第一章微积分学的理论基础第二节数列的极限ppt课件

1、Mathematics Laboratory阮小娥博士一元函数微积分与一元函数微积分与无穷级数无穷级数阮小娥教授Sept. 2019 数列极限的概念数列极限的概念 收敛数列的性质与极限运算法则收敛数列的性质与极限运算法则 数列收敛的判别准则数列收敛的判别准则第一章 微积分的理论基础第二节第二节 数列的极限数列的极限2课时）课时）1作业：作业：page34, A组组9(1)(3), 11(1)(2)(5)(7)(8)12(1), 13(1). 15.“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1割圆

2、术：割圆术：播放播放刘徽刘徽1、概念的引入、概念的引入第一部分第一部分 数列极限的概念数列极限的概念2R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS3（2 2截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1战国战国 中，惠施说：中，惠施说：42、数列的定义、数列的定义定义定义:按自然数按自然数,

3、 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n5注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21,

4、 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 6.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放3、数列的极限、数列的极限7问题问题1: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题2:“无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它? 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:8,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n

5、,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx9定义：定义：, ,不论它多么不论它多么是数列是数列 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e( (小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn时的一切时的一切nx不等式不等式e-axn都成立都成立 , ,那末就称常数那末就称常数anx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a。记为记为或或如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数

6、列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 Nnaxnaxnnlim10 x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使11数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.

7、例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：12例例2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但

8、不必要求最小的N., 0 13例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 14例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 01a取取.limaxnn 故故,limaxnn 1axNnNn时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从从而而有有aaxn a1 , 0任任给给15第二部分：收敛数列的性质第二部分：收敛数列的性质 与极限运算法则与极限运算法

9、则1.有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界,否否则则, 称称为为无无界界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界16定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有

10、则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .172.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.18例例5.)1(

11、1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于长度为不可能同时位于长度为1的区间内的区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx19定理定理3.有理运算法则：有理运算法则：则设,lim,limbbaannnnbababannnnnnnlimlimlimbababannnnnnnlimlimlimabbabannnnnnnlimliml

12、im0,limlimlimbbababannnnnnn .,lim1为常数kkakann Zmaammnn,lim2（可推广到有限个数列的情形）（可推广到有限个数列的情形）推论：推论：20, 0,limaaann设定理定理4.保号性保号性,NN则.,同号与使得aaNnn并且，并且，. 0, 0qaNnNan恒有使得则假设假设反之，反之，. 0, 0qaNnNan恒有使得则假设假设定理定理5.保序性保序性,.lim,limNnNbbaannnn使得若N设设，恒有nnba . ba 则21定理定理6.夹逼性夹逼性,limlimNnNabannnn使得若N设设，恒有nnnbca.limacnn则例例

13、6 nnnn1lim例例7 12321lim3nnnnn例例8.01lim)2.(1lim) 1 ( :aannnnn证明2221) 1(21lim2nnnnn所以,所求极限为.21分析：分析： 考虑利用夹逼性考虑利用夹逼性. 构造夹逼数列构造夹逼数列1212nn1) 1(21lim121lim22nnnnnnn例例9 ).2211(lim222nnnnnn求nnnnn2222211nnn22121nnnn221lim23重要极限重要极限（1可以证明它是单调增的；（2可以证明它有上界3。.11limennn单调性：单调性：定理定理7 （单调有界准则）（单调有界准则）单调增减有上下界的数列必定收

14、敛。单调增减有上下界的数列必定收敛。第三部分：数列收敛的判别准则第三部分：数列收敛的判别准则 ，都有若设有数列11,nnnnnaaaanaN 是单调增（减）的。则数列na若以上不等式是严格成立的，则称该数列是严格单调若以上不等式是严格成立的，则称该数列是严格单调增减的。增减的。nnn11lim求极限例例1024子数列与数列极限的归并原理子数列与数列极限的归并原理,:21kknnnnaaaa子数列子列）子数列子列）aannlim设设 为一数列，由为一数列，由 中的无穷多项按照脚标中的无穷多项按照脚标由小到大排列所组成的一个数列称为数列由小到大排列所组成的一个数列称为数列 的的一个子数列子列）。一

15、个子数列子列）。 na na na定理定理8归并原理）归并原理）记做：记做：aaknklim主要利用它的逆否命题判断数列的发散性。主要利用它的逆否命题判断数列的发散性。为任一子列，则设kna25Cauchy收敛原理收敛原理定理定理9 （Cauchy收敛原理）收敛原理）aannlim., 0 nmaaNnmN恒有使得N例例1126nan131211,1,31,21, 1n的前的前n n项和构成的数列项和构成的数列发散。发散。证明证明: : 调和数列调和数列例例12证明证明: : 数列数列222sin22sin11sinnnan收敛收敛.例例13有极限。证明数列), 2 , 1( !10nnann

16、思路分析思路分析 考虑利用单调有界准则：讨论其单调性和有界性考虑利用单调有界准则：讨论其单调性和有界性1101naann开始递减；后，当nan10又数列为正，0为它的一个下界；所以，必有极限。27一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny， 证明：证明：0lim nnnyx. .练练 习习 题题281 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣

17、体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、

18、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：