基本不等式求最值的类型与方法-经典大全

1、专题：根本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的根本不等式：当且仅当a = b时，“=号成立；当且仅当a = b时，“=号成立；当且仅当a = b = c时,“=号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正、二“定、三“等； 熟悉一个重要的不等式链：。二、函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：值域：；单调递增区间：，；单调递减区间：，.三、用均值不等式求最值的常见类型类型：求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=号成立，故此函数最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件

2、，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项常常是拆底次的式子等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例2、求以下函数的最大值： 解析：，当且仅当即时，“=号成立，故此函数最大值是1。，那么，欲求y的最大值，可先求的最大值。,当且仅当，即时 “=号成立，故此函数最大值是。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式常常是拆高次的式子、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。例3、假设x、y，求的最小值。解法一：单调性法由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，那么，那么，即在上是减函数。故当时，在上有最小

3、值5。解法二：配方法因，那么有，易知当时，且单调递减，那么在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：拆分法，当且仅当时“=号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型：条件最值问题。例4、正数x、y满足，求的最小值。解法一：利用均值不等式,当且仅当即时“=号成立，故此函数最小值是18。解法二：消元法由得，由，那么。当且仅当即时“=号成立，故此函数最小值是18。解法三：三角换元法令那么有那么：，易求得时“=号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有

4、这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一致。类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、正数满足，试求、的范围。解法一：由，那么，即解得，当且仅当即时取“=号，故的取值范围是。又，当且仅当即时取“=号，故的取值范围是。解法二：由，知，那么：，由，那么：，当且仅当，并求得时取“=号，故的取值范围是。，当且仅当，并求得时取“=号，故的取值范围是。评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例1. 求函数的最值。错解：当且仅当即时取等号。所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却

5、忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数的定义域为，所以须对的正负加以分类讨论。正解：1当时，当且仅当即时取等号。所以当时， 2当时， 当且仅当，即时取等号，所以当时，.例2. 当时，求的最小值。错解：因为所以当且仅当即时，。分析：用均值不等式求“和或“积的最值时，必须分别满足“积为定值或“和为定值，而上述解法中与的积不是定值，导致错误。正解：因为当且仅当，即时等号成立，所以当时，。例3. 求的最小值。错解：因为，所以分析：无视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所以原函数取不到最小值。正解：令，那么又因为时，是递增的。所以当，即时，。例4.且，求的最小值.错解： ,的最

6、小值为.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值.正解：当且仅当即时等号成立. 的最小值为.综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值或“积为定值，要凑出“和为定值或“积为定值的式子结构，如果找不出“定值的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项例1：，求函数的最大值。解：因，所以首先要“调整符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。技巧二：凑系数例2. 当时，求的最大值。解析

7、：由知，利用根本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。技巧三： 别离例3. 求的值域。解：此题看似无法运用根本不等式，不妨将分子配方凑出含有x1的项，再将其别离。当,即时,当且仅当x1时取“号。技巧四：换元解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即x1时取“号。技巧五：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，那么因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调

8、递增函数，故。所以，所求函数的值域为。技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。2：，且，求的最小值。解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。稳固练习：1、：且，那么的最大值为( )(A) (B) (C) (D)2、假设，且恒成立，那么a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、以下不等式：；.其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、设，那么以下不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)5、设且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、假设实数满足，那么的最小值是( )(A)1

9、8 (B)6 (C) (D)7、假设正数满足，那么的取值范围是 .8、假设,且，那么的最小值为 . 根本不等式知识点：1. (1)假设，那么(2)假设，那么当且仅当时取“=2. (1)假设，那么(2)假设，那么当且仅当时取“=(3)假设，那么 (当且仅当时取“=3.假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=4.假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=5.假设，那么当且仅当时取“=注意：(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大(2)求最

10、值的条件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求以下函数的值域1y3x 2 2yx解：(1)y3x 22 值域为，+(2)当x0时，yx22；当x0时， yx= x2=2值域为，22，+解题技巧技巧一：凑项例 ，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。技巧二：凑系数例： 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可

11、。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。变式：设，求函数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。技巧三： 别离技巧四：换元例：求的值域。解析一：此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有x1的项，再将其别离。当,即时,当且仅当x1时取“号。解析二：此题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即x1时取“号。技巧五：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，那么因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。技巧

12、六：整体代换屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。例：，且，求的最小值。错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。技巧七例：x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x·下面将x，分别看成两个因式：x· 即x·x

13、 技巧八：a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u33，ab18，y点评：此题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将条件转换为含的不等式，进而解得的范围.技巧九、取平方例: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。应用二：利用