自适应天线 电子科大4.2

1、1 4.2 信号带宽信号带宽为了论述带宽为了论述带宽,首先定义解析信号的自相关函数和首先定义解析信号的自相关函数和功率谱密度功率谱密度.假设假设 为实平稳的随机过程为实平稳的随机过程,其其功率功率谱密度谱密度为为 .特别地特别地, 假设假设 有平坦的带限功率有平坦的带限功率谱密度谱密度,其带宽为其带宽为 ,高度为高度为 ,如图如图4.6所示所示. 4.2.1 解析信号的功率计算解析信号的功率计算图图4.6 功率谱密度功率谱密度( )n t( )n t0/2N( )nS( )nS2 的自相关函数的自相关函数 为为 的反傅立叶变换的反傅立叶变换:( )n t( )nS( )nR(4.40)1( )

2、 ( ) ()( )exp()2nnRE n t n tSjd00sin(/2)cos2/2N 的平均功率可按下式计算的平均功率可按下式计算:( )n t20( )(0)2nNE n tR(4.42)(4.41)201( )( )22nNE n tSd或是或是现在考虑与现在考虑与 有关的解析信号有关的解析信号 :( )n t( )n t( )( )( )n tn tjn t(4.43)3定义定义 的自相关函数为的自相关函数为:*( )( ) ()nRE nt n t( )n t函数函数 与与 的关系如下的关系如下:( )nR( )nR( ) ( )( ) ()()nREn tjn tn tjn

3、 t(4.45)(4.44) ( ) () ( ) ()E n t n tE n t n t ( ) () ( ) ()jE n t n tjE n t n t利用希尔伯特变换关系利用希尔伯特变换关系,可得可得:( )2 ( ) ()2 ( ) ()nRE n t n tj E n t n t(4.46)再利用另一个希尔伯特变换关系再利用另一个希尔伯特变换关系 ,可得可得:( ) ( ) ()nRE n t n t( )2( )( )nnnRRjR(4.48)4定义定义 的功率密度为的功率密度为:( )n t()( )exp()nnSRjd(4.49) 与与 的关系如下的关系如下:()nS()

4、nS4(),0()00,nnSS(4.50)因而具有图因而具有图4.6所示的功率谱密度所示的功率谱密度 的实信号的实信号 相应相应于具有图于具有图4.7所示的功率谱密度所示的功率谱密度 的解析信号的解析信号 .()nS( )n t()nS( )n t图图4.7 功率谱密度功率谱密度()nS因为因为:1( )()e2jnnRSd(4.51)故有故有:1(0)()2nnRSd(4.52)5所以所以, 的功率为的功率为:( )n t2111( )(0)Re(0)Re()222nnnE ntRRSd(4.53)但是但是 是实数是实数,因此有因此有:()nS21 11( )()(0)2 22nnE nt

5、SdR(4.54)最后最后,如果如果 是出于图是出于图3.7中的正交混合器的同相通道中的正交混合器的同相通道电压电压,那么正交混合器的输入电压将为那么正交混合器的输入电压将为 .因此混合因此混合器的总输入噪音功率将为式器的总输入噪音功率将为式(4.54)的二倍的二倍.( )n t2 ( )n t图图4.7 处理一个阵元的正交混合器处理一个阵元的正交混合器所以所以,总的阵元功率为总的阵元功率为:1( )(0)2nnSdR(4.55)6设入射信号在阵元设入射信号在阵元1 1和阵元和阵元2 2上上产生的信号分别为产生的信号分别为 和和 , ,则需要信号矢量为：则需要信号矢量为： (4.60)其中其中

6、 为阵元间的为阵元间的传播时间延迟。传播时间延迟。4.2.2 非零宽带信号的阵列分析非零宽带信号的阵列分析在自适应阵接受非零带宽信号时，在自适应阵接受非零带宽信号时，需要信号的带宽对特需要信号的带宽对特性影响不大，但干扰信号带宽的影响很大。性影响不大，但干扰信号带宽的影响很大。阵元间延时不同，阵元信号不再完全相关；阵元间延时不同，阵元信号不再完全相关；在信号带宽范围内完全匹配各阵元后的频率响应很困难，在信号带宽范围内完全匹配各阵元后的频率响应很困难，任何通道失配将进一步使阵元去相关。任何通道失配将进一步使阵元去相关。图图3.15 3.15 具有需要信号和干扰的二元阵具有需要信号和干扰的二元阵1

7、( )d t2( )dt12( )( )()( )ddd td tXd tTdtsinddLTc 传播延迟传播延迟7设需要信号具有如右图所示的功率设需要信号具有如右图所示的功率谱密度，在谱密度，在 带宽内具有带宽内具有 的功率谱密度。的功率谱密度。设设 为平稳随即过程，并定义其自相关函数为：为平稳随即过程，并定义其自相关函数为：协方差矩阵协方差矩阵 中的需要信号部分为：中的需要信号部分为：*( ) ( )( ) ()() ( )() ()dTdddddddt d tdt d tTE X XEdtTd tdtTd tTd2/ddpd(4.61)( )d t*( )( ) ()dRE dt d t

8、(4.62)则协方差矩阵则协方差矩阵 可以写作：可以写作： d(0)()()(0)dddddddRRTRTR(4.63)8其中其中 为相对带宽：为相对带宽： 由由(4.55)可知可知 为阵元的总的需要信号功率。由为阵元的总的需要信号功率。由(4.64)还可得：还可得：由于：由于：(4.64)1( )( )exp()2sinc(/ 2)exp()dddddRSjdpj (4.65)故有：故有： dp(4.66)(0)ddRpdB11()()222ddddddddTTB 正好为载频上阵元间的相移，用正好为载频上阵元间的相移，用 表示为：表示为： ()sinc(/2)exp()dddddddRTpT

9、jTddT据此可以将式据此可以将式(4.66)中的相关量写为中的相关量写为： ddddT(4.67)(4.68)dddB(4.69)9假设假设 ，则式，则式(4.70) 变为变为：假设需要信号为连续波，且假设需要信号为连续波，且 ，从上述的结果可以看出，从上述的结果可以看出将信号看作窄带的必要条件是将信号看作窄带的必要条件是 足够小。对于阵元足够小。对于阵元间距为半波长的间距为半波长的N元阵，窄带条件为：元阵，窄带条件为：将式将式(4.68) 代入式代入式(4.63)得到得到 ：(4.70)11()exp()21()exp()12ddddddddsincBjpsincBj0dB (4.71)2

10、ddpA1exp()TddUj其中：其中： (4.72)ddddTB或*1exp()exp()1dTddddddjpp U Uj dd1sinc(N-1)T 1210代入式代入式(4.64)中的中的 ，并利用，并利用(4.67) 和和(4.68) 可以得到：可以得到： 对于对于(4.75)给出的参考信号，其参考相关矢量为：给出的参考信号，其参考相关矢量为：(4.75)假设阵元假设阵元1和和2的需要信号输出分别为的需要信号输出分别为 ，故假设故假设 ( )()ddRr td tTp*( )( )()()()(1)ddddddddddtRSE X r tEd tTpdtTRTRRTp(4.76)d

11、R(4.77) 参考相关矢量参考相关矢量12( )()dw d tw d tT和/ 2exp()(1)/ 2exp(1)dddddddsincBjSRpsincBj 11定义定义 的自相关函数为：的自相关函数为： 其中其中 为在阵元间的延迟为在阵元间的延迟：(4.78)(4.80)12( )( )()( )iii ti tXi tTi t由此可以写出干扰对协方差矩阵的贡献：由此可以写出干扰对协方差矩阵的贡献：siniiLTc*( ) ( )( ) ()()() ( )() ()iTiiiiiiit i tit i tTE X XEitT i titT i tT (4.81)( )i t(4.8

12、2) 干扰信号干扰信号干扰信号矢量为：干扰信号矢量为： iT*( )( ) ()iRE it i t12与前面一样，定义干扰在中心频率处阵元间的相移和相与前面一样，定义干扰在中心频率处阵元间的相移和相对带宽分别为对带宽分别为：假设干扰具有与图假设干扰具有与图4.8 类似的平坦带限功率谱密度则类似的平坦带限功率谱密度则的自相关函数为：的自相关函数为：(4.84)( )()exp()2iidiRp sincj /iidB (4.85)由此式由此式(4.81)可以写为可以写为： (4.89)idiT( )i t(4.86)11()exp()21()exp()12iiiiiiiisincBjpsinc

13、Bj 13噪音矢量为：噪音矢量为：当当 时，时， 逼近矩阵：逼近矩阵：(4.90)0iB (4.91)1exp()TiiUj其中：其中： (4.92)i*1exp()exp()1iTiiiiiijppU Uj 热噪音热噪音12( )( )nn tXnt其对协方差矩阵的贡献为：其对协方差矩阵的贡献为：2nI (4.93)14将式将式(4.94)中的协方差矩阵和中的协方差矩阵和式式(4.77)中的参考相关矢量用中的参考相关矢量用规一化后，可以得到加权矢量的计算式：规一化后，可以得到加权矢量的计算式： 阵输出的需要信号分量为：阵输出的需要信号分量为：综合式综合式(4.70),(4.89),和和(4.

14、93)得到总的得到总的协方差矩阵为：协方差矩阵为：(4.94)(4.97)2(4.98)din 输出信号功率输出信号功率1122/WSS 下面由该需要信号分量计算需要信号的功率：下面由该需要信号分量计算需要信号的功率：12( )()TdddsX Ww d tw d tT15用同样方法可以得到规一化的输出干扰功率和热噪音功用同样方法可以得到规一化的输出干扰功率和热噪音功率：率： (4.100)(4.101)2*121222*11221222*1212111( ) 2221( )()( )()21(0)()()(0)212Re(/ 2)exp()2TdddddddddddddddddPE stW

15、E X XWWWEw dtw dtTw d tw d tTwRw w RTw w RTwRpwww w sinc Bj 以以 对式对式(4.100)进行规一化得：进行规一化得：2222*12121/2Re(/2)exp()2dddddPwww w sinc Bj222*12121/2Re(/2)exp()2iiiiiPwwww sinc Bj(4.102)16因带宽因带宽 出现在因子出现在因子 中，故中，故 越大，越大， 将会有更大影将会有更大影响。图响。图4.10绘出了绘出了 和和 时信号干扰噪音比与输时信号干扰噪音比与输入信噪的关系曲线，可以看出，带宽引起的特性恶化只入信噪的关系曲线，可以

16、看出，带宽引起的特性恶化只出现在出现在 和信号干扰噪音比大的情况。和信号干扰噪音比大的情况。结论：需要信号带宽引起的性能恶化影响很小。结论：需要信号带宽引起的性能恶化影响很小。(4.103)最后可以得到输出的信号干扰噪音比为：最后可以得到输出的信号干扰噪音比为：222/dinPSINRPP222121/2nPww(4.104)4.2.3 空间延迟引起的带宽性能恶化空间延迟引起的带宽性能恶化 无干扰情况无干扰情况dBddBddB0dB 0.5dB d17图图4.11表示对表示对： 和和 的典型情况绘出的一的典型情况绘出的一系列曲线。系列曲线。 从图从图4.11(a)可以看出，阵对干扰的可以看出，

17、阵对干扰的带宽比对需要信号的带宽更灵敏。带宽比对需要信号的带宽更灵敏。图图4.11(c)说明只要说明只要干扰带宽有一点干扰带宽有一点小的变化就会引起输出干扰功率小的变化就会引起输出干扰功率数量级的变化。数量级的变化。从图从图4.11(b) 和和4.11(d)可以看出，可以看出，对于小的对于小的 ，Pd和和Pn都随都随Bi的增加的增加而下降。原因：只要而下降。原因：只要输出的干扰输出的干扰功率增加，为了保持小的均方误功率增加，为了保持小的均方误差信号，就迫使阵的反馈降低加差信号，就迫使阵的反馈降低加权。权。 图图4.10需要信号带宽的影响（无干扰）需要信号带宽的影响（无干扰）0 ,0,0,ddB

18、 有干扰情况有干扰情况40idBd18dBdB图图4.11干扰信号带宽的影响干扰信号带宽的影响(a)(b)(c)(d)19图图4.12表示了信号干扰噪音比与表示了信号干扰噪音比与 的关系，该图说明干扰信号越强，的关系，该图说明干扰信号越强，随带宽性能恶化越严重。随带宽性能恶化越严重。 图图4.12d4.2.4 带宽性能恶化的原因带宽性能恶化的原因干扰信号带宽对自适应阵性能影干扰信号带宽对自适应阵性能影响更大的原因：响更大的原因：需要信号在阵的需要信号在阵的输出端相加，干扰信号在阵的输输出端相加，干扰信号在阵的输出端相减，因此对于干扰信号的出端相减，因此对于干扰信号的任何差别都很敏感。任何差别都

19、很敏感。现研究图现研究图4.13所示的阵，该阵被干扰信号视作滤波器。所示的阵，该阵被干扰信号视作滤波器。该滤波器该滤波器的传输函数为：的传输函数为：12( )exp()iHwwj T(4.105)20为了对消干扰，选择适当的为了对消干扰，选择适当的w1和和w2， 使传输函数在中心频率上为使传输函数在中心频率上为零：零： 图图4.13 阵被干扰当成滤波器阵被干扰当成滤波器()0dH因此因此，w1和和w2满足：满足：(4.106)12exp()diwwjT (4.107)故传输函数可以写为：故传输函数可以写为：2( )exp()exp()idiHwj TjT(4.108)传输干扰频谱如图传输干扰频

20、谱如图4.15所示。传输干扰功率为：所示。传输干扰功率为：21( )( )2iiPHSd(4.110)当当 时，时， 急剧上升。因此：干扰带宽增加时，输出干扰急剧上升。因此：干扰带宽增加时，输出干扰功率迅速增大。功率迅速增大。d( )H21时域理解：干扰信号到达两不同阵元的时间各不相同，时域理解：干扰信号到达两不同阵元的时间各不相同，引起了干扰信号轻微的去相关，该特点表现在引起了干扰信号轻微的去相关，该特点表现在 的非的非对角元素比对角元素小。在物理上此种去相关表现为不对角元素比对角元素小。在物理上此种去相关表现为不同阵元上干扰信号不相等，而且不能完全对消，因此干同阵元上干扰信号不相等，而且不

21、能完全对消，因此干扰带宽越宽，两阵元信号的差别就越大，相减之后的剩扰带宽越宽，两阵元信号的差别就越大，相减之后的剩余也越大。余也越大。4.2.5 通道失配引起的带宽恶化通道失配引起的带宽恶化在不同阵元后面匹配频率响应困难；在不同阵元后面匹配频率响应困难；两阵元通道频率响应之间的任何差别都将降低两阵元通道频率响应之间的任何差别都将降低两通道两通道上干扰间的相关，从而限制实现信号相减的能力；上干扰间的相关，从而限制实现信号相减的能力；实际中，精确地匹配两阵元通道很困难，同轴线长度，实际中，精确地匹配两阵元通道很困难，同轴线长度，接头阻抗失配，杂散电容，放大器通带特性变化等因素接头阻抗失配，杂散电容

22、，放大器通带特性变化等因素限制了阵的宽带特性；限制了阵的宽带特性；i22图图4.16 4.16 含通道失配滤波器的二元阵含通道失配滤波器的二元阵研究图研究图4.164.16所示二元阵。所示二元阵。( )jH：通道失配效应等通道失配效应等效滤波器的传递函效滤波器的传递函数。数。( )( )( )jjjztytnt- (4.111)1zzW S(4.112)*TzE Z Z *( )zEr tSZ2312( ),( )Tz tztZ(4.115)计算计算 和和 ：zzS定义：定义：*( )( )()ijx xijRE xt xt (4.116)若若i i= =j j，R R为自相关函数；若为自相关

23、函数；若i i j j，R R为互相关函数。为互相关函数。定义：定义：( )( )ijijjx xx xSRed (4.117)若若i i= =j j，S S为功率谱密度；若为功率谱密度；若i i j j，R R为交叉谱密度。为交叉谱密度。*1( )( )( )( )( )2ijijijx xE yt ytHHSd - (4.118)24*2( )( )( )( )ijijijE zt ztE yt yt (4.119)dinZZZZ(4.120) 若若 与与 相同，则相同，则 与与 将完全相同，将完全相同，干扰信号将被完全对消；反之，则对消性能恶化。干扰信号将被完全对消；反之，则对消性能恶化

24、。1( )H2( )H1( )y t2( )y t1( )1H2( )1( )H ( )cos()deET25( )( )( )ijijijdix xx xx xRRR 12( )( )()( )ddd td tXd tTdt1 1*( )( ) ()( )dx xdRE dt d tR 1 2*( )( ) ()()dx xdddRE dt d tTRT 2 1*( )() ()()dx xdddRE dtTd tRT 22*( )() ()( )dx xdddRE dtTd tTR 同样求出：同样求出： 1 1( )ix xR 261 1( )( )( )x xidSSS *1( )( )

25、( )( )( )2ijijijx xE yt ytHHSd *11( )( )(0)(0)diidE yt y tRRpp*211( )( )diE zt z tppedeT22221111zzdzizn (4.145)272eT定义波动的周期数为：定义波动的周期数为：2ddeTK(4.153)2edKT2ededKTB21zS同样可得出相关向量：同样可得出相关向量：1zzW STdds W Z(4.160)282*2222111( ) 22112TddddzdPE stEWZ ZWWW (4.161)222221/1/zddinziPSINRPPIWWWW(4.164)算例：算例：0,0.

26、01,50 ,0 ,2.0 ,10didieBBK40idB考察对于不同的通道间失配幅度考察对于不同的通道间失配幅度 E E 对对SINRSINR的影响。的影响。2930数值计算表明：若要数值计算表明：若要SINR的恶化小于的恶化小于1，则通带内，则通带内的波动小于的波动小于 ，或通道的匹配精度优于，或通道的匹配精度优于0.086dB；若干扰功率更高，结果将更坏。若若干扰功率更高，结果将更坏。若 ，则为使，则为使SINR的恶化小于的恶化小于1，通道的匹配精度小于，通道的匹配精度小于0.0026dB；1%70ddBu概括：概括：干扰信号的带宽对自适应阵的影响比需要信号带干扰信号的带宽对自适应阵的

27、影响比需要信号带宽的影响更大的原因宽的影响更大的原因： 需要信号在阵的输出端相加，干扰信号在阵的输出端相需要信号在阵的输出端相加，干扰信号在阵的输出端相减，对消结果对干扰信号的任何差别都是非常敏感的；减，对消结果对干扰信号的任何差别都是非常敏感的；非零带宽的干扰信号，在阵元间的传播延迟存在时使阵元非零带宽的干扰信号，在阵元间的传播延迟存在时使阵元之间变为去相关；之间变为去相关；通道特性中任何的失配也可能减小阵元间的干扰相关；通道特性中任何的失配也可能减小阵元间的干扰相关；干扰信号带宽越宽，各阵元信号的差别就越大，在输出端干扰信号带宽越宽，各阵元信号的差别就越大，在输出端就越不容易对消。就越不容易对消。 31对于从对于从 角入射的干扰信号，阵元间的相移为：角入射的干扰信号，阵元间的相