A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题及练习

1、精品文档相似三角形的判定一.知识点讲解1.相似三角形的定义(1)相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。图所示，ABC与.DEF 相似,记作“ABCs.DEF”，读作ABC相似于.：DEF 。n(2) 相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。(3) 注意：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。2相似三角形相似比是有顺序的。(1)判定定理1:AA文字语言数学语言图形如果一个三角形的两个角分别与另 一个三角形的两个角对应相等，那A = A上3 = B/AA,r/么这两个三角形相似。(简记为：两角分别相等的两个三 角形相似。)二A A

2、BCSABCR3全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。4用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2.平行线截三角形相似的定理(1) 平行线截三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似。(2) 数学表达式：DE/ BC.ABCsDEF(2】(3)判定定理3:SSS文字语言数学语言图形_如果一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例，那么 这两个三角形相似。(简记为：三边成比例的两个三角 形相似。)_ ABACBCA一AC一B/C/二也ABC sA/B/C/厂IV(4)判定定理4

3、:HL文字语言数学语言图形如果一个直角三角形的斜边和一条ABACBC-直角边与另一个直角三角形的斜边A/B/A/C/B/C/A*和一条直角边对应成比例，那么这二A ABC s A/B/C/两个三角形相似。A IAcB CB(简记为：三边成比例的两个三角形相似。)3.相似三角形的判定定理文字语言数学语言图形如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似。(简记为：两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似。)八ABAC日/A y A/=7 ,化A=NAA/B/A/C/二人ABC sA/B/C/(2)判定定理2:SAS精品文档精品文档精品文档精品文档4.

4、相似三角形的基本类型5.相似三角形判定思路A 字型8字型双垂直型AU C相似三角形的基本类型一线三等角型一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中.123，可根据.1 =180 I. 4/5,. 2 =180/4/6，得图中两个阴影部分三角形相似。一线三垂直型一践三垂肖常存在的背星圈飛判定思路有平行截线1平行线截三角形相似的定理2用平行线的性质，找等角有一组等角1找另一对等角2找该角的两边对应成比例直角三角形1找一组锐角相等2两组边对应成比例等腰三角形1找顶角相等2一组底角相等3底和腰对应成比例有两组边对应成比例1夹角相等2第三组边也对应成比例3有一组直角

5、精品文档精品文档AF=2cm DF=4cm AG=3cn,贝U AC的长为(A.9cm B.14cm C15cm D.18cm二.考点讲解变式练习：如图，在平行四边形ABCD中，AE = EB,AF =2，贝U FC二.DA E - B考点 1 ：利用相似二角形的定义判定两二角形相似1.如图所示，在AABC中，DE/BC .（1）求 AD, JA1,的值；（2）. ADE 与ABC相似吗？为什么?ABAC BCC考点 5:利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例5.如图所示， P 是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点，AP 分别交 BD 和CD于点 M 和N .求证:AM2=MN MP

6、 .考点 2:利用相似三角形的定义确定相似比2.如图，已知QACsQBD,且0A=4, AC=2, 0B =2 .求:（1）：OAC与.OBD的相似比；（2）BD的长。变式练习：如图所示，ABCs. ACD ,下列式子不成立的是（A.AB BCAC CDB.AC ABAD ACC.AC2=AD ABD.AB ACBC AD考点 3:利用平行线识别相似三角形3.如图所示，在?ABCD中,BE交AC, CD于G F,交AD的延长线于E, 的相似三角形有（）)则图中EA. 3对B.4对C.5对D.6对变式练习：如图，ABC中，DE/ BC EF/ AB则图中相似三角形的对数是（A.1对B.2对C.3

7、对D.4对考点 4:利用证相似三角形求线段的长4.如图，在平行四边形ABCD中,E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G)变式练习：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，且AB = 2CD，点 E , F 分别是AB, BC的中点，EF 与 BD 相交于 点 M.（1）求证：.：EDMs.：FBM;（2）若DB = 9，求 BM 的长。考点 6:利用两角分别相等证明两三角形相似6.如图所示，在.：ABC中，AD是乙BAC的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于点 E，交BC的延长线于点 F。求证：.：ABFs.QAF .变式练习：如图，在等边三角形ABC中，点D, E分别在BC, AB上，

8、且/ADE=60求证：ADSADEB精品文档精品文档精品文档精品文档9.如图，已知0是厶ABC内一点，D、E、F分别是OA OB 0C的中点.求证：ABSADEF考点&利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似8.如图，在ABC中，已知AB=AC D E、B、C在同一条直线上，且AB2=BD?CE求证：ABBAECA变式练习：在Rt ABC和Rt：FED中，C = 90,AB=10,AC=8,. D=90,EF = 5，当 DF 二_ 时，Rt：ABCsRt：FED .三.基础题型讲解基础题型 1：添加条件来说明三角形相似1.如图，点P在厶ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到

9、ABPSAACB那么以下添加的条件中，不正A.ZABP2CB. ZAPB2ABC C.AB2=AP?ACD变式练习：如图，.1=2，添加一个条件 _ ，使得 ADEs.lACB考点 9：利用三边对应成比例判定三角形相似考点 7:利用相似二角形证明等积式变式练习：如图，小正方形的边长均为变式练习：已知：如图，平行四边形 线上，且OE =0B,连接 DE。求证：Ai)7.如图所示，在 ABC中，.BAC =90 : BC的垂直平分线交BC于点 D,交 AB 于 E,交CA的延长线于 F.求证:DA2=DE DF .1，则下列图中的三角形C.（阴影部分）与厶ABC相似的是（）考点 10：利用直角三角

10、形相似的判定方法判定两直角三角形相似10.已知在Rt：ABC与Rf：A/B/C/中，C = . C，= 90 , AB = 6cm,AC = 4.8cm,A/B 5cm,B/C 3cm。求证.:ABCsA/B/C/.变式练习：如图所示，在正方形ABCD中，P 是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点。确的是（）求证：ADQs. QCPAB ACBP - CB精品文档基础题型 2:寻找图形中相似三角形的对数2.如图， 在平行四边形ABCD中， 过点 B 的直线与对角线AC,边 AD 分别交于点 E， F 过点E作EG/ BC,交 AB 于点G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D

11、.7对5.如图所示，在正方形ABCD中，AB= 2 ,P 是BC边上与点B,C不重合的任意一点，DQ_ AP于点Q,（1）试说明.:DAQs.SPB;（2） 当点 P 在BC上运动时，线段DQ也随之变化。设PA=x,DQ=y，求y与 x 之间的函数表达式。变式练习：如图所示，P 为线段 AB 上一点,G,则图中相似三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4AD 与BC交于 E, . CPD =. A = . B , BC交 PD 于 F,AD 交PC于基础题型 3:相似三角形判定定理的应用3.如图所示，在.ABC中，BD,CE是高，（1）求证：ADE. ABC。（2）若EC与 BD 交于点0，

12、则.OEDs变式练习：如图所示，AABC为正三角形，D,E分别是AC, BC上的点（不在顶点），.BDE = 60 .OBC .（1）求证：,：DECs.：BDA;（2）若正三角形的边长为4，并设DC = x,BE = y，试求y与 x 之间的函数表达式。变式练习：如图所示，RtABC中，已知/BAC=90,AB=AC=2点D在BC上运动（不能到达点B,C）,过点D作/ADE=45,DE交AC于点E.（2）当厶ADE是等腰三角形时，求AE的长.四.拔高题型讲解(1)求证：ABBADCEB D拔高题型 1 ：利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题1.已知： 如图所示，CD是Rt：ABC斜边 A

13、B 上的高， E 为CB的中点， ED 的延长线交CA的延长线于点 F。求证：ACCF=CBDF.基础题型 4:与相似三角形有关的分类讨论题A4.如图所示，点 P 是锐角三角形ABC中 AB 边上的一点，过点 P 作直线（不与直线 AB 重合）截厶ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 _条。变式练习：如图所示 M 是Rt ABC的斜边BC上异于B,C的一定点，过点 M 作直线截ABC,使截得的三角形与 ABC相似，这样的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条拔高题型 2:利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题2.如图所示，.：AOB是直角三角形,/AOB

14、 = 90,OB = 2OA,点 A 在反比例函数基础题型 5:相似三角形与函数的综合题精品文档y=精品文档精品文档k图像上。若点 B 在反比例函数y=的图像上，贝U k的值为()xA.-4B.4C.-2D.23.如图，一条直线与反比例函数y=k的图象交于A(1,4)、B(4,n)两点，与x轴交于D点，ACLx轴,x垂足为C.(1) 如图甲，求反比例函数的解析式；求n的值及D点坐标；(2)如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE作/CEF=45,EF交AC于F点.1试说明厶CDEAEAF2当ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标.拔高题型 4：利用相似三角形的定义进行规律探究5.如图，在ABC

15、中，/C=90,BC=16cm AC=12cm点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B C同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，CPQMCBA相似？6.如图所示，已知AB丄BD,CDL BD,AB=6, CD=4 BD=K点P在BD上移动，保持/APC=90但不与点B和点D重合口。(1)当k=14时，请问在BD上存在多少个P点，使以P, C,D为顶点的三角形与ABP相似？并求BP的长.(2)已知在BD上至少存在一个P点，使以P, C,拔高题型 3：利用相似三角形的判定和定义建立函数关系4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=m,

16、BC =8, E 为线段BC上的动点(不与点B,C重合)，连接 DE,过点 E作 EF _ DE,EF 与线段 BA 交于点 F，设CE=x ,BF=y。(1) 写出y关于 x 的函数表达式；(2) 若m =8，当 x 为何值时，y的值最大？最大值是多少？7.如图，在矩形ABCD中,AB=12cm BC=8cm点E、F、G分别从点A B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针 方向移动.点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点 随之停止移动.设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S(cm2)(1)当t=1秒时，S的值是多少？(2)写出S和t之

17、间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C G为顶点的三角 形相似？请说明理由.精品文档精品文档五.课后作业拔尖题型 5:和相似有关的存在型冋题8.如图所示，在ABC中，已知AB=AC=5, BC =6,且.:ABC也 CDEF,将.DEF 与.：ABC重合在一起，.：ABC不 动，JDEF 运动，并满足：点 E 在边BC上沿 B 到C的方向运动，且 DE 始终经过点 A，EF 与AC交于点 M.(1) 求证： ABEsECM;(2)在 JDEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长

18、；若不能，请说明理由。选择题1.如图，直线AB与？MNPQ勺四边所在直线分别交于A、B、C D,则图中的相似三角形有()A4对B5对C6对D7对2.与图中,：ABC相似的是()3.如图所示，在平行四边形 长为()16A.B.8C.103D.16ABCD中,EF/AB, DE : EA=2:3,EF=4,贝U CD的4.如图，点C、D在线段AB上, PCD是等边三角形，当ACSAPDB时，/APB的度数为( )A100B120C115D135拔尖题型6:相似三角形与折叠问题9.如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN再把B点叠在折痕线上，得到ABE过B点折纸片使D点 叠在直线AD上，得折痕

19、PQ(1) 求证：PBEAQAB(2) 你认为PBE和厶BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由。5.如图，在平行四边形ABCD中,E为AB的中点，F为AD上一点,AF=2cm DF=4cm AG=3cm贝U AC的长为（）A9cm B14cm C.15cm D18cm精品文档精品文档6.如图，在ABC中,AD 是中线，BC = 8, . B二/DAC ,则线段AC的长为（A.4 B.4,2C.6D.4、,37.如图，/A=ZB=90,AB=7, AD=2, BC=3,相似，则这样的P点共有（在边AB上取点P,使得PAMAPBC14.如图所示, 的三角形和以A.3B.3AB,BD

20、于M ,N两点。若 AM = 2,则线段ON的长为（B.乎C.1D.：ABC中，AB=6, AC =4,A,B,C为顶点的三角形相似，则C.3.62P 是AC的中点，过AQ的长为（D.P 点的直线交 AB 于点Q，若以A, P,Q为顶点）8.如图，在关系式是（Rt. ABC=90)内有边长分别为A. b =a cB.b =acC.b2=a2D. b =2a =2ca,b,c的三个正方形，则a,b,c满足的15.在.：ABC中,9.下列各组三角形中,两个三角形能够相似的是（二.填空题。D 为 AB 边上一点，且.BCD = . A，已知BC=2、2 ,AB= 3，贝UBD =A. iABC 中,

21、&中,J AABC 中,ZA=426,ZB=118T2 电中，AB=B AC = 4r ZA=105% AArBrGr中,AEr=16?A6 = 18, BC=20 CA=35?AA日中 Ar6r=36ZA=1 15, ZBr=15cBfCr=B) )CrAr=70D. AABC 和厶 NBC 中，有兰二=黑，C=ZCA nxf C10.已知ABC的三边长分别为6cm, 7.5cm,9cm,DEF的一边长为这两个三角形相似（）4cm,当厶DEF的另两边长是下列哪一组时,16.如图，在ABC中,第16题第17题第18题第19题A. 2 cm, 3 cm B.4 cm, 5 cm C.5

22、cm, 6 cm.6 cm,7 cm11.如图所示，在ABC中，.C =90,BC =6, D , E 分别在 AB ,A 落在点A处，若A为CE的中点，则折痕 DE 的长为（沿 DE 折叠，使点1A.丄B.22C.3D.4AC上,12.如图所示，在 长是（ABC中，AB =AC , /A =36, BD 平分/ABC交AC于点 D，若AC将ABC)ABAC D E分别为边AB AC上的点.AC=3AD AB=3AE点F为BC边上一点，添加一_，可以使得FDB与厶ADE相似.（只需写出一个）.如图，已知/A=ZD,要使ABBADEF还需添加一个条件，你添加的条件是（只需写一个条件，不添加辅助线

23、和字母）18.如图所示，D, E分别在ABC的边AB AC上,DE与BC不平行，当满足 有厶ABBAAED（只需写一个条件即可）条件时,B.、“51213.如图所示，正方形ABCD的对角线AC与 BD 相交于点0, ACB的平分线分别U U19.如图，矩形ABCD中,AD=2 AB=5 P为CD边上的动点，当ADP与厶BCP相似时，DP=120.如图，已知直线y=-x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,在x轴上有一点C,使B、O C三点构成的三2角形与AOB相似，则点C的坐标为精品文档精品文档第20题第21题26.如图所示，-:ABC中，CD是边 AB 上的高，且(1)求证：,:ACDs,CB

24、D；21.如图，AB丄CB于点B, ACL CD于点C,AB=6AC=10,当CD=时，ABCAACD22.如图，已知：/ACBdADC=90,AD=2, CD=2，当AB的长为_ 时，ACB与厶ADC相似.23.(1)四边形ABCD中,AD/ BC, /A=90,AD=2cm AB=7cm BC=3cm试在AB边上确定P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.则AP的长是_.(2)如图，平面直角坐标系中，已知点A(4,0)和点B(0,3),点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线。卩截厶AOB所得的三角形与厶AOB相似，那么点P的坐标是_。(2)求.ACB的

25、大小。27.如图，AC/EF/BD,求证:丄.丄AC BD_ 1EFAD CDCD第23题(2)28.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F,求证：DESABED24.如图，在Rt ABC中，AB=：BC,. B =90, AC =10 2四边形 BDEF 是ABC的内接正方形(点D,E,F在三角形的边上)，则此正方形的面积是。29.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB = AC,D 为CB延长线上一点， E 为BC延长线上一点，ABDB CE。三解答题。25.如图，在ABC中，AD=DB/ 仁/2.求证：ABCAEAD(1)求证： :ADBs: EAC;(2)若/BAC

26、-40 ,求乙 DAE 的度数。精品文档30.如图，在平面直角坐标系中,A 点坐标为(8,0), B 点坐标为(0,6),C是线段 AB 的中点。请问在 x 轴上是否如图 ，若.ABC =45 , . A=/BMP = 60直接写出 BP 的长。存在一点 P，使得以P,A,C为顶点的三角形与.AOB相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由。31.如图所示， 网格中的每个小正方形的边长都是 格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F。(1)求证：.ACBsDCE;1，每个小正方形的顶点叫做格点。AACB和.：DCE的顶点都在TXTXruruT T T T + + ITIT 4 4 rlr

27、rlr- -r r LILI r r LILI h h JrklJrklrJ LL_L_ IrLIrLT1T132.如图所示，正方形ABCD中，M 为BC上一点，F 是 AM 的中点，EF _ AM,垂足为 F，且 EF 交 AD 的延长 线于点 E，交DC于点N。(1) 求证：.ABMs. EFA ;(2) 若 AB =12, BM =5,求 DE 的长。33.在ABC中，P 为边 AB 上一点。(1)如图，若ZACP ZB ,求证：ACAP AB.(2)若 M 为CP的中点，AC =2。如图，若 PBM = ACP, AB=3,求 BP 的长；精品文档34.如图，直线y = ax1与 x

28、轴、y轴分别相交于A,B两点，与双曲线y =(x 0)相交于点 P ,PC_ x轴于x点C，且PC =2，点 A 的坐标为(_2,0)。(1)求双曲线对应的函数表达式；(2)若点Q为双曲线上点 P 右侧的一点，且QH_x轴于 H，当以点Q,C,H为顶点的三角形与.：AOB相似时， 求点Q的坐标。四优选题1、如图已知，ABC中，AB=5,(1)当厶PQC的面积与四边形(2)当厶PQC的周长与四边形BC=3,AC=4,PQ/ AB,PABQ的面积相等时，求PABQ的周长相等时，求P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上。CP的长。CP的长。(3)试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直

29、角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在, 请求出PQ的长。精品文档精品文档3、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF丄EC交AB于F,连结FC(ABAE)。(1)AEF与厶EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。AB(2)设一 =k，是否存在这样的k值，使得AEF与厶BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值;BC若不存在，说明理由。12 2(2、已知抛物线yx23mx - 18m2-m与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(捲：x2)两点，与y轴交于8点C(0,b) ,O为坐标原点。(1) 求m的取值范围；1(2)若m,OA+OB=3OC,求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标；18(3)在(2)的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发(如图)以相同的速度沿AB、OC向B、C运动, 连结PQ与BC交于M，设AP=k，问是否存在k值，使以P、B