FFT 信号谱分析

1、3.4 DFT 的含义下面通过一个例子来说明离散傅里叶变换的含义。假设有一模拟信号包含了1kHz 和2kHz 频率成分,对该信号进行8点的采样,并进行DFT 分析。该连续信号可由下式表示:(in t cos 210000.5cos 220004x t t =×+×+ (3.40 在该式中我们将2kHz 的余弦波相对于1kHz 的正弦波进行了/4的相移,在后面的结果中我们会看到这两个信号相位的差别。按照采样间隔为1/s f =s T 秒的采样间隔对输入信号进行采样。由于是8点采样,我们需要对8个输入样点值来实现DFT ,这8个样点值的序列x(n等于在n s T 瞬间采样得到的

2、(in x t ,即x(n=in x (n s T = cos(21000s nT ×+0.5cos(22000/4s nT ×+ (3.41 在该例中我们选择8s f KHz =的采样率,由式(3.41,8个输入采样点的样值x (n分别为x (0 = 1.3535 x (1 = 0.3535x (2 = -0.3535 x (3 = -0.3535x(4 = -0.6464 x(5 = -1.0607 (3.42 x (6 =-0.3535 x (7 = 1.0607在图3.7 (a中用实连线(in x t 上的点标出了这8个x (n的样值,其中的两条虚线分别是在式(3.

3、41中的两个余弦项,它们的和等于(in x t 。我们知道,离散傅里叶变换在频域的离散序列X (K的定义为(12/n 0(N j nk N X K x n e = (3.43 根据欧拉公式,式(3.43等价于(1n 0(cos(2/sin(2/N X K x n nk N j nk N = (3.44这里我们将式(3.43中的复指数分解为实部和虚部,其中x (n = 输入样点序列,是时域的采样点。N = 输入序列的样点数和DFT 输出序列的频率点个数。X (k = 第k 个DFT 的输出,如X (0,X (1,X (2 等。它所代表的频点为s kf f N =。比如X (0代表的频点为00s

4、s kf f f N N =,即零频分量,也就是信号的直流分量。 X (1代表的频点是1s s s kf f f f N N N =。 需要说明的是,DFT 的输出是一组复数,即使输入的是实信号。一个复数可以写成幅度和相位的形式。现在我们使用式(3.44来计算x (n的DFT 。当k = 0时(1n 00(cos(0sin(0N X x n j = (3.45 即(1n 00(N X x n = (3.46由此可知X (0是x (n的N 个数值的和,并且正比于x (n的平均值。因此X (0是x (n不随时间变化的直流分量。根据式(3.46的计算结果可以得出1n 0(0N x n =,说明输入序

5、列没有直流分量,即X (0=0。此结果同样可以通过式(3.43计算得出。下面我们就通过k = 1的情况来对这个计算过程进行讲述。当k = 1时,式(3.45的DFT 频率项变为(701(cos(2/8(sin(2/8n X x n n jx n n = (3.47我们使用x (n乘以第一个分析频率的正弦和余弦曲线上连续点的值,x (n 以8个输入点为一个周期。频率为1KHz 的正弦波和余弦波曲线分别在图3.7 (b中以虚线表示。此时的正弦曲线和余弦曲线在采样长度内都有一个完整周期。接下来我们将在式(3.41中得到的x (n样点值代入式(3.44,其计算结果如下X (1=1.3535×

6、1 -j(1.3535×0+0.3535×0.707 -j(0.3535×0.707- 0.3535×0 -j (-0.3535×1+0.3535×0.707 -j(-0.3535×0.707+0.6464×1 -j (-0.6464 ×0+1.0607×0.707 -j (1.0607×0.707-0.3535×0 -j (0.3535×1+1.0607 ×0.707 -j(-1.0607×0.707=1.3535 +j0+ 0.25 -j0.

7、25+0 +j0.3535+0.25 +j0.25+0.6464 +j0+0.75 -j0.75+0 -j0.3535+0.75 +j0.75= 4.0 j0 .0=40o从上面的数据可以看出,输入x (n中包含有频率为1KHz 的信号成分。在下图3.7(a 中我们使用实连续曲线表示(in x t ,并在曲线上标出了8个x (n的样值,虚线和点划线分别表示(0.5cos 22000/4t ×+和(cos 21000t ×两个余弦波。在图3.7(b图3.7(h中,虚线和点划线根据k 值的变化,分别表示sin(2nk/8和cos(2nk/8两条曲线。 (a输入信号 (b输入信号

8、和k=1的正弦曲线 (c输入信号和k=2的正弦曲线 (d输入信号和k=3的正弦曲线 (e输入信号和k=4的正弦曲线 (f输入信号和k=5的正弦曲线 (g输入信号和k=6的正弦曲线 (h输入信号和k=7的正弦曲线图3.7 DFT举例 图3.8 DFT结果对于k = 2的频率的输出项,将x(n与2KHz的正弦波和余弦波进行相关。它们分别在图3.7 (c中以虚线表示,此时的正弦波和余弦波具有两个完整的周期。同计算k = 1的方法一样,我们将k = 2代入到代入式(3.44 ,可以得到(2 1.414 1.414245=+=oX j对于k=3,k=7的情况,我们可以分别根据式(3.44计算得出,结果如

9、下X (3 = 0.0-j0.0=00oX (4 = 0.0-j0.0=00oX (5 = 0.0-j0.0= 00ooX (6 = 1.414-j1.414=245X (7 = 4.0-j0.0=40o通过将X (k的输出幅度表示成频率的函数,我们能够得到输入序列x (n的幅度谱,如图3.8(a所示。同时X (k输出项的相位角也在图3.8(c中表示了出来。从这个8点DFT的例子中我们能够看出DFT的两个非常重要的特征,第一,单个X (k的输出值只不过是项与项的乘积之和,是一个输入采样序列与在N个样点总长度上有k个周期的正弦波和余弦波的相关。第二,当DFT得输入样值为实数时,DFT的输出项总是

10、对称的。从图3.8的DFT结果中可以看出,信号的三个参数:频率、幅度、初始相位都包含在了DFT的结果中。我们假设的输入信号仅仅包含1KHz和2KHz两个信号。在DFT的结果中,X (1和X (2两个点出现了峰值,表明输入信号中包含着两个点的频率分量,分别代表1KHz和2KHz。DFT结果中第6点和7点的值是由于实信号频谱的对称性造成的。从信号的初始相位上看,它们分别是0和/4,这也反映在了DFT 结果X (1和X (2两个复数中,两个复数的相位分别是0和/4。在从幅度上看,信号幅度分别是1和0.5,相差两倍。而DFT 结果X (1和X (2两个复数中的幅度是4和2,也相差两倍,其数字上比原信号

11、幅度增加了4倍,这就是DFT 的增益。对于实信号来讲DFT 的增益等于/2N ,N 是DFT 的点数。对于复信号来讲,它的频谱是单边谱,DFT 的增益等于N 。需要说明的是,这个例子中的数据都是经过精心选取的,两个信号1KHz 、2KHz 和采样率8KHz ,这样信号一个周期正好采集8个点和4个点。我们选取了8个采样点做DFT ,这8个点正好包含了1KHz 信号的一个整周期,2KHz 信号的二个整周期。因此这个DFT 正好符合整周期采样的条件,所以结果才正好如上述。如果调整采样点数,比如采集9个点,做9点的DFT 再做同样的分析,结果就会出现误差。虽然例题中参数是特殊选定,但并不影响我们的分析

12、结论,只是排除了误差因素,使得结果更加明显和容易理解。3.5 信号的谱分析对信号进行谱分析实际就是对信号进行傅里叶变换,在频域观察信号的频域特征。当然,为了能够使用计算机进行分析,这里的信号及其频谱都是离散化的。从时域到频域我们用的最常用的方法是做离散傅里叶变换,也就是做FFT 变换。假设(a x t 是一个连续信号,其最高频率为c f ,要对其进行谱分析。首先确定采样率s f ,按照采样定理,2s c f f ,采样周期1s T f =。接着我们要确定时域的采样时间p T ,也就是采样的点数N ,在采样率一定的条件下,采样时间和点数是相互关联的。s p N f T = (3.48采样时间的确

13、定要根据对谱分析精度的要求确定。假设需要的谱分析精度为F ,可以证明,信号的采样时间p T 至少要1/p T F = (3.49 从上述公式可以看出,谱分析的精度只和时域采样的时间长度是有关系的,和FFT 的点数是没有关系的。例 用计算机对实数序列做谱分析,要求频谱分辨率F<50Hz ,信号的最高频率为2K ,试确定以下参数:(1 最低采样频率? (2 最小的采样时间? (3 最少的采样点数?(4 在信号频带宽度不变的情况下,要将频谱的分辨率提高一倍,可以采取哪些措施? 解:(1 最低采样率2s c f f =4KHz 。(2 最小的采样时间 1/p T F = 0.02秒。(3 最少的

14、采样点数 4*0.02N KHz s = 80点。(4 若使谱分辨率提高一倍,即F1 < 25Hz ,采样时间要增加一倍,1/1p T F = 0.04秒。采样率不变,采样点数也要相应的增加一倍,即160点。在实际工作中使用DFT 来对连续信号和数字信号的频谱进行分析时,需要将连续信号采样和截断,这会导致一定程度的分析误差。我们知道,N 点DFT 是在 0, 2区间上对时域的离散信号的频谱进行N 点等间隔采样,但是采样点之间的频谱函数不能够直接看到。这种现象称作为栅栏效应。栅栏效应可能会挡住大的频谱分量,为了把原来被挡住的频谱分量检测出来,可以在有限长序列的尾部补零,而对于无限长序列的情

15、况,可以增大截取长度及DFT 变换区间的长度,减小频域采样间隔,同时增加频域采样点数,以此来检测出漏掉的频谱分量。为了使用DFT 对可能遇到的无限长序列x(n进行谱分析,我们需要对其截短,形成有限长序列y (n =x (n w (n ,w (n 称为窗函数,长度为N 。w (n =R N (n , 称为矩形窗函数。根据傅里叶变换的频域卷积定理,有=(j j j j j d e (e (21e (e (21(FT e (W X W X n y Y 其中 j j (e FT(,(e FT(X x n W w n =对矩形窗数w (n =R N (n ,有1j j j (2g sin(/2(e FT

16、(e (e sin(/2N w N W w n W =幅度谱Wg(曲线如图3.9所示,其中Wg(以2为周期,图中只表示出低频部分。|<2/N 的部分称为主瓣,其余部分称为旁瓣。 N N图3.9 矩形窗函数的幅度谱例如,x (n =cos(0n ,0=3/4, 其频谱为=+=l l l X 243243e (j x (n 的频谱X N (e j 如图3.10(a所示。将x (n 截断后,y (n =x (n R N (n 的幅频曲线如图3.10(b所示。 (a (b图3.10 3cos 4n 加矩形窗前、后的频谱 由上图我们可以看出,x(n的频谱经过截断后,原离散谱线向附近展宽,通常称这种

17、展宽现象为泄露。泄漏的产生使得频谱变模糊,使谱分辨率降低。同时在主谱线两边所形成的众多旁瓣也影响了频谱分辨率,特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线,或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的谱线而造成假信号,导致频谱分析产生较大误差。频谱的泄露是由于信号的截断引起的,信号截断对信号的频谱造成了两个重要的影响:1 信号的主瓣展宽,不再是单一的一个谱线。2 产生了旁瓣的泄露。对信号进行加窗以后,在频域的效果是降低了信号泄露的旁瓣幅度,同时信号的主瓣宽度展宽。不同的窗函数对信号谱分析的影响,大家通过做最后一章的实验,就可以得到深刻的体会,这里不再多讲。在我们进行信号的谱分析中,任何信号都是有限的,

18、因此即使你没有刻意的进行加床处理,那么信号的时域截断其实就是对信号加了矩形窗。f=32000点/秒的下面我们通过另外一个例子来说明栅栏效应对谱分析的影响。假设以s采样率对一个频率为7kHz、具有单位振幅的实正弦曲线进行采样,采32个样点并进行DFT,则DFT的频谱分辨率为/s f N=32000/32Hz=1.0kHz。将输入的正弦谱曲线中心定在频率等于7kHz 的点上,这样我们可以估计出DFT的幅度响应,如图3.11(a所示,图中的点表示DFT输出频率单元上的幅度。 (a DFT输入频率为7.0kHz (b DFT 输入频率为7.5kHz (c DFT 输入频率为7.75kHz图3.11 DFT 频率单元上的正的频率响应需要注意的是,DFT 输出的是图a 中连续谱曲线的采样,这些采样点在频域位于s kf N 处,如图3.11(a中的点所示。由于输入信号频率正好在DFT 的频率单元的中心,所以DFT 结果只有一个非零值,也就是说,当输入的正弦波在N 个时域输出采样点上具有整数倍周期时,DFT 输出正好落在连续谱曲线上的峰值和零值点上。在上一节中理解DFT 中,所举的例子正符合这个条件,这种情况也叫整周期采样。在这种条件下,由于采样的关系,我们看不到旁瓣的存在,但是不等于说没有产生泄漏,如果增加频域采样点数,例如在原来的32点数据的后面再补上32个零,做6