线性代数教材答案

1、.第二章习题2-24. 求出代数式中的非零项，一般项为，只有当时，所以。，对一般项只有当或者或者或者时，所以=-+-.找非零项。当时，假设，则，则，即，同理可以得到其他情况也是一样的，即不可能同时非零，所以行列式的所有项均为0 ，即行列式的值为0.习题2-31利用行列式性质，计算下列行列式：(1)； (2)；(3)； (4)2证明：(1)（2）（3）转置后得，所以当为奇数时，3. 设四阶行列式，请分别按第4行和第4列展开的方法计算该行列式的值按第4行展开按第4行展开略。习题2-41. 利用化三角形法计算下列行列式：(1)(2)(3)(4) (5)从第二行开始后面隔行减去第一行得将第三行逐渐与上

2、一行交换直至到第一行，然后将第三列与第二列交换，得：从第三列开始均减去第二列得2用降阶法计算下列行列式：(1)(2)(3)(4)(5)从第二行开始均减去最后一行得(6)3选择适当方法，计算下列行列式：(1)；(2)(3)(4)为范德蒙行列式，则(5)从最后一列开始，将后一列的倍加到前一列上去得：(6)按第一行展开均按最后一列展开得：，由此可以得到：4证明：=1；证：从最后一行开始后一行减去前一行得第三章习题3-21.设求(1) (2) (3)(4).解：2. 设,为3阶矩阵,且,求.解：3. 设为阶方阵,且,证明.证：所以。4. 设,为阶方阵,且为对称矩阵,证明也是对称矩阵.解：为对称矩阵，所

3、以，则所以也是对称矩阵。5. 设,为对称阵,试证为对称矩阵,为反对称阵.证：,为对称阵，所以，则所以为对称矩阵,为反对称阵.6. 设,求.解：设，可交换，所以，所以7.略8.设是实对称矩阵，且,证明.证：设，因为是实对称矩阵，所以；令，而，所以，的主对角线元素也为0，即，而，所以，即。9.略习题3-31.略2解下列矩阵方程:(1)； (2)；(3)； (4)3利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) (2)4设为阶方阵,且,证明与均可逆,并求及.证：而，则所以与均可逆，且，。5设为5阶方阵,且,求.解：6设阶矩阵满足,是正整数,试证可逆,且.证：，所以可逆,且.7证明:如果,而,则必为奇异矩阵.证：

4、，假设为可逆矩阵，则，这与矛盾，所以必为奇异矩阵.8设,其中,求.解：，所以9已知为4阶方阵,且,求.解：10略。习题3-41 计算解：令则所以2 设矩阵，求解：，所以3.略4.设是矩阵,是矩阵,是矩阵,证明:的充分必要条件是的每一列都是齐次线性方程组的解.证：令，则则即的充分必要条件是的每一列都是齐次线性方程组的解.习题3-51 求下列矩阵的逆矩阵:，所以（2）（3）（4）略2 利用初等变换求解下列矩阵方程:解：，所以，所以（3）（4）略3 设,求.解：，所以。4 设是4阶可逆方阵,将的第二行和第三行对换得到的矩阵记为.证明可逆,并求.证：，均可逆，所以可逆。，所以习题3-64设都是矩阵，证

5、明的充分必要条件是证明：若，则显然；若，设，由都是矩阵，则有相同等价标准形矩阵。由等价的传递性，有。5设,问为何值时,可使； ； .解，当时，即。当时，即时，必有，所以当时，即时，；当，即时，。6设是阶方阵,若存在阶方阵,使,证明.证：假设，则A可逆，又，则，这与已知矛盾，所以。7已知,若,求的值.解：，8确定参数，使矩阵的秩最小当时秩最小，即时秩最小，最小为2. 第四章习题4-13判断下列方程组是否有解" 如有解，求出其解：(1)，所以，无解。 (2)所以，有无穷多解。进一步进行初等行变换所以，令得通解为(3)所以，有唯一解。进一步进行初等行变换所以4a取何值时， 方程组 有解.有

6、解时求出其解解：当时，有无穷多解，此时，令，得通解为当时，有唯一解。此时：所以。5设有线性方程组，证明：若两两互不相等，则此线性方程组无解解：增广矩阵的行列式为范德蒙行列式，当两两互不相等时，此行列式不等于零，所以增广矩阵的秩为4，而系数矩阵的秩显然小于4，所以线性方程组无解。6求解下列齐次线性方程组：(1)；解：所以，通解为： (2)略7略。 习题4-21略2证明：向量是向量组的线性组合，并将用表示出来证：令，则，所以是向量组的线性组合，且34.略5若，且可由向量组线性表示，求解：令，则，显然，当时，总有。习题4-31判断下列向量组的线性相关性：(1)；解：向量维数小于向量个数，必相关 。(

7、2)；解：，所以线性无关。(3)；解：令，则，此行列式为范德蒙行列式，且不等于0，所以向量组线性无关。(4)解：向量（3）线性无关，向量组（4）是在（3）的基础上同事增加第5个分量，所以向量组（4）也线性无关。2判断下列命题是否正确，为什么.(1)若向量组是线性相关的，则一定可以由线性表示；错，只能说其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示，不一定是。(2)如果存在不全为零的数，使得 ，则向量组线性无关; 错。只要不全为零向量，都可以找到不全为零的数，使得。(3)向量组线性无关，则对任意不全为零的数，都有对。若不全为零的数，使得，则向量组线性相关。所以对任意不全为零的数，都有3问为何值时，下列

8、向量组线性相关.（1）；，向量组线性相关，则。（2）向量组线性相关，所以或者。4求出线性相关的充分必要条件向量组线性相关。5设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：(1) 能由线性表示;(2)不能由线性表示证：（1）线性无关，则线性无关，又向量组线性相关，则可由线性表示。（2）假设能由线性表示，又能由线性表示，则能由线性表示，即线性相关，这与线性无关矛盾。6设，且向量组线性无关，证明：向量组也线性无关证：因为组线性无关，所以令，则；令，所以可逆，则，所以向量组也线性无关7设，证明：线性相关，所以线性相关8设向量组线性无关，问以下向量组是否线性无关：（1）；（2）；（3）；（4）解：令，则（1）

9、，所以可逆，则，即向量组（1）线性无关。（2），所以向量组（2）线性相关。（3），所以可逆，则，即向量组（3）线性无关。（4）齐次线性方程组，而，所以齐次线性方程组有非零解，即齐次线性方程组有非零解，所以向量组线性相关。（得一组解为：所以，即向量组线性相关。）习题4-41设矩阵 求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用这个最大无关组线性表示解：令，则所以矩阵的列向量组的一个最大无关组为，且。2求下列向量组的秩和一个最大无关组，并用其余向量用这个最大无关组线性表示：(1)；解：令所以向量组的秩为2，一个最大无关组为且(2)略3已知向量组线性相关，线性无关，求向量组的秩解：线性相关，则线性

10、相关，又线性无关，所以可由线性表示，所以是向量组的一个最大无关组，所以向量组的秩为34证明：如果维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示，则线性无关证：如果维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示,又因为维向量组必然可以由线性表示，则两个向量组等价，所以.所以向量组线性无关。5是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一维向量组都可以由它们线性表示证：充分性：任一维向量组都可以由线性表示，则维单位坐标向量组也可以由线性表示，由上题可得线性无关。必要性：线性无关，则，又因为必然可以由维单位坐标向量组线性表示，则，所以即与等价。由于任一维向量组都可以由线性表示，由传递性可以得到任一维向量组都可以

11、由线性表示。6设是一个维向量组，其秩为；是另一组维向量组，其秩为设的秩为； 证明证：因为和均可由线性表示，所以和的秩不超过的秩，即；设和的最大无关组分别为：和，则由于中的任一向量可由线性表示，中的任一向量可由线性表示，则可由，线性表示，则7设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且线性无关，证明：线性无关的充分必要条件是证：令，则线性无关齐次线性方程组只有零解只有零解；因为线性无关，所以只有零解。习题4-51齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是( C )A系数矩阵的任意两个列向量线性无关；B系数矩阵的任意两个列向量线性相关；C系数矩阵中必有一个列向量是其余列向量的线性组合；D系数矩阵的任一

12、个列向量必是其余列向量的线性组解：齐次线性方程组有非零解A的列向量组线性相关中必有一个列向量是其余列向量的线性组合；2求下列齐次线性方程组的一个基础解系与通解：(1); 解：所以：，分别令和得基础解系为：，通解为：(为任意常数)；(2)(3)略3证明(提示：证明方程组和同解)证：设为矩阵，为维列向量，若方程组，则，即方程组的解是方程组的解；反过来，若，则，所以方程组和同解，所以。4已知阶方阵的每行的元素之和为零，且，求方程组的通解解：阶方阵的每行的元素之和为零，所以，又，所以方程组的基础解系只有一个线性无关的解向量，显然向量就是其一个基础解系，所以通解为：(为任意常数)。5求出一个齐次线性方程

13、组， 使它的基础解系由下列向量组成：解：设齐次线性方程组的系数矩阵为A，则所以的每一列均为齐次线性方程组的解。求解齐次线性方程组得基础解系，所以令，齐次线性方程组为：。6求下列方程组的通解，并写出它的导出组的基础解系：(1); 解：所以，令得特解,对应的导出组为：，令，得基础解系，所以通解为：(为任意常数)；(2)略。7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2， 已经它的三个解向量为 其中，求该方程组的通解解：四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，所以四元齐次线性方程组的基础解系含有两个线性无关的解向量。为的解，所以，是齐次线性方程组的解。，而线性无关，所以是齐次线性方程组的基础解系，则非齐

14、次线性方程组的通解为：8设是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的基础解系，证明：(1)线性无关；(2) 线性无关证：（1）因为是齐次线性方程组的基础解系，所以线性无关，假设，线性相关，则可由线性表示，则也是齐次线性方程组的解，这与是非齐次线性方程组的的一个解矛盾，所以，线性无关。（2）设，即由上可知，线性无关，所以所以线性无关。第五章习题5-21 2略。3求n阶数量矩阵的特征值与特征向量解：所以因为，所以的解为：4略5设3阶矩阵的特征值为, 求解：3阶矩阵的特征值为，所以设，则所以6设有四阶方阵满足条件求的一个特征值解：得A的一个特征值为，则的一个特征值习题5-31设 ，证明：A与B的特征多

15、项式均为 且A与B不相似 证：所以A与B的特征多项式均为对矩阵B，将特征值代入齐次线性方程组，特征值为，所以B不能对角化，则A与B不相似 2判断矩阵能否化为对角阵解：，所以解齐次线性方程组，所以可以化为对角阵。3设矩阵可相似对角化，求解：因为矩阵可相似对角化，所以，所以。4对下列矩阵，求可逆矩阵，使得为对角阵.(1) ; 解：，所以对应于特征值-1的特征向量为，分别令，得对应于特征值1的线性无关的特征向量为：所以令，有。(2) 略。5设, 求.解：，所以对应于特征值-1的特征向量为，所以对应于特征值1的特征向量为所以对应于特征值21的特征向量为令则6略。7设三阶的特征值为1，0，-1，对应的特

16、征向量依次为，求及解：令，则，所以8设A,B都是阶方阵，且，证明与相似.证：，所以A可逆，则，所以与相似。习题5-41设实对称矩阵 求正交矩阵P, 使为对角矩阵解：对，所以对于特征值-1的特征向量为，单位化为；对，所以对于特征值2的特征向量为，单位化为；对，所以对于特征值5的特征向量为，单位化为；令，则为正交矩阵，且2设有对称矩阵 试求出正交矩阵P, 使为对角阵解：对，所以对于特征值4的线性无关的特征向量为，显然 已经正交，故不必正交化，则单位化为：对，所以对于特征值2的特征向量为，单位化为，所以令为正交矩阵，且。3已知矩阵(其中)有一个特征值为1, 求正交矩阵使得为对角矩阵解：因为矩阵有一个

17、特征值为1，所以，又，所以；则对，所以对于特征值2的特征向量为；对，所以对于特征值1的特征向量为，单位化为对，所以对于特征值5的特征向量为，单位化为；所以令为正交矩阵，且。4设n阶实对称矩阵A满足,且A的秩为, 试求行列式的值解：n阶实对称矩阵A必可以对角化，设n阶实对称矩阵A有特征值，则有特征值，又，所以或1；因为A的秩为，所以，则为A的重特征值，1为A的重特征值，即存在可逆矩阵,使得，所以，则5判断下列两矩阵A,B是否相似解：为实对称矩阵，必然可以对角化，所以相似于对角矩阵对，所以B可以对角化，即B也相似于对角矩阵，则A,B相似。6设方阵与相似，求解：与相似，则与有相同的特征值，所以与有相

18、同的迹和行列式，；所以7已知三阶对称矩阵的特征值为6，3，3，且是的属于特征值的特征向量，求解：三阶对称矩阵的特征值为6，3，3，所以对应于的二重特征值3的特征向量与正交。设为，则求出基础解系为：，令，则8设三阶对称矩阵的特征值为1，-1，0，而和的的特征向量分别是，求解：正交，所以或1；当时，对应于和的特征向量分别是对应于特征值0的特征向量设为，则，所以对应于特征值0的特征向量设为，令，则当时，对应于和的特征向量分别是对应于特征值0的特征向量设为，则，所以对应于特征值0的特征向量设为，令，则第六章习题6-11写出下列二次型的矩阵.(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)；解：所以：(5)；

19、解：(6).解：所以：2写出下列各对称矩阵所对应的二次型，并求出二次型的秩.(1)解：，所以二次型的秩为3.(2)略.3已知二次型的秩是2，求的值.解:二次型的矩阵为： ，则4设，作满秩变换，求新二次型.解：二次型的矩阵为：，所以新二次型的矩阵为：，所以新二次型为：。5证明：对称矩阵只能与对称矩阵合同.证：设为对称矩阵，且与合同，即存在可逆矩阵C，使得，而，所以B也为对称矩阵。6设、为阶可逆矩阵，且，试证明：.证：与合同，即存在可逆矩阵C，使得，所以，所以与合同。习题6-21用正交变换法将二次型化为标准形，并写出所作的满秩线性变换矩阵.(1)解：，将特征值分别代入齐次线性方程组，分别得到基础解系为：，单位化为，；令为所求正交变换的矩阵，做正交变换，即，使得(2)解：对所以对于特征值4的线性无关的特征向量为，显然 已经正交，故不必正交化，则单位化为：对所以