多元函数微分法及其应用ppt课件

1、8 81 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等.在无特别声明时, 总用X, Y 等表R2, R3中的点(向量). 用x, y, z, a, b, c 等表实数.2. 由于有多种乘积使用记号 , 因而, 阅读教材时, 应注意区别 a, A P, X B 的含意. 对 + 也类似.所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.圆柱体体积圆柱体体积 V =

2、r 2 h体积 V 随 r, h的变化而变化. 一对数(r, h), 就有唯一的一个V与之对应.或者说, 任给长方体体积长方体体积 V = xyzV 随 x, y, z 的变化而变化. 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应.或者说, 任给这些都是多元函数的例子. 有二个自变量的称为二元函数. 有三个自变量的称为三元函数, , 有 n 个自变量的称为 n 元函数.与一元函数类似, 我们有二元函数定义二元函数定义设 D 是 xy 平面上的一个点集,即 D R2, 若对任意的点 X = (x, y)D R2, 按照某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是

3、定义在 D 上的二元实值函数, 记作f : D R, X = (x, y) z .称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作 f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值.称 D 为函数 f 的定义域. D 在 f 下的像集 f (D)= f (X )| XD 称为 f 的值域.习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y 为自变量, z 为因变量.比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey .f (x, y) 的表达式, 算

4、f (x0, y0) 的方法与一元函数类似.另外, 若给出了g事实上, x D 上的点 (x, g(x) = (x, y) z .f= f (x, g(x)成为一元函数成为一元函数.则二元函数 z = f (x, y)事实上, z = f (x) = f (x) + 0 y只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩充为R2 中点集即可.注注2, 注注3说明二元函数是一元函数的推说明二元函数是一元函数的推广广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形而一元函数则是二元函数的特殊情形. 一一元函数是定义在元函数是定义在 xy 面上一条直线面上一条直线(x 轴轴)上的上的二元函数二元函数.类似的类似的,

5、 有有 n 元函数定义元函数定义.设D Rn , 若对任意的 X = (x1, x2, , xn) D Rn , 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数. 记作f : D R , X = (x1, x2, , xn) z .并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, , xn).定定 义义x + y 0. 故 定义域 D = (x, y)| x + y 0画直线 y1 = x. 由于 D 中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y1 = x 上点的纵坐标 y1, 故 D 表示直线 y1 = x 上方点

6、的集合. (不包括边界y1 = x上的点)为画 D 的图形, 由x + y 0, 得 y x = (y1).x + y = 0 xyo如图y xD(不包括直线x + y = 0). .122的图形并画的定义域求DDyxz1 , 012222yxyx即故1| ),(22yxyxD.),(22的距离到原点表示点由于oyxyx 故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括圆周). xyox2 + y2 = 1122 yx(包括圆周)D以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.即),(0X)()(| ),(2020yyxxyx

7、| | ),(0XXyxX记 (X0, ) = U (X0, ) X0 , 称为 X0 的去心 邻域.如图),(0X记作X0X0U (X0, ) (X0, ) 当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 (X0).设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0 为 E 的内点.E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.,122为单位圆盘的定义域比如DyxzD = (x, y)| x2 + y2 1 如图xyox2 + y2 = 111D易知易知, 圆内部的每一点都是圆内部的每一点都是 D 的内点的内点. 但但圆周上的点不是圆

8、周上的点不是 D 的内点的内点.x + y = 0 xy0如图D又如 z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,但直线上的点不是D的内点.设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 假设 X0的任何邻域 U(X0 , )内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为 E 的边界点.E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E.如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图x

9、yo11x2 + y2 = 1Dx + y = 0 xyoE 的边界点可以是的边界点可以是 E 中的点中的点, 也可以不是也可以不是 E 中的点中的点.D设 E 是一平面点集, 假设 E 中每一点都是 E 的内点.即 E E0, 则称 E 是一个开集. 由于总有 E0 E, 因而, E E0 E = E0故也可说, 比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是开集.若E = E0 , 则称 E 是一个开集.规定, , R2为开集.xyoE又比如, E 如图假设假设 E 不包含边界不包含边界, 那么那么 E 为为开集开集. 假设假设 E 包含边界包含边界, 那么那么 E

10、 不是不是开集开集. 必要性必要性. . 设设 E E 为开集为开集, , X X E,E,由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点.充分性充分性. . 假设假设 E E 中每一点都不是中每一点都不是 E E 的边的边界点界点. . 要证 E 为开集. X E,由于 X 不是 E 的边界点. 故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X, )内或者全是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两者必居其一. 由于X E, 故后一情形不会发生.因而, U(X, )内必全是 E 中的点. 故 X E0, 即, E E0 , 所以 E 是开集.设 E 是一非空平面点集

11、, 假设X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图XYE 连通YXE 不连通从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.例1, 2中的 D 都是连通集. 如图x + y = 0 xyoxyo11x2 + y2 = 1设 E 是一平面点集. 比如, 例1中 D 是开区域. 如图. E 从几何上看, 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.假设 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.假设 E 是开域, 记EEEEE0称为闭区域.如图. E 易见, 例2中的 D 是闭区域. 从几何上看, 闭区域是连成一片

12、的. 包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.8. 设 E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 则称 E 为有界集. 否则称 E 为无界集.易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于 E . 则称 X0 是E 的一个聚点.从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点. 即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.X0如图1. 聚点定义也可叙述为: 假设 X0 的任一邻域内至少含有 E

13、 中一个异于 X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证).2. E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E .3. E 的内点一定是 E 的聚点.4. 假设 E 是开区域. 那么 E 中每一点都是 E 的聚点. .的聚点中每一点都是则为闭区域若EEEEE.的聚点从而是E即, 区域中的任一点都是该区域的聚点.一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 那么 E 的边界点一定是 E 的聚点, 自证.设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D .按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空

14、间一个点 M (x, y, z). 当 X 在 D 中变动时, 点 M (x, y, z)在空间中变动, 当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中 织 出一片曲面.即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xy 面上的投影区域.XDM (x, y, z)yxzoz = f (X) = f (x, y)如 z = ax +by + c , 表平面.222表表上上半半球球面面yxaz.222表表下下半半球球面面yxaz注意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 R3 的一个子集.三元函数无几何意义.8 81 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念

15、回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),)(lim0Axfxx所谓当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0语言表示用Axfxx就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.MX

16、0Ayzxof (X)类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 0, 0, 当, )()(2020时yyxx对应的函数值满足| f (X) A | 则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限.记作,)(lim0AXfXX或,),(lim00Ayxfyyxx也可记作 f (X) A(X X0), 或, f (x, y) A (x x0, y y0 ) | 00XX 若D是一区域. 则只须要求,0DDDX就可保证 X0 是D的一个聚点.另外, 0 |X X0 | 0, 22|)0 , 0(|0yxX 时, 有 | f (x, y) 0 |

17、0, 使得当要使 | f (x, y) 0 | , 只须222yx222 yx即有时则当取, |)0 , 0(|,2 22yxX| f (x, y) 0 | 01sinlim00yxxyyx故例例2. 设设f (x, y) = ,0 ,2222时当yxyxxy,0 , 022时当 yx证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证证: 由注由注2知知, 只须证明当只须证明当X 沿不同的线路趋沿不同的线路趋于于(0, 0)时时, 函数函数f (x, y)对应的极限也不同对应的极限也不同即可即可.考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值22

18、),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限),(lim0yxfkxyx21kk当 k 不同时, 极限也不同. 因而, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.)1 (lim2220kxkxx),(lim00yxfyx沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 000lim20 xx沿 y 轴, x = 0. 函数极限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此断定该二重极限为0 (注

19、2).)()(lim 00XfXfXX若设 z = f (X) = f (x, y), 在区域D上有定义.则称 f (X) 在 X0 连续, X0 称为 f (X) 的连续点. 否则称 f (X) 在 X0 连续, X0 称为 f (X) 的间断点. X = (x, y) D, X0 = (x0, y0) D, 假设假设 f (X) 在在 D 上每一点都连续上每一点都连续, 则称则称 f (X) 在在 D 上连续上连续, 记为记为 f (X) C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)连续(极限不存在), 上在直线中例01sin),( ,1yxyxxyyxf每一点都间断.注注1. 二元函数二元函数 f (X)在在 X0 连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件. 在在 X0 有定义有定义, 在在 X0 的极限存在的极限存在, 两者相等两者相等, 2. 多元连续函数的和多元连续函数的和, 差差, 积积, 商商(分母不为分母不为0)以以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数及多元连续函数的复合仍是多元连续函数. 定义可推广到三元以上函数中去.3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以 x, y, z, 为自变量的基本初等函数 f (x), (y), g(z