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1、理科数学学习报告2椭圆的几何性质拓展班级：209 姓名：张祺媛 评定： 1、 椭圆的切线方程：若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：。对于这个公理，网上的证明过程涉及到了求导。但我想，用我们现在的知识，也能解决。方法一是我的证明方法，方法二是网上的方法。在后面证明椭圆的光学性质时，会用到这个公理。证明：方法一：【类比圆的切线方程求法，来求椭圆的切线方程。】 解：设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1 ，过p(x0，y0)的点的方程为(x-x0)2a2+(y-y0)2b2=0 -x2a2+y2b2-(x-x0)2a2+(y-y0)2b2=1-0x2-(x-x0)2a2+y2-(y-y0)2

2、b2=1(x0)(x+x-x0)a2+y0(y+y-y0)b2=1由可知，x-x0=0，y-y0=0 代入上式（非负数和为0，每个式子都为0）椭圆的切线方程为：x0xa2+y0yb2=1方法二：当时，过点的切线斜率一定存在，且对式求导：切线方程为点在椭圆上，故 代入得而当时， 切线方程为，也满足式故是椭圆过点的切线方程.2、 椭圆的光学性质图1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。（如右图1）证明：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率到所成的角满足在椭圆上同理，到所成的角满足，而椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如

3、在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。3、 椭圆焦点三角形的面积公式在椭圆（0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，则.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.4、 小结椭圆双曲线抛物线标准方程x2a2+y2b2=1x2a2-y2b2=1y2=2px切线方程x0xa2+y0yb2=1x0xa2-y0yb2=1y0y=p(x0+x)光学性质·图1.3F2··F1图1.2··AF1F2DO图1.1B从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。应用圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯、卫星通讯、太

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