曲线和方程教案

1、曲线和方程教案教学目标（一）教学知识点根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.（二）能力训练要求1.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.2.会判断曲线和方程的关系.（三）德育渗透目标1.提高学生的分析问题能力.2.提高学生的解决问题能力.3.培养学生的数学修养.4.增强学生的数学素质.教学重点求曲线方程的步骤：（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标；（3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0；（4）化方程F(x,y)=0为最简形式；（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.教学难点依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹

2、性、完备性.教学方法启发引导法启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.教具准备投影片两张第一张：记作§第二张：记作§ B教学过程.课题导入师上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.生（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.讲授新课不难

3、发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.师下面我们首先讨论求曲线的方程.例2设A、B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB的

4、垂直平分线的方程.分析：线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件：MA=MB（打出投影片§)解：（1）设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则MA=MB即整理得，x+2y-7=0 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；（2）设点M1的坐标(x1,y)是方程的解，即x1+2y1-7=0,x1=7-2y1点M1到A、B的距离分别是M1A=M1A=M1B即点M1在线段AB的垂直平分线上.由（1）、（2）可知，方程是线段AB的垂直平分线的方程.例3点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k0)，求点M的轨迹.分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴.解：

5、取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系.（打出投影片§ B)设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合：P=MMR·MQ=k,(其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足）因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，x·y=k即x·y=±k(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程的解，那么x1y1=±k,即x1·y1=k.而x1、y1正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点

6、M1是曲线上的点.由（1）、（2）可知，方程是所求轨迹的方程.下面，请同学们打开课本P72.课堂练习生（板演练习）练习1、2.生甲1.解：设点M（x,y)是到坐标原点的距离等于2的任意一点，则点M属于集合P=MOM=2=2即x2+y2=4 (1)由求方程的过程可知，到坐标原点的距离等于2的点M的坐标都是方程x2+y2=4的解.（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程的解，即x12+y12=4整理得y12=4-x12点M1到坐标原点的距离为：OM1=即OM1=2M1到坐标原点的距离为2，也就是说以方程x12+y12=4的解为坐标的点到坐标原点的距离为2.由（1）、（2）可知，方程x2+y2=4是

7、到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程.生乙2.解：设点M的坐标为（x,y)则，点M属于集合：P=My=MF即y=整理得：x2-8y+16=0.(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）过点M1的坐标（x1,y1)是方程的解，那么，x12-8y1+16=0即x12+(y12-8y1+16)=y12=y1而y1正是点M1到x轴的距离正是点M1到点F（0，4）的距离.因此点M1到x轴的距离和点M1与点F（0，4）的距离相等.由（1）、（2）可知，x2-8y+16=0是到x轴的距离和到点F（0，4）距离相等的点的轨迹方程.课时小结通过本节学习，要掌握求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P=MP(M);（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程.课后