行列式和矩阵从概念到运算的联系与区别╲t江兵兵

1、行列式与矩阵从概念到运算的联系与区别江兵兵（天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 74100）摘要：行列式与矩阵是两个相对独立的基本理论结果，是两个完全不同的概念，那么它们之间有着怎样的联系与区别，本文通过详细举例论证对行列式与矩阵从其概念的定义到有关运算方面的联系与区别做了详细说明，使读者对行列式与矩阵有了进一步的认识，达到灵活熟练的运用相关知识解决有关问题。关键字： 行列式；矩阵；概念；运算；转置 The determinant and the relationship and difference matrix from concept to operation Jiang Bing

2、bing(School of Mathematics and Statistics tianshui Normal University, Tianshui 74100)Abstract: determinant and matrix is basic theory of two relatively independent as a result, are two entirely different concepts, so the relationship and difference between them have how, for example demonstrated in

3、this article, through detailed determinant and matrix from the definition of the concept to the operation made detailed aspects of the relation and distinction between, make readers to have further understanding of the determinant and matrix, to achieve flexible use of related knowledge skilled to s

4、olve the problem.Key words: the determinant; Matrix; Concept; Calculations; transpose 引言1一 概念方面11 联系1矩阵概念的产生的观点来源于行列式22 区别2（1）定义方面相区别2表示方法5(2)矩阵的子式8有关区别101）加（减）法方面10(2)乘法方面10(3)数乘方面11转置方面12(5)变换方面相区别12【参考文献】13行列式和矩阵从概念到运算的联系与区别引言 行列式与矩阵是两个相对独立的基本理论结果，是两个不同的概念，但是我们在学习行列式与矩阵时，可以说一个行列式是几行几列的，也可以说一个矩阵是几

5、行几列的，可见矩阵与行列式之间是既有区别也有一定联系的.本文阐述矩阵与行列式相关概念以及运算方面的规律，并对知识点列举一定的典型例题，通过分析总结，归纳出矩阵与行列式从概念性质到运算方面的联系与区别。一 概念方面1 联系 （1）由矩阵概念可推广得到行列式的概念 由个数(i=1,2,.m,j=1,2,.n)排成行列的数表称为行列矩阵，简称矩阵，记为 其中数称为矩阵位于行列处的元素，矩阵可简记为.当时，称为阶方程或是阶矩阵.这时有 =其中阶行列式 称为矩阵的行列式，记作或者det.矩阵概念的产生的观点来源于行列式 凯雷是公认的矩阵论创始人，他在1955年一篇文章中谈到矩阵概念的起源，说“我绝不是通

6、过四元数而获得矩阵概念的；它或是从行列式的概念而来，或是作为方程组 的表达式而来的。”可见，行列式理论对矩阵理论的产生和发展起促进作用，矩阵概念产生的一种观点就是来源于行列式。 凯雷给出了逆矩阵的定义：设，则A的逆矩阵，其中是矩阵的行列式。可见，逆矩阵的原始定义是离不开行列式的。 由此可见，矩阵理论得以迅速发展，其原因之一就在于矩阵与行列式的密切关系.2 区别 （1）定义方面相区别 行列式的相关定义对于二元线性方程组，用消元法来解这个方程组可得 ，当 时，此方程组有唯一解，即 ， ，我们称为二阶行列式，用符号表示为 二阶行列式是2！项的代数和，其中每一项是位于不同行，不同列的元素的乘积，把这两

7、个元素按行指标的自然序列排好，其列指标所成排列是偶排列时，该项为正；奇排列时为负。于是二阶行列式 阶行列式 是n！项的代数和，其中每一项都是位于不同行不同列元素的乘积，把这n个元素以行指标为自然序列排好位置，当列指标构成的排列是偶排列时，该项为正；是奇排列时，该项为负，即其中是元排列，表示对所有元排列求和.上式称为n阶行列式的完全展开式。 综上所述，阶行列式是按一定顺序排成的行列元素按照某一个特定的规则确定的项的代数和，归根结低是一个数.矩阵的相关定义在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针方向的转轴),那么平面直角坐标变换的公式为 其中为轴与轴的夹角，显然新旧坐标之间的关系

8、完全通过系数所所排成的矩阵 表示出来。 在空间的情形，保持原点不动的坐标系的变换公式是 同样，矩阵 就称为坐标变换的矩阵。有个数排成行列的数表称为行列矩阵，简称矩阵，记为 其中数称为矩阵位于i行j列处的元素，矩阵可简记为. 综上所述，矩阵是个数按一定方式排成的行列数表，归根结底是一个数表.表示方法 根据行列式的定义知，书写行列式时在数表的两端加；书写矩阵时在数表两端加或.例， 表示行列式. 表示矩阵. (3)行数和列数的关系根据行列式的定义知，行列式中行数和列数必须相同，即行数必须等于列数，正因为如此，所以将行列式称为阶行列式，即为行列式中的行数或列数。由矩阵的定义知，矩阵中行数和列数无丝毫关

9、系，即行数和列数可以相同，也可以不同.例， 如果此数表要称为行列式，则必须m等于n;如果m不等于n,则此数表无意义. 这个数表被称为m行n列矩阵，这里m与n可以相等，也可以不等. （4）比较大小方面 根据行列式的定义知，因为行列式是一个数，任意两个数之间可以比较大小，所以说任意两个行列式也可以比较大小。由矩阵的定义知，矩阵是由多个数排成的数表，因为任意两个数表之间无法比较大小，所以说矩阵之间是无法比较大小的。例如， A=-6 ， B=-9 ，比较可知，行列式A大于行列式B。而对于 A= ， B= ，矩阵与矩阵之间无法比较大小. (5)相等关系方面 根据行列式的定义知，行列式可以最终确定为一个数

10、，因此表面上看似两个完全不同的行列式有可能是相等的，故判断两个行列式是否相等，绝对不能凭主观想象，而是要根据最终得到的具体的数来判定.由矩阵的定义知，矩阵是由许多个数排成的数表，故两个矩阵当且仅当表面上完全一致时才叫相等，因此说两个零矩阵也并不完全相等.例如， =2， =2， 由此可知，两个表面看似不相同的行列式与却是相等的.而对于 =， =， 其中矩阵和矩阵都是零矩阵，但他们是两个完全不相同的数表. 二 运算方面 1 联系 （1）方阵的行列式 对任何一个行数等于列数的矩阵，即方阵，我们可以求此方阵的行列式，叫方阵的行列式，书写方式与行列式完全相同，利用它可以判断方阵是否可逆，即逆运算.例，判

11、断 A=，此矩阵是否可逆？ 解：因为 =20，由此可知矩阵是可逆的. (2)矩阵的子式 对任意矩阵，任取行列,按元顺序排列的一个方阵，可求此方阵的行列式，叫做A的k阶子式，利用它可判断A的秩等一些性质.例如，设 =， 取定的第行第列，相交处元素可构成一阶子式；取定的第行，第列，可得一个二阶子式 = -10，对于A的所有三阶子式，因为 =0， =0， =0， =0， 由此可知，矩阵的秩为，记作.有关区别 1）加（减）法方面由定义，对于行列式来说是一个确定的数，所以任何两个行列式都可以进行相加减。对于矩阵来说，当且仅当两个同型矩阵（行数和列数都相同的矩阵）才可以进行相加减，并且是对应元素的相加减.

12、例如， =， ， +=+, A=， B=， A+B=+=， (2)乘法方面 任何两个行列式都可以相乘（数的相乘），最终结果是一个数。如果两个矩阵相乘就需要满足左边矩阵的列数要等于右边矩阵的行数，最终结果是一个新的矩阵，不仅矩阵的元素是新的，并且在类型上也有新的变化，得到新矩阵的行数等于原有左边矩阵的行数，列数等于原有右边矩阵的列数.例如， =， =， ×=× =， =， =×=（1×2 +2×1 1×1 +2×1 1×1 +2×2） =（4 3 5）注： 是无意义的.(3)数乘方面行列式的数乘等于数乘以这

13、个行列式的某一行或者数乘以这个行列式的某一列.对于矩阵来说，数乘等于数乘以这个矩阵中的每一个元素.例如， = =或者 = =15而对于矩阵来说 =转置方面对于行列式来说，转置后行列式的最终结果与原行列式的最终结果相等；对于矩阵来说，转置后的矩阵与原矩阵不一定相等，要视具体情况而定。例如， =5 =5由此说明与最终结果是相等的.而对于矩阵来说 =, 显然，矩阵与是两个完全不同的数表.注：并不是所有矩阵与它的转置不相同，例如特殊情况下 (5)变换方面相区别 利用行列式的性质可以对行列式进行一些恒等变换，恒等变换的两个行列式之间用“=”连接，行列式经过恒等变换后，计算更加简便；矩阵中也可以进行一些初

14、等变换，变换过程中的两个矩阵之间要用“”连接，矩阵经过初等变换，可以得到一种特殊矩阵，如对角矩阵。例如， =-1而对于矩阵来说 结束语 以上是行列式与矩阵从概念到性质的有关联系与区别的具体阐述，通过对行列式与矩阵的对比学习，可以更加熟练的掌握二者的概念性质及其算法，达到事半功倍的效果. 【参考文献】1白芬兰.高等代数.清华大学出版,2012.82丘维声.大学高等代数课程创新教材.高等代数（上册).清华大学出版社3王青梅.浅谈“行列式”与“矩阵”区别和联系j.太原城市职业技术学 报.2006（6）155-1564卜玉成.线性行列式与矩阵的辩证关系A.镇江高等学报.文章编号，10 08-8148（2008）1010051-035王萼芳，石生明.高等代数（第三版).高等教育出版社 ,20036同济大学数学系.工程数学·线性代数（第五版).高等教育，2007 7王卿文.线性代数核心思想及应用.科学出版社,20128中外数学简史编写组.外国数学简史.上东教育出版社,1987致谢在两个多月的课题研究和论文撰写过程中，我非常感谢我的指导教师李明图老师。无论是在课题立项