函数单调性练习题

1、函数单调性练习题1.(1)已知函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间(-S, 4上是减函数，则实数 a的取值范围是.(2)已知函数f(x) = x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-, 4,则实数a的取值 范围是 .最小值为(3)已知x 0, 1，则函数 y 2x 2. 1 x的最大值为2.讨论函数f(x) _ -aXT (a丰0)在区间(-1 , 1)内的单调性. 1 X2_ ax1ax2 a(x1 x2 )(1 x/2)解：设-1 V X10, 于是，当 a0 时，f(x 1) V f(x 2);当 av 0 时，f(x 1) f(x 2).故当a0时，函数在(-1 , 1)上

2、是增函数；当av0时，函数在(-1 函数.X121 X222 2(1 X1 )(1X2)22) 0(1-x 2i)(1-x,1)上为减3. 判断函数f(x)= x3+1在(8 ,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果 x( 0, + 8)，函数f(x)是增函数还是减函数？4. 已知：f(x)是定义在1 , 1上的增函数，且f(x 1)f(x2 1)求x的取值范围.5. 设y=f(x)的单增区间是(2, 6)，求函数y=f(2 x)的单调区间.解：令t(x) 2 X,则由已知得f(t)在t (2,6)上是增函数，而 t(x) 2 x (2,6)x (4,0)又t(x) 2 x在x ( 4

3、,0)上是单减的，由复合函数单调性可知，f(2 x) ft(x)在 x ( 4,0)上是单调递减的。f(2 x)的单减区间是(4,0)11A. 0 aB. aC.a122”ax+1a(x+ 2) + 12a 1 2a解：f(x) =+ a.x+ 2x+ 2x + 2ax 16函数f(X)在区间(-2, + a)上是增函数，那么 a的取值范围是(x 21 2a 1 2a 任取 X1 , X2 ( 2 , + a )，且 X1VX2，贝y f(X1) f(X2)=xi + 2X2 + 2)D.a-2(1 2a)(X2 X1)(X1+ 2)(X2 + 2)、”，ax+1函数f(x)= 在区间(一2,

4、+ a)上为增函数,x+ 2/ f(X1) f(X2)0, X1 + 20 , X2+ 20,1 2a1.即实数a的取值范围是12，+ ax2 + 4x,7已知函数f(x) =24x x ,x 0, xf(a)，则实数a的取值范围是(A ( a, 1) U (2 ,+a )B. ( 1,2) C. ( 2,1)D . ( a, 2) U (1 ,+a )x2 + 4x= (x+ 2)2 4, x 0, 解析：f(x) =4x x2= (x 2)2+ 4, x0,由f(x)的图象可知f(x)在(a , + a )上是单调递增函数，由 f(2 a f(1) = f(1/1) = f(1) - f(

5、1) = 0。 (2 )当 0 x 1，所以 f(y) - f(x) = f(y/x) 9 x 9 或 x V -9)f(a)得 2 a2a,即卩 a2+ a 20，解得一2a1.故选 C.ff(2)f(2) 2f(8)f(4)f(2)3又 f(x)f(x 2)2f (x 2x)解：f (xy) f (x) f (y)由题意有f (x22x) f (8)8已知f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1, f(xy)=f(x)+f(y),解不等式f(x)+f(x 2) 1时，f(x) V 0. X2(1 )求f(1)的值；(2) 判断f(x )的单调性；(3) 若 f(3)=-1,解不等式

6、f(|x|) V -2.并且当x 0时，f(x) 1.10. 函数 f(x)对任意的 a、b R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,(1) 求证：f(x)是R上的增函数；(2) 若 f(4)=5,解不等式 f(3m 2-m-2) v 3.R,且 x1 v x2, 贝U x2-x1 0, f(x2-x1) 1.(1 )设 x1,x2 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1 0. f (x2) f(x1). 即f(x)是R上的增函数.(2)T f ( 4) =f ( 2+2) =f ( 2) +f

7、( 2) -1=5 , f (2) =3,二原不等式可化为f(3m2-m-2) v f(2),/ f(x)是 R上的增函数， 3m2-m-2v 2,41 -解得-1 v mv ,故解集为/ 33311.设f (x)的定义域为(0, + R),且在(0, + R)是递增的，f (-)f(x) f (y)y(1) 求证：f (1) =0, f (xy) =f (x) +f (y);1(2) 设 f (2) =1，解不等式 f (x) f ()2。x 3(1)证明:f(x) f(x)yf(y),令 x=y=1，则有:f (1) =f (1) -f(1)=0,f(xy)xf( ) f(x)f(丄)f

8、(x)f(1)f(y) f(x)f(y)。1yy(2)解：/1f(x) f()f(x)ff(x3) f (x) f (x3)f (x23x),x 32=2X1=2f(2) =f ( 2) +f(2) =f(4),1 2f (x) f () 2等价于：f (x2 3x)f(4),x 3且x0, x-30由f (x)定义域为(0, + g)可得t x(x3)x23x0, 40,又 f (x)在(0, + g)上为增函数，2x3x41 x 4。又x3，原不等式解集为：x|3x 0,则f(x)的定义域是 ;若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数 a的取值范围是 .解析：33(1)当a0且1时，由3- ax 0得x 0,即卩a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需 3-ax 1 0,此时1a 3.当a- 10,即a0，此时a0 时，f(x)X2，贝y X1- x20 , f(X1) f(x2)= f(X1)+ f( X2)= f(X1 - X2).又 T x0 时，f(x)0, f(X1- X2)0，即 f(X1)X2，贝U f(X1) f(X2)= f(X1 - X2 + X2)- f(X2)= f(X1 - X