工程项目风险评估的模糊概率分析方法

1、工程项目风险评估的模糊概率分析方法收到日期1997-06-22第一作者丁增信男36岁工程师丁增信孙东根何光(合肥市公路工程施工处,合肥230011(安徽省公路管理局,合肥230011胡劲松(东南大学系统工程研究所,南京210096摘要考虑到工程项目建设的模糊性和随机性,本文提出一种用于工程项目风险评估的模糊概率分析方法。算例计算说明,该方法比PER T 技术提供的有关工程项目按期完工的风险评估结果更加可靠,且易于计算。关键词网络计划风险评估模糊网络分类号TB .11问题的提出公路工程建设是一项大型的施工项目,它包括大量的路基、路面及一系列安装工程。这些工程具有施工过程复杂,劳动分工精细,协作关

2、系严密等特点。根据目前国际通行的在公路施工管理中的F I D I C 合同条款,公路项目在正式施工前,承包人应向监理工程师提交施工进度计划,经批准方可进行施工。同时进度计划也是承包人在施工过程中提出延期申请的重依据。长期以来,在施工中广泛应用网络计划技术来安排计划、实施管理。实践证明,采用网络计划技术在缩短工程工期,提高工效,降低成本等方面都有显著的成效。但由于工程项目的进度受到天气、材料、资金和环境等多种因素的影响,在制订公路建设项目进度计划时,人们越来越深刻地认识到要考虑计划中的不确定因素。考虑到工序时间的不确定性,人们尝试应用PER T 技术方法制订进度计划时,要求计划的制订者,根据实际

3、经验,对计划中的每一项工序估计出:最乐观时间、最可能时间和最悲观时间的三种不确定时间,并假设上述三种不确定时间为某一随机变量概率分布(如分布的三个有代表性的数值。实质上,PER T 技术仅仅考虑了由于三种估计时间的不确定性所产生的完成一工序的实际时间的随机性。对于某工序不确定性时间估计问题,在具有该工序或同类工序时间消耗的统计资料时,作出上述假设才是合理的,但在设有可供参考的统计资料情况下,或施工环境变化较大,阻碍人们利用先前的统计资料时,再作出工序时间为服从某一概率分布的随机变量的假设,就缺乏理论依据了。因此,有关PER T 假设条件方面的研究,人们一直在进行第16卷第1期1998年3月河南

4、科学H ENAN SC IEN CEV o l 116N o 11M ar 11998探讨1,2。在PER T 技术中,为了简化求解工程完工期的期望值与方差,PER T 进一步假设:(1工序时间是相互独立的随机变量;(2网络中只有一条路线占支配地位,其它路线成为关键路线的概率可以忽略不计。在这种情况下,工程完工期就是关键路线上工序的随机时间值之和,工程期望完工期和方差值就对应关键工序时间期望值和方差值之和。因此,在关键路线上工序数目较多时,根据中心极限定律,此时可近似认为工程工期服从正态分布。有关研究表明3,即使单个路线服从正态分布,而工程工期服从正态分布的条件是网络中只有一条路线占支配地位的

5、假设必须成立。而在实际运用中,往往要同时考虑几条关键路线,因而PER T 技术在计算结果方面往往是近似的。另一项研究表明2,根据以上假设得到的工程期望完工期几乎总是小于实际统计平均值的,误差可达30。基于以上分析可知,PER T 技术在确定工程完工期方面并不健全。因此在运用PER T 技术进行工程项目按期完工概率分析时,往往提供项目按期完工的概率值偏大。为了更全面、更科学、更合理地运用PER T 技术制定工程计划以及为施工单位提供承担施工工程项目所具有的风险提供科学的决策依据,下面我们提出一种新的工程项目风险评估的模糊概率分析方法。2基本定义及工程项目风险评估的模糊概率分析方法在介绍具体方法以

6、前,扼要介绍有关的模糊集理论的一些基本概念。定义1论域X 上的模糊集A 是A =(A (x ,x x X (2.1A (x 0,1,称为x 对于A 的隶属度;A 称为模糊集A 的隶属函数。定义2设样本空间为8,所谓模糊事件就是样本空间8中的一个模糊子集A 。定义3如果样本空间8是有限集,即8=w 1,w 2,w n ,设基本事件w i ,i =1,2,n ,的概率p (w i =p i ,A 是一模糊事件,其隶属函数为A (w i ,则模糊事件A 的概率定义为P (A =nj =1A (w i p i (2.2定义4刻画论域X 上的一个模糊集A 的模糊程度的量,称为模糊度,记为d (A 。它应

7、满足下列条件:(1d (A =0时,亦即当且仅当A 的模糊度为0,即不模糊时,A 才为普通集合;(2d (A =1时,即对于任意x X ,当且仅当A (x =0.5时,模糊集A 最模糊;(3设A 、B 是论域X 上的两个模糊集,如果对于任意x X ,有A B (x 0.5,或A (x B (x 0.5,则d (A d (B 。在第一节中,我们曾指出:用PER T 技术进行工程项目计划时,考虑到工序时间的不确定性,要求计划的制定者,根据实际经验,对网络计划中的每一工序估计出最乐观时间、最可能时间和最悲观时间,并假设工序时间为服从分布的随机变量。实际上,PER T 技术仅考虑了由于三种估计时间的不

8、确定性所产生的完成一工序的实际时间的随机性,而忽略了在三种仨估计时间的假定下完成该项工序的“可能性”这一模糊现象。在制订和实施PER T 网络计划时,由于人力、物力、财力和资源等因素的不断变化,往121998年3月工程项目风险评估的模糊的概率分析方法往会给工序的完成带来一些难以预料的困难和问题。因此“工序实际可能完成时间”具有很大的随机性,同时制定PER T 网络计划的决策者,对网络计划中每一项工序的最可能时间估计,一般是在利弊条件各占一米的情况下进行考虑的,是最难估计准确的,此时估计的模糊度最大;对于最乐观时间的估计,是在有利条件或者在一切条件顺利的情况下进行的,因此估计的模糊度较小,对于最

9、悲观时间的估计,是在困难条件多于有利条件或者在一切不利条件的情况下进行的,因此估计的模糊度亦较小。因此可以看出,在三种估计时间的假定下,“工序实际可能完成时间”还伴随着一定程度的模糊性。对于取决于“工序实际可能完成时间”的“工程项目实际可能完工期”,无疑具有随机性和模糊性。因此我们将在PER T 技术中引进模糊性,提出本文的工程项目风险评估的模糊概率分析方法。1网络时间参数计算设A 为网络的工序集合,N 为事项集合,N =(1,2,n 。类似于传统PER T 技术的概率分析,首先根据网络工序(i ,j ,(i ,j A 的三种估计时间:最乐观时间a ij 、最可能时间m ij 和最悲观时间b

10、ij ,计算工序(i ,j 的期望时间t ijt ij =(a ij +4m ij +b ij 6(i ,j A (2.3同时,为了衡量工序时间的不确定性,计算各工序时间的标准离差ijij =(b ij -a ij 6(i ,j A(2.4由于时间估计是不确定的,因此网络计划的其它时间参数也同样具有不确定。与网络计划的概率分析方法相同,事项j ,j N 的最早可能开始时间E (i 及方差2(E (i 为E (1=0(2.5a 2(E (1=0(2.5b E (j =m axE (i +t ij i I P (j (2.5c 2(E (j =2(E (i +2ij ,i I P (j (2.5d

11、 式中,IP (j 表示事项j 的紧前事项集合。事项i ,i N 的最迟开始时间L (i 和其方差2(L (i 为L (n =E (n (2.6a 2(L (n =0(2.6b L (i =m in (L (j -t ij j IS (i (2.6c 2(L (i =2(L (i +2ij ,j IS (i (2.6d 式中,IS (i 表示事项i 的紧后事项集合。由事项最早和最迟开始可得,各事项的时差S (i =L (i -E (i (2.7进布由事项时差,可以判别出关键路线。2工程项目风险评估的模糊概率分析方法根据PER T 技术,可以得到网络关键路线。但由第二节部分分析知,此时所计算的工

12、程期望完工期往往小于实际统计平均值。文献5研究表明,以PER T 技术确定的关键路线的各关键的工序的最可能时间之和作为预计的工程完工期,要比PER T 技术中计算的工程期望完工期更接近实际统计平均值。假设由。PER T 技术确定的关键路线上有l 个关键工序。此时,可采用这l 个关键工序的三种估计时间之和作为工程项目实际完工的最乐观时间A ,22河南科学第16卷第1期最可能时间M 和最悲观时间B ,即A =li =1ai(2.8a M =li =1mi(2.8b B =li =1bi(2.8c 实际上,由式(2.8确定的A 、M 和B 为工程项目实际完工时间这一随机过程的基本事件。设8为工程项目

13、的实际完工时间的样本空间,则8可表示为8=A ,M ,B (2.9若设T 表示工程项目按规定时间T 完工的实际可能时间,那么,T 为8上的一模糊事件,则T 可表示为T =(T (A ,T (M ,T (B (2.10式中,T (M 和T (B 分别表示工程项目实际完工时间的最乐观时间、最可能时间和最悲观时间录属于工程项目按规定时间T 完工的实际可能时间的隶属度。由于各工序的最可能时间m i 估计的模糊度最大,即其值为1,因此在规定时间T 内取决于各工序最可能时间的工程项目实际完工的最可能时间M 的模糊度亦最大。由模糊度的定义4知,此时T (M =0.5,即工程项目实际完工的最可能时间M 对模糊

14、集T =“工程项目按规定时间T 完工的实际可能时间”的隶属度为0.5。对于工程项目实际完工的最乐观时间A 和最悲观时间B ,由于各工序的最乐观时间和最悲观时间估计的模糊度较小,因此,对取决于各工序最乐观时间和最悲观时间的A 和B ,其估计的模糊度亦较小。由于它们分别是在有利条件多于不利条件和不利条件多于有利条件情况下的两种估计,因此,可认为T (A =T (B =0.25。为了得到工程项目按规定时间T 完工的实际可能时间的概率,下面利用PER T 技术求解工程项目在A 、M 和B 三种时间F 按规定时间T 完工的概率p (A 、p (M 和p (B 。设工程项目的规定工期为T ,可得Z a =

15、(T -A (2.11a Z m =(T -A (2.11b Z b =(T -A (2.11c 式中,表示关键路线上的工程期望完工期的标准离差,即=li =1(b i -a i 62(2.12利用正态分布表可得A 、B 和M 的概率为p (A =5(Z a =12Z a-e-x22d x(2.13a p (M =5(Z m =12Z m-e -x22d x (2.13b p (B =5(Z b =12Z b-e -x22d x(2.13c 321998年3月工程项目风险评估的模糊的概率分析方法 由模糊事件的概率定义式(2.2可得到如下模糊事件T =“工程项目按规定时间T 完工的实际可能时间”

16、的概率计算式p (T =T p (A +T (M p (M +T (B p (B (2.14下面结合一算例,具体说明该方法3算例考虑图1所示的文献4中的工程网络,各工序的时间参数见表 1图1简单工程网络图F ig .1Samp le p ro ject netw o rk由PER T 技术,容易算得该工程计划的期望完成时间为9天,工程计划的工期标准离差为=1.003,该网络的关键路线为1-2-3-4。该网络的实际期望完工时间为10.83天(参见文献4。若假定工程计划的工期近似服从正态分布,那么,工程计划在10.83天完工的概率可以认为是50。而用PER T 技术分析工程计划在10.83天完工的

17、概率将为97。这说明PER T 技术提供的完成工程计划的可靠程度与实际情况相差较大。表1工序时间参数表T able 1A ctivity ti m e param eter工序a i mib i t ij ij24640.67运用本文提出的工程项目风险评估的模糊概率分析方法分析图1所示工程项目在10.83天完工的模糊概率。容易算得A =a 12+a 23+a 24=4,M =m 12+m 23+m 34=9,B =b 12+b 23+b 34=14利用式(2.11(2.13,求得该工程项目在A =4,M =9,B =14三种时间下按规定时间10.83天完工的概率为p (A =1,p (M =0

18、.965,p (B =0.0进而,由式(2.14可得p (T =T (A p (A +T (M p (M +T (B p (B 42河南科学第16卷第1期1998 年 3 月 工程项目风险评估的模糊的概率分析方法 25 = 0. 25 × 1 + 0. 5 × 0. 965 + 0. 25 × 0. 0 = 0. 73 ab ilist ic m ethod fo r p ro ject risk eva lua t ion is p resen ted in th is p ap er. Com p a red to PER T , the m ethod ca

19、n g ive m o re accu ra te resu lt s, and be ea sy to ca lcu la te. Key wordsN etw ork p lann ing R isk ev a lua tion F uz zy netw ork 由计算结果可以看出, 运用本文的模糊概率分析方法求得在 10. 83 天完工的实际可能 时间的概率为 73 , 比 PER T 技术求得的 97 更接近地实际情况的概率 0. 5。 若规定工期 为 8 天, 则由 PER T 技术可得按期完工的概率为 83 。 而由本文的模糊概率分析方法求得 的概率为 45 。 此时实际完工概率可

20、以近似认为是在正态分布的期望值为 10. 83, 方差为 1. 003 时的概率 0. 5 。 因此, 本文所提的工程项目风险评估的模糊概率分析方法, 比目前广 泛应用的 PER T 技术更能反映工程的实际情况, 尤其是在为施工单位提供承担施工工程项 目所具有风险决策方面可以提供更加可靠的分析数据。 参考文献 1 L ittlefield T. K. and R ando lp h P. H. R ep ly 2an an sw er to Sa sien i question on PER T ti es, s m M anagem en t Science, 1987; 33 ( 10 , 135721359 Yo rk, 1977 1742183 sea rch, 1964; 12, 16237 3 E lm agh raby S. E. , A ctivity netw o rk s: p ro ject p lann ing and con tro l by netw o rk m odels, w iley, N ew 4曹光明, 白思俊。 国外 PER T CPM 网络计划技术发展的三个方面, 系统工程理论与实践,