上海交大计算结构力学课件ppt平面问题的有限元法01

1、CHAPTER02 平面问题的有限元2.1 引言l 平面应力和平面应变问题的有限元分析l 位移有限元建立的一般方法l 三角形单元、矩形单元l 线性单元、高阶单元l 轴对称单元2.2 弹性力学平面问题基本方程平面应力和平面应变杆系结构: 长度远大于两个方向的尺度 变形在轴向采用了平面假设 只有一个未知函数 非杆系: 比如深梁,平面假定不再成立 图2-1 平面应力平面应力: 厚度很小, 载荷(包括位移边界)和平面平行,沿均匀分布,因此可以近似地认为沿向所有的应力分量为零.图2-2 平面应变平面应变: 横向尺度远小于纵向尺度, 载荷(包括位移边界)和平面平行,沿均匀分布,认为沿位移分量为零.（1）平

2、面应力: 沿厚度很薄，可以认为沿厚度均匀各个分量和无关，只和有关 板的两个面上没有外力， 因此两个面上有： 也即对薄片所有点有： 并进一步有: 于是： 注意: （2）平面应变: 沿没有位移， 只有和不为零. 但， 平面应力和平面应变的关系以下仅研究平面应力2.2 平面问题的三角形单元格式2.2.1 三角形单元任意的一个平面采用三角形单元离散节点编号单元节点位移：如果单元节点位移已知，如何给出单元内部任意一点的位移， 其中FEM的思想：单元内部插值2.2.2 单元分析若节点位移已知，如何求单元内部任意一点的位移，称为位移模式或位移函数一般取为多项式，多项式选取：由低向高 为待定在节点上应满足节点

3、位移 依照方程组求解的行列式方法，可以求出，它应该是节点坐标和节点位移的函数。其中A是单元三角形的面积 上述相同同理可以求出其中A是单元三角形的面积 上述相同代入假定的位移表达式经过演算：也可以同上。最后给出位移的形式为：其中： 或：或 由于N是线性函数，因此任意一点的位移就表现为单元节点位移（取决于）的线性组合（取决于N）或就是插值，因此N也叫做插值函数。整个有限元的核心就是构造N和N所具有的性质（也是今后构造N所必须满足的条件）（1） （2） 任意点插值函数的和为1 意味着如果单元三个节点位移相同（具有刚体位移），则内部任意一点也有这个位移。从而有： 由于单元受相邻单元的影响，必然产生刚体

4、位移，因此我们在构造N的时候必须使得位移模式包含刚体位移。（3） 单元与单元边界上的位移是唯一的。保证唯一的连续性，否则单元之间出现间隙或重叠。（验证留做作业）将位移、应变、应力表示为节点位移的函数。注意由于是和的线性函数，因此是常数因此我们得到的常应变单元和常应力单元。作业21 验证上述三角形单元边界上位移的连续性。应变是否连续？2.2.3三角形单元有限元平衡方程-最小势能原理其中：单元的刚度矩阵：可以看出，此时为矩阵体积力等效节点载荷列阵：表面分布力等效节点载荷列阵：根据最小势能原理： 于是得到总体平衡方程为： 或：讨论：(1) 关于等效节点力概念的解释： 外力做功=因此可以理解为假想的作

5、用在节点上的力， 其效果是做功的大小不变， 所以称为等效节点载荷。(2) 关于单元刚度矩阵的力学含义 只考虑一个单元如果该单元产生的位移为： （B1）上述平衡方程有：这给出了刚矩阵各元素的力学意义。由于产生（B2）位移的载荷应该平衡， 于是进一步有：（3）关于对称性由于的对称性， 因此也对称。（4）刚度矩阵的奇异性行列式值为零，力学解释：外力下平衡的单元可以有任意的刚体位移， 从而解不唯一。因此要想真正给出解答，必须将位移边界约束条件反映到平衡方程里。2.2.5 等效节点载荷列阵 （1） 体积力如果存在重力（一类体积力）的作用，则 计算后 （2）分布力 作用在垂直于轴的三角形边界（边长为）上。

6、讨论：如果沿长度为线性分布， 则等效节点力会怎样？该问题为作业。2.2.6 整体刚度矩阵的合成举例说明：（1） 预备知识-关于矩阵分块其中 .（2）单元刚度矩阵的扩维l 首先将单元刚度矩阵和单元节点位移列阵的由单元维数扩充为总体维数。l 先将每个单元的刚度阵表示为如下的形式， 其中上标为单元号，下标为单元对应的节点。后面将看到，这个下标也是该单元刚度矩阵在这个位置的元素组装到总体刚度矩阵时的位置。l 此外还引入矩阵的分块表示方法。上述矩阵中的各元素均为，0实际表示的是。（3）总体刚度矩阵的形成将上述4个单元的刚度矩阵相加， 即得到总体刚度矩阵。（4）对号入座一个比较简洁的处理办法：先给出一个整

7、体刚度矩阵,里面没有元素，按照各个单元节点总体编号,将其放在对应的位置中。所谓的“对号入座”。（5）总体刚度矩阵的带状特性总体刚度矩阵的带状特性，（稀疏性）半带宽 （最大号码差+1）总刚中第r行的子矩阵，有很多位置上的元素都等于零，只有当第二个下标s等于r或者s与r同属于一个单元的节点号码时才不为零，这就说明，在第r行中非零子矩阵的块数，应该等于节点r周围直接相邻的节点数目加一。可见，K的元素一般都不是填满的，而是呈稀疏状（带状）。把半个斜带形区域中各行所具有的非零元素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽（包括主对角元），用B表示，即 B = 2 (D+1)。关于带状问题的举例说明矩阵的最小带宽问题

8、：（1） 注意两种不同排列方式的差异（2） 软件中经常有带宽的最小化命令在进行节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。 总体刚度矩阵的如下特点：（1）对称性；（2）稀疏性；（3）带状；（4）奇异性。这里关于奇异性的性质和上述单元刚度矩阵的含义是一致的, 因为现在得到的有限元总体平衡方程, 并没有对结构的位移约束予以考虑. 考虑到总体刚度矩阵的前3个特点，在有限元程序中，刚度矩阵并不是直接二维存储的， 而上按照一维存储方式： 其中为第行刚度矩阵的半带宽， 于是 存储第1行的一半 存储第2行的一半 . 2.2.7

9、整体载荷列阵的合成将每个单元的列阵维数扩充然后相加也是”对号入座” 于是2.2.8 边界约束的处理将有限元平衡方程合成总体方程后，得到其中为总体刚度矩阵，为总体未知节点位移列向量，为总体节点力列向量。由于到目前为此平衡方程中，位移施加一个刚体位移，并不影响平衡状态，因此需要有具体的位移边界约束，从而使得位移位移。以下讨论位移边界条件的施加方法。假设要求满足的位移边界为（1） 直接代入直接将代入总体平衡方程，将原来的总体自由度为的平衡方程，变为自由度为的平衡方程。代价： 刚度矩阵、节点位移、节点外载荷编号将打乱原有的顺序，不利于程序的编制。（2） 对角元素为1如果对应的位移边界为零，即。此时可以

10、将的元素改为1，而行和列的其他各元素为零，的第个元素也为0，从而实现所要求的边界条件。注意这一方法仅适应于的情况，事实上如果，则在刚度矩阵中必须考虑和的影响，从而刚度矩阵中的行和列又不能为零。（3）对角元素乘以大数法考虑如下的有限元方程:假定该系统中节点位移 分别被指定为: 将K中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个大数，如 ，同时将R中的对应元素换成指定的节点位移值与该大数的乘积。实际上，这种方法就是使K中相应行的修正项远大于非修正项。这样第一个方程为:近似地等价于: 这一方法并不改变原有的编号顺序。本节内容的要求： 单元刚度矩阵、单元等效载荷列阵 总体刚度矩阵、总体载荷列阵 边界条件施加 理解总体刚度矩阵带状含义作业2.2 请说明单元刚度矩阵的近似性原因.作业2.3 证明常应变单元发生刚体位移时,单元内不产