第一节二重积分概念ppt课件

1、第十章第十章 重积分重积分二重积分及其计算二重积分及其计算重积分的应用重积分的应用三重积分及其计算三重积分及其计算上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 二重积分二重积分三重积分三重积分 重积分应用重积分应用定积分定积分重积分重积分二元函数在平面区域上的积分二元函数在平面区域上的积分三元函数在空间区域上的积分三元函数在空间区域上的积分：一元函数在直线段上的积分：一元函数在直线段上的积分v 问题的提出问题的提出v 二重积分的性质二重积分的性质第九章第九章 重积分重积分上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质v 二重积

2、分的概念二重积分的概念曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面底为底为 xoy 面上区域面上区域D，侧面是以，侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行的边界曲线为准线而母线平行于于z轴的柱面，顶为曲面轴的柱面，顶为曲面z=f(x,y )的立体的立体D上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面（分割区域（分割区域 D, 化整为零）化整为零）x0yz（局部以平代曲（局部以平代曲, 求局部体积求局部体积的近似值）的近似值）Di),(iiiiiifV),( （1分割分割（2近似近似（3求和求和 （积零为整）（积零为整）上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 12n

3、 , ,i（既表示小区域，既表示小区域，也表示其面积）也表示其面积）顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面x0yzDi),(ii（3求和求和 niiiifV1),(（4） 取极限取极限 niiiif10),(limV =（分割区域（分割区域 D, 化整为零）化整为零）（局部以平代曲（局部以平代曲, 求局部体积求局部体积的近似值）的近似值）iiiifV),( （1分割分割（2近似近似（积零为整）（积零为整）上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面x0yzDi),(ii（3求和求和 niiiifV1),(（4） 取极限取极限 niiiif10),(limV =（分割区域（分割区域

4、 D, 化整为零）化整为零）（局部以平代曲（局部以平代曲, 求局部体积求局部体积的近似值）的近似值）iiiifV),( （1分割分割（2近似近似（积零为整）（积零为整）上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 x0yz（3求和求和 niiiifV1),(（4） 取极限取极限 niiiif10),(limV =（分割区域（分割区域 D, 化整为零）化整为零）（局部以平代曲（局部以平代曲, 求局部体积求局部体积的近似值）的近似值）iiiifV),( （1分割分割（2近似近似（积零为整）（积零为整）上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 求平面薄片的质量求平面薄片的质量xyo 设有一平面薄片，占有设有

5、一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点求平面薄片的质量求平面薄片的质量. .),(yx处的面密度为处的面密度为),(yxr r，假定，假定),(yxr r在在D D上连续，上连续，（1分割分割 （分割区域（分割区域 D, 化整为零）化整为零）i( , )ii （2近似近似将非均匀小薄片近似看作均匀小薄片，将非均匀小薄片近似看作均匀小薄片， iiim(, ) 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 12n , ,i（既表示小区域，既表示小区域，也表示其面积）也表示其面积）.),(lim10iiniiM r r （3求和求和 （积零为整）（积零为整） niiiM1),(（4

6、） 取极限取极限上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 两个问题的共性：两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同：解决问题的步骤相同：(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同分割、近似、求和、分割、近似、求和、 取极限取极限 nkkkkfV10),(lim nkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 定义定义),(yxf设设将区域将区域 D 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk 任取点任取点,),(kkk 若存在常数若存在常数 I , 使得使得 nkkkkfI10),(lim可积可积

7、, ),(yxf则称则称( , )dDf x y ),(yxfI为为称称在在D上的二重积分上的二重积分.称为积分变量称为积分变量yx,积分和积分和 Dyxfd),(积分区域积分区域被积函数被积函数被积表达式被积表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数. 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当被积函数当被积函数f (x,y)在积分区域在积分区域D上连续时，二重上连续时，二重积分必存在积分必存在. . (3) 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来

8、划分在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分面积元素为面积元素为dxdyd xyo故二重积分可写为故二重积分可写为 DDdxdyyxfdyxf),(),(区域区域 D D，,kkkyx 这时这时因而，在直角坐标系下，因而，在直角坐标系下，上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄板的质量平面薄板的质量:由二重积分定义知：由二重积分定义知： DyxyxfVdd),(上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 DyxyxMdd),( 当当f (x , y) 0时，二重积分是曲顶柱体的体积时，二重积分是曲顶柱体的体积 当当f (x , y)0时，二重积分是曲顶柱体的体积的

9、负值时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值 若若f (x , y在区域内有正有负在区域内有正有负, 二重积分是二重积分是xoy 面上方面上方曲顶柱体的体积与下方曲顶柱体的体积的差值曲顶柱体的体积与下方曲顶柱体的体积的差值上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）以上两性质统称为线性性质以上两性质统称为线性性质.上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 性质性质对区域具有可加性对区域具有

10、可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf性质性质 假设假设 为为D D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 则有则有，则则无无公公共共内内点点且且若若2121,DDDDD 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 性质性质 （估值定理）（估值定理）性质二重积分中值定理）性质二重积分中值定理）设设M、m 分别是分别是f (x , y在闭区域在闭区域 D 上的最大值上的最大值和最小值，和最小值， s 为为D的面积，那么的面积，那么 fdyxfD

11、 ),(),(设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域 D上连续，上连续，s 为为D的面积，的面积，则在则在D D上至少存在一点上至少存在一点x ,h x ,h ），使得），使得MdyxfmD ),(上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 由性质由性质6 可知可知,( , )dDmf x yM 由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点，D ),(1( ,)( , )dDf f x y ( , )d( ,)Df x yf 使得使得因而因而上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 证证:因为函数因为函数 f (x, y)在闭区域在闭区域 D上连续，上连续，所以函数所以函数 f (

12、x, y)在闭区域在闭区域 D上有最大值上有最大值M和最小值和最小值m，1( , )dDmf x yM xyoD),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , 若若(2)( ,)( , ),f xyf x y 若若(1)( ,)( , ),f xyf x y ( , )dDf x y ( , )d0Df x y 1D在区域在区域 D 上上12( , )dDf x y 在闭区域在闭区域D上连续上连续, D 关于关于x 轴对称轴对称,那么那么那么那么上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 f(x,y)关于关于y 为偶函数，为偶函数，f(x,y)关于关于y 为奇函数，为奇函数，设

13、函数设函数D1D上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 xyo),(yxf在闭区域在闭区域D上连续上连续, D 关于关于 y 轴对称轴对称, D 位于位于 y 轴右方的部分为轴右方的部分为D1 。同理，若函数同理，若函数在区域在区域 D 上上若若(1)(, )( , ),fx yf x y ( , )d0Df x y 那么那么f(x,y)关于关于x 为奇函数，为奇函数，若若(2)(, )( , ),fx yf x y ( , )dDf x y 12( , )dDf x y 那么那么f(x,y)关于关于x 为偶函数，为偶函数，在第一象限部分在第一象限部分, 1:,221 yxDD 为为圆圆域域设设例例如如 Dyxyxdd)(22 Dyxyxdd)( 1dd)(422Dyxyx0 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 Dxdxdy Dydxdy那么那么又又估计积分估计积分 的值，的值，016I ，20 x. 20 y，40 xy其中其中D是矩形域是矩形域所以所以，40 yx，）（40 yxxy，4 yxxyyxDd dd d) )( ( 4044 即：即：yxxyyxIDd dd d) )( ( 上页上页 下页下页 返回返回 完毕