1从而 ZNMBNDB =30 .2【例13】在四边形ABCD中，已知AB=AC，/ ABD =60， / ADB =76，乙BDC =28，求.DBC的

19、度数E【解析】如图所示，延长 BD至E，使DE二DC，由已知可得:ZADE =180 /ADB =180 -76 =104，ZADC ZADB EBDC =76 28 =104，故 /ADE ZADC 又因为 AD =AD，DE =DC ,故 ADE 也 ADC ,因此 AE =AC , E =/ACD , EAD “CAD 又因为AB =AC ,故 AE=AB , ABC=/ACB.,o而已知.ABD =60 ,所以ABE为等边三角形于是 ZACD Ze EAB=60 ,故 CAD =180/ADC MACD =16 ,则乙CAB ZEAB ZCAD /EAD =28 ,从而.ABC 二寸（

20、180/CAB） =76 ,所以.DBC =/ABC-/ABD=16 .【例 14】如图所示，在四边形 ABCD 中，.DAC =12 , . CAB =36 , . ABD =48 , . DBC =24，求.ACD 的度数.【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是12的倍数，这使我们想到构造 60角，从而利用正三角形在四边形 ABCD外取一点P，使.PAD =12且AP=AC，连接PB、PD .在 ADP 和.ADC 中，/PAD /CAD =12，AP=AC，AD =AD ,故 ADP ADC .从而.APD = ACD.在 ABC 中，.CAB =36 , . ABC =72 ,故.AC

21、B =72 , AC =AB ,从而AP=AB.而 ZPAB ZPAD /DACCAB =12 12 36 =60 ,故.PAB 是正三角形， £APB =60 , PA=PB.在 DAB 中，.DAB =/DAC . CAB =12 36 =48 =/DBA ,故 DA=DB .在 PDA和 PDB 中，PA=PB , PD=PD , DA=DB ,故 PDA也. PDB,从而.APD = BPD 丄 APB =30 ,2贝U /ACD =30 “【例15】（河南省数学竞赛试题）在正厶ABC内取一点D ,使DA = DB ,在 ABC外取一点E ,使ZDBE ZDBC，且 BE =

22、BA，求 ZBED .【解析】如图所示，连接 DC.因为AD二BD , AC二BC , CD二CD , 则 ADC 也 BDC ,故.BCD = 30'.而 DBE = DBC , BE = AB = BC , BD = BD , 因此.BDE WBDC ,故.BED 二/BCD =301【例16】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在.'ABC中，.BAC - . BCA = 44 , M为ABC内一点，使得.MCA =30 ， MAC =16，求.BMC 的度数.【解析】 在 ABC 中，由.BACBCA =44 可得 AB 二 AC，. ABC =92 .如图所示，作 BD_

23、AC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA，则有 NOAC =MCA =30 :ZBAO ZBAC /OAC =44 -30 =14，.OAMOAC -. MAC =30 -16 =14，所以.BAO MAO .又因为.AOD =90/OAD =90 _30 =60 二.COD，所以.AOM =120=. AOB . ZBOM =120而 AO 二 AO，因此.ABO 也.：AMO , 故 OB =OM.由于.BOM =120 ,180 ZBOM贝U ZOMB ZOBM30 ,2故 /BMC =180 NOMB =150”【巩固】如图所示，在 ABC中，已知£BAC=80，三ABC=

24、60 , D为三角形内一点，且 £DAB=10 ,.DBA =20，求.ACD 的度数.【解析】 如图所示，延长 BD交AC于E，则/AEB =80、ZBAE , AB =BE .在BC上截取BF =BA，连接FA，则MBF为等边三角形在AC上截取 AG = AB，连接GB、GD、GF ,由边角边公理知 AFG也 BAE 在 BEF 中，因 BE=BF , . EBF =40 ,则.BEF 70，易得 ZFEG =30 ZADE .由角边角公理知 FEG也ADE ,于是EG =DE.注意至U . EBC =40 =. ECB ,故 EC =EB.又由边角边公理知EDC EGB ,从而 ECD EBG.在 ABG 中，因 AB