第三章多维随机变量及其分布

1、第三章 多维随机变量及其分布1. 二维随机变量一、 二维随机变量及其分布函数1、二维随机变量例 身高 体重，是两个随机变量定义：，设和是定义在上的随机变量，则叫二维随机变量（或叫二维随机向量）注：的性质不仅与和有关，还与和的相互关系有关。2、二维随机变量的分布函数，二元函数，称为的联合分布函数（分布函数）。注：（1）几何意义： （2）3、分布函数的性质（1）关于不减，关于不减；（2）且，； 固定，； 固定，（3），（关于和右连续）；（4），有；二、离散型随机变量和连续型随机变量1、离散型随机变量 离散型：取值是有限对或可列无限多对； 分布律： 性 质：， 分布函数：例：设随机变量在1，2，3，

2、4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量在中等可能地取一整数值。试求的分布律。解：， 的分布律： 00000012、连续型随机变量 （1）定义：，分布函数，若，使对有则称是连续型随机变量，为联合概率密度函数（概率密度）。（2）性质：（a）；（b）；（c）若在连续，则；（d）。三、维随机变量例：概率密度求（1）常数；（2）分布函数；（3）落在内的概率；（4）解：（1）（2）32（3）（4）2. 边缘分布一、 边缘分布 分布函数 分布函数，关于和的边缘分布函数。 性质：（1）;（2）;（3）.二、离散型随机变量的边缘分布 边缘分布律（）例：设随机变量在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随

3、机变量在中等可能地取一整数值。试求的分布律。（见上节）三、连续型随机变量的边缘概率密度 ，概率密度， 是一个连续型的随机变量且其概率密度是一个连续型的随机变量且其概率密度，边缘概率密度。分清楚：，的含义。例：设二维随机变量的概率密度为（1）试确定常数；（2）求边缘概率密度；解：（1） （2）当时，例、设二维随机变量的概率密度为 ， 其中，都是常数，且。我们称服从参数为的二维正态分布，记为。试求二维正态随机变量的边缘概率密度。解：由于 于是令，则有，即：同理：注：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布且都不依赖于参数，此事实表明单由关于和的边缘分布，一般来说不能确定和的联合分布。3. 条件概

4、率一、二维离散型随机变量的条件分布律， 分布律 边缘分布律 问题：当时，定义：离散型随机变量，对固定的，若，则称 为在条件下随机变量的条件分布律。对固定的，若，则称 为在条件下随机变量的条件分布律。例、设随机变量的分布律为012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05求；解： 二、二维连续型随机变量的条件分布函数定义：给定及，设且对，若存在，则称此极限值为在条件下，随机变量的条件分布函数，写作或，类似定义。注： （1） 若在连续且连续，

5、则；（2） 若记为在条件下的条件概率密度，则 （多像）；类似，；（3） 易知。例、 （的面积为）均匀分布，已知在上服从均匀分布，求：（1），；（2）求；（3）解：（1）1 当时， 当时，（2）；（3）4. 相互独立的随机变量一、 二维随机变量的相互独立性1、定义：，若对所有的有即，则称随机变量相互独立。注：随机变量相互独立 实轴上任意两个集合有即事件与相互独立。由的任意性可知：随机变量的独立性比事件的独立性的要求要高。2、判定条件：定理：（1）离散型二维随机变量，则与相互独立 即；（2）连续型二维随机变量，概率密度、边缘概率密度分别为、，则：与相互独立 几乎处处成立。例、一负责人到达办公室的时

6、间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时，设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率。解：设负责人到达办公室的时间，秘书到达办公室的时间，二者相互独立。639129638 例、设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为（1） 求和的联合概率密度；（2） 设含有的二次方程为，试求有实根的概率。解：1（1）（2）有实根要求，记例、 12312问：（1）满足的条件是（2）若独立，则 ， 二、维随机变量的相互独立性分布函数概率密度边缘分布函数相互独立 与相互独立。定理：若与相互独立，则（1）和相互独立；（2）若连续

7、，则与相互独立。5. 两个随机变量的函数的分布一、的分布1、连续型二维随机变量，概率密度为，事实上， （）注：与相互独立时，卷积2、离散型二维随机变量，概率密度为，则的分布律为例：设和是两个相互独立的随机变量，它们都服从分布，即有求的概率密度。解： 即一般地，若，且它们相互独立，则例、设与相互独立，其分布律分别为13240.30.70.60.4求的分布律。解： 与相互独立 的联合分布律为： 1320.180.4240.120.28可见，0.1830.1250.4250.287故：3570.180.540.28例、在一简单电路中，两电阻和，设和相互独立，它们的概率密度为102010试求总电阻的概

8、率密度。解： 二、的分布二维随机变量，概率密度函数为，的概率密度，当与相互独立时，事实上， 例、设分别表示两只不同型号的灯泡的寿命，相互独立，它们的概率密度依次为 求的概率密度。解： 当时，当时，（时，被积函数为0） 三、及的分布设相互独立，分布函数分别为和1、分布函数 2、分布函数注：（推广）相互独立的随机变量， 若相互独立且分布函数相同时，例、设系统由两个相互独立的子系统，连接而成，连接的方式分别为（1）串联，（2）并联，（3）备用（当系统损坏，系统开始工作），如图所示。设，的寿命分别为，已知它们的概率密度分别为 其中，且。试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度。解：（1）串联情况： （2）并联情况：（3）备用情况：当时，当时， 例、设随机变量的分布律为0123