江苏专转本高等数学_不定积分(让你熟练掌握不定积分)

1、第三章 不定积分本章主要知识点： 不定积分的意义，基本公式 不定积分的三种基本方法 杂例一、不定积分的意义、基本公式不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。1性质(f(x)dx)'=f(x)d(f(x)dx)=f(x)dxdF(x)=F(x)+Cf'(x)dx=f(x)+Cf(n)dx=f(n-1)(x)+C2基本公式1n+11x+c(n-1)，x=ln|x|+c n+1axx+c，exdx=ex+c （2）adx=lna （1）xdx=n（3）sinxdx=-cosx+c，cosxdx=sinx+c，

2、 sec2xdx=tanx+c，csc2xdx=-cotx+c - 78 -第三章 不定积分（4）x=arcsin+c， aa2-x21（5）11a+xdx=ln|a2-x22aa-x|+c11x21f dx=-x11f d xx2secxf(tanx)dx=f(tanx)dtanxtanxsecxf(secx)dx=f(secx)dsecx 等等。- 79 -22007dx 例3.1x(2x+1)11220072(2x+1)d(2x+1)=(2x2+1)2008+c 48032113sinx-1dx=e3sinx-1d(3sinx-1)=e3sinx-1+c 例3.2cosxe33解：原式=

3、23例3.3xsin(5x-7)dx 113333sin(5x-7)dx=sin(5x-7)d(5x-7) 31513 =-cos(5x-7)+C 151lnxdx 例3.4x2lnx+1lnx12u+1-1dlnxu=lnxdu 解：原式=2lnx+122u+1解：原式=1(1-21)du2u+1=1u-1ln2u+1+C=1lnx+1ln2lnx+C 2424例3.5x4+x4dx1x2112解：原式=2dx=+C 224222+(x)例3.61cos2x(2tan2x+1)dx sec2x1dx=dtanx=tanx)+C 解：原式=1+2tan2x1+2tan2x例3.7解：原式=2s

4、in例3.8e211(1-cos2u)du=u-sin(2u)+C 241+C 4ex+xdxx解：原式=eedx=ede=e+C- 80 - exexxex第三章 不定积分x3+3x+2dx 例3.9x+2解：利用综合除法知x3+3x+212=x2-2x+7- x+2x+121212)dx=x3-x2+7x-12lnx+2+C 原式=(x-2x+7-x+23例例例 = x+C =- 81 -sinxsinx+cosx1(sinx+cosx+sinx-cosx)11-d(cosx-sinx)=dx+解：原式= 2sinx+cosx22sinx+cosx11 =x+lnsinx+cosx+c 2

5、2cosxdx 例3.142sinx+3cosx32f(x)+f'(x) 解：令f(x)=2sinx+3cosx，则f'(x)=2cosx-3sinx,cosx=131332f(x)+f'(x)32dx=x+ln|2sinx+3cosx|+C 原式f(x)1313例3.13例3.1512sin2x+cos2xdxsec2x1解：原式dx=dtanx=x)+C 222tanx+12tanx+1例3.16tanxdx解：原式=tanx+tanx-(tanx+1)+1dx2222 =tanx(1+tanx)dx-secxdx+dx=tanxdtanx-tanx+x+c 442

6、213tanx-tanx+x+c 32x+3 例3.172x-2x+2 =2(x-1)+5d(x-1)21解：原式=+5(x-1)2+1(x-1)2+1 (x-1)2+1=ln(x-2x+2)+5arctan(x-1)+c 2例3.18解：原式=12+(x-1) =2 - 82 -第三章 不定积分arcsin例3.19x-1+c 21+edx x2x2解：原式=1+e-ex21+e1+e例例=x-2dex2x2=x-2ln(1+e)+c x2例例例2直接交换法a）题型f(ax+b)dx(t2-b)方法：令t=+b，x=， a- 83 -例3.25fdx=2tf(t)dt a1 x+1解：令t=

7、原式=x,x=t2， 1dt2tdt2dt-2=t+1t+1=2t-2lnt+c=2x-2ln(1+x)+c例3.26 解：令t=x-1,x=t2+12tt+1-1112dt=2dt=d(t+1)-t2+2t+4(t+1)2+3(t+1)2+3(t+1)2+3dt原式=ln(t2+2t+4)+C=ln(x+3)+C例3.27x+xx=t616t5t3)dt dt=6(t2-t+1-解：原式23=6tt+t1+t1+t=2t-3t+6t-ln(1+t)+c =2x-3x+6x-ln(1+x)+c例3.283211e+1xdx解：原式12t2 x=ln(t2-1)tt-1t+ex-111-t)+c

8、 dt=ln=22+c=ln(xt-11+t+e+1b) 题型f(ax2+b)dxfdx 变换x=asint dx 变换x=atant - 84 -f第三章 不定积分fdx 变换x=asect例3.299-x2x解：令x=3sint，2例 例例原式=12sectdt=costdt=sint+c+c sec3t例3.33- 85 -解：令x+1=tant， 原式1sint-costdcostdsintdt=dt-+sint+costsin2t-cos2t1-2cos2t1-2sin2t|。 +C（还原略）3分部积分法公式：udv=uv-四种基本题型a）题型1 vdu xPxedx ()m2x例3

9、.34(2x-1)edx 1112x2x2x(2x-1)de=(2x-1)e-ed2x 22212x2x =(2x-1)e-e+C 2解：原式=例3.35解：原式ettdt=tdet=tet-et+C例3.36xex22-+C x2+x432dx 4x21x2x42解：xed +ed()2224u=2x221x21x2uu2uedu+2e=2ude+2e 2444xxx1x21uu22=2ue-2e+e+C=xe-2e2+e2+C 22题型2 P(x)cosxdx或P(x)sinxdx mm例3.373xsin(2x-1)dx解：原式=-333xdcos(2x-1)=-xcos(2x-1)+c

10、os(2x-1)dx 222- 86 -第三章 不定积分=-33xcos(2x-1)+sin(2x-1)+C 242例3.38xcosxdx 1+cos2xx21dx=+xdsin2x 解: 原式=x2442例例例 m例3.42xln(x+1)dx 1121x22 解：原式=ln(x+1)dx=xln(x+1)-222x+1- 87 -1211xln(x+1)-(x-1+)dx 22x+1121211 =xln(x+1)-x+x-lnx+1+C 2422 =例3.43t1)dx2ln(t+1)dt3 3221232t3)dt dt=t3ln(t+1)-(t2-t+1- =tln(t+1)-33

11、t+133t+1232t312 =tln(t+1)-(-t+t-ln(t+1)+C 33323232121)+C=x21)-x2+x3933解：原式tln(t+1)2tdt=例3.44(2x-1)ln2xdx 22222解：原式=lnxd(x-x)=(x-x)lnx-2(x-x)1lnxdx xx2=(x-x)lnx-2(x-1)lnxdx=(x-x)lnx-2lnxd(-x) 2x2x2122 =(x-x)lnx-2(-x)lnx+2(-x) 22x12222 =(x-x)lnx-(x-2x)lnx+x-2x+c 22222例3.45xarctan2xdx 112x22dx 解：原式=arc

12、tan2xdx=xarctan2x-221+4x21214x2+1-1dx =xarctan2x-2241+4x111=x2arctan2x-x+arctan2x+c 248例3.46(x-1)arcsinxdx解：原式=x=sint(sint-1)tcostdt=1tsin2tdt-tcostdt 2=-1tdcos2t-tdsint 4tcos2t1=-+cos2tdt-tsint+sintdt 44- 88 -第三章 不定积分11=-tcos2t+sin2t-tsint-cost+C 4811=-arcsinx(1-2x2)+xarcsinx-C 444四类杂例例例2133由F(x)可导

13、知，成立， 2727-+9+9+c=-9-9+c3233- 89 -10c=-+c123解得： ， 1044c=18+c=18-+c=+c132133132x-x-3x+c1,x-1310132+c1,-1x3 。 所以，F(x)=-x+x+3x-3344132x-x-3x+c1,x333（2）分段函数积分x1x,例3.49f(x)=2x+1,1<x<2，求f(x)dx 。 x+1,x2解：F(x)=x2x12+c1,f(x)dx=x2+x+c2,1<x<2， 2x+x+c3,x221+c1=2+c2由F(x)可导知，成立2 6+c2=4+c3解得：c2=-31+c1，

14、c3=2+c2=+c1 22x2x12+c1,32所以，f(x)dx=x+x-+c1,1<x<2 。 2x21+x+c1,x222（3）递推关系2n例3.50In=sinxdx n-1解：In=-sinxdcosx - 90 -第三章 不定积分In=-sinn-1xcosx+(n-1)cos2xsinn-2xdx In=-sinn-1xcosx+(n-1)sinn-2xdx-(n-1)sinnxdx nIn=-sinn-1xcosx+(n-1)In-2n-1例例 （例15131=-t+t-t+arctant+C =- t4-t2+1-dt2531+t=-111111+-+arcta

15、n+C 5x53x3xx- 91 -例3.58-xdx 1+x1-x1-t21-x222解：令t=，解得：t=，t+xt=1-x，x=，则 1+x1+t21+xdx=-4tdt 22(1+t)t=tanu-4t2原式=-dt22(1+t)-4tan2u2=secudu 4secu=-4sin2udu=-2(1-cos2u)du=-2u+sin2u+C。（5）一些特殊积分2x2例3.59e(tanx+1)dx 2x22x2x2x解：原式esecxdx+2etanxdx=edtanx+2etanxdx e2xtanx-2e2xtanxdx+2e2xtanxdx=e2xtanx+C1x+1例3.60

16、(1+x-)exdx x1x+1解：原式edx+x(1-2)exdx x1111x+x+x+x+1xxx edx+xed(x+)=edx+xdex xx+1xex+1xdx+xex22x+1x-ex+1xdx=xex+1x+C 例3.61(x+1)edx 解：原式xde单元练习题3 2x22+edx=xe-edx+edx=xe+C x22x22x22x22x221dcos2x=。- 92 - 第三章 不定积分2已知f(cosx)=sin2x，则f(x-1)dx= 3d13tanxln(1+)dx = 。 dxx4已知f(x)dx=+x2+C，则limh0f(h)-f(-h)= 。 h567co

17、sx（8）2+cos2xdx （29）113x2dx （9）1+x （30）sinxsin3x+cos3xdx- 93 -（10）x4-x2+1x+2dx （11）1cos4xdx（12）（13）lnxx+lnxdxx（14）xeex-1dx（15）xx2a-xdx （16）x2a2-x2dx（17）xln2xdx（18）sinxlntanxdx（19）arctan（20）(arcsinx)2dx（21）xsinxdx历年考试真题1.（2001）不定积分=（ （31）dx（32）xln(4+x2)dx（33）arctanxx21+x2dx（34）e2x(tanx+1)2dx（35）xlnx(1

18、+x2)2dx（36）（37）(|1+x|-|1-x|)dx（38）max(x2,x3)dx（39）ex1+sinx1+cosxdx（40）x+1x1+xexdx（41）dx- 94 -）第三章 不定积分A.B. +C C. arcsinx D. arcsinx+Ce2xdx。 2. （2001）计算1+ex3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a0,1，则下列命题正确的是（ ）4. 5. 6. 7. 8. 9.本章测试1f(x) 的一个原函数为1，则f'(x)=_。 x2dcosx=_。3x3(xe)'dx=_, - 95 -x2+c，则sinxf(cosx)dx=_

19、。 4. 已知f(x)dx=1-x25. (x+1)lnxdx6. lnxx2dx 7. xdx4-x2 sin2xcos2xdx 1+sin2xdx9.1+cos2x8.10. 3211.(xlnx)(lnx+1)dx12.dx x213.cosx2sinx-cosxdxsinx， x14.已知f(x)的一个原函数为32 证明：xf'(x)=xcosx-4xsinx-6cosx+C 15.已知函数f(x)有二阶连续导数，证明：xf''(2x-1)dx=16.ln(x+x1f'(2x-1)-f(2x-1)+C24dx- 96 -第三章 不定积分单元练习题3答案x

20、3123x+x+c 3.tanxln 1+ 4.2 5.e1cos2x 2.- 6. 3x4117.解：（）原式=-(1-3x)=-(1-3x)3+C （)dx=-x+ln|x+1|+C （9） 原式=(x-1+x+121312332)dx=x4-x3+x2-6x+13ln|x+2|+C （10）原式=(x-2x+3x-6+x+24321342（11）原式=secxdx=(1+tanx)dtanx=tanx+tanx+C 3- 97 -1-sinxdcosxdx=-=2cos2x+C （12）原式=3/23/2cosxcosx（13）原式=(lnx)u=lnx=d(u+1) 33222=(u+

21、1)-C=(1+lnx)2-C 33（14）原式=2=22tx=ln(t+1)22t2=24(1-2tdt 1+t21)dt=24arctanC 2t+1（15）令x=u2,x=2au2-xu2, =u，得2a-x2au2-4aux=,dx=du 1+u2(1+u2)22au2-4auu32则原式=udu=-8adu 222231+u(1+u)(1+u)tan3t2=-8asectdt 4sectsin2t242324costdt=-8asintcostdt=-2asint+C（代入略） =-8a3costa2sin2ta2a2a2acostdt=(1-cos2t)dt=t-sin2t+C (

22、16) 原式 x=asintacost224a2xarcsinC=2a8832162222223tlntdt （17）原式t=xtlnt2tdt=8tlntdt=lndt=tlnt-333u=tant283216816316232lntdt=tlnt-tlnt+tdt =tlnt-39399=383216316tlnt-tlnt+t3+C 39272（18）解：原式=-lntanxdcosx=-cosxlntanx+cosxcotxsecxdx - 98 -第三章 不定积分1sinxdx11+cosx|+C =-cosxlntanx-ln|21-cosx =-cosxlntanx+t2dt （

23、19）原式arctant2tdt=arctantdt=tarctant-21+tt=x22（ （23）解：I=sin(lnx)dx=xsin(lnx)-cos(lnx)dx =xsin(lnx)-xcos(lnx)-sinxlnxdx=xsin(lnx)-xcos(lnx)+C-I I=1(xsin(lnx)-xcos(lnx)+C 2- 99 -1-cosx12x12xdx=e-ecosxdx,令I=e2xcos2xdx 24211I=cos2xde2x=e2xcos2x+e2xsin2xdx 2211=e2xcos2x+sin2xde2x2211=e2xcos2x+sin2xe2x+C-e

24、2xcos2xdx2211=e2xcos2x+e2xsin2x+C-I 221I=e2xcos2x+e2xsin2x+C 412x12x12x原式=e-ecos2x-esin2x+c 488ex-xxx-x-xx-x （25）原式=earctanedx=-arctanede=-earctane+e1+e2xarctanex1+e2x-e2xarctanex12x=-+=-+x-ln(1+e)+c x2xx1+e2ee（24）原式=e2x（26）原式=xdtanx=xtanx-tanxdx=xtanx+ln|cosx|+cx11ex1x（27）原式=e( -)dx=+ed2x+1(x+1)1+x

25、x+1exexexex=dx+-dx=+c 1+x1+x1+xx+11sinxdcosx=dx=-（28）原式= 24sin2xcos4x(1sinxcos4x-cosx)cosxu=cosxdu(1-u2+u2)du11=-=-=-1-u2u4u41-u2u2 (1-u2)u41111-3111+u-(+)du=u+ln|+c 422uu1-u3u21-u11111+cosx=+ln|+c 33cosxcosx21-cosx=-（29）原式=4x=tx=t1t34tdt=4t2(1+t)3(1+t)31141-)dt=-+2+C 232(1+t)(1+t)1+t(1+t)- 100 - =4

26、(第三章 不定积分=+C u=tanxtanxsec2xtanxudu=tanx=（30）原式= 333tanx+1tanx+11+u1(u+1)(u+1)-u2-u+11u+111=du=-du ()（ （2 =-+-arctanx 2x2x1+x =-arctanx1x1+dx-dx-arctan2x 2xx21+x- 101 -=-arctanx11+ln|x|-ln(1+x2)-arctan2x+C x222x22x2x（34）原式=e(tanx+1+2tanx)dx=edtanx+2etanxdx =e2xtanx-2tanxe2xdx+2e2xtanxdx+C=e2xtanx+C（35）原式=-111lnx11lnxd()=-+ 222221+x2(1+x)x1+x1lnx11x+(-)dx 2221+x2x1+x1lnx11+ln|x|-ln(1+x2)+C =-221+x24 =-（36）原式=1+cos4xsinx=-2dcos2x+(cos2x)2=-ln(cos2x+cos4x)+c-x-1-(1-x)=-2,x-1（37）令f(x)=|1+x|-|1-x|=1+x-(1-x)=2x,-1x11+x-(x-1)=