空间向量与立体几何空间向量的数乘运算

1、3. 1.2空间向量的数乘运算 对点讲练知识点一空间向量的运算»例1(1)化简已知ABCD A B C D'是平行六面体.12"AA' BC AB233M是底面 ABCD 的中心，N是侧面 BCC ' B '对角线 BC '上的分点，设 MN = ： AB 一 AD 加,试求a , 3 Y的值设解(1)方法一取AA '的中点为E,则1AA' = EA'2又= A' D ',7B =D'c',取F为D' C'的一个三等分点(D' F=),2 则 D '

2、; F= AB31-AA' +2BC+2忌EA' + 忌'+ 訐3EF方法二取AB2 的三等分点P使得PB AB ,3212BC + AB = CC ' BC AB 二323CQ =PQ,1 F Q,则 AA' +2CQ BC PB = PB BC取CC '的中点10 / 61 3 (2) MN -MB BN DB BC'2 41 3=(DA AB) (BC CC ')=丄(一忒鼠3(0亦=丄益1忒3航242442 41 32 '41Q13-a= 2，a4，尸4【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则

3、， 到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算本题第一问是开放式的表达式， 形式不唯一，有多种解法.桶平曹如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCD，tM分AC成的比为1 N分心成的比为1，N分心成的比为2,设AB = a，AD = b，心J2=c，试用a、b、c表示MN，I T I iT T 2T解 MN =MA AAi AiN CA AAi AiD3312= AC AA1(A1A AD)331 2 =-3(a+ b) + c+ 3( c+ b)1 1 1=3a+3 b+ 尹知识点二共线问题_、匚丄设空间四点O, A , B, P满足OPmOA，nOB,其中m+n=1，则()A .点P 一

4、定在直线AB上B .点P 一定不在直线AB上C. 点P可能在直线AB上，也可能不在直线 AB上D. AB与aP与AP的方向一定相同答案A解析已知m：n=1 ,贝则二 OP -OA = n(OB -OA)二 AP = nAB共线，即点A , P, B共线，故选A .【反思感悟】(1)考察点P是否在直线 ABI I (2)解决本题的关键是利用条件r rAP与AB是否共线.已知A、B、P三点共线，0为空间任意一点，求a + 3的值.解TA、B、P三点共线T t T T T T- n, OP = (1 - n)OA nOB =0A -nOA nOBT T » TT T丨 因为AB 工0.所以

5、 AP和 ABIIr r上，只需考察AP与AB是否共线；m+n=1把证明三点共线问题转化为证明OP0A解TA、B、P三点共线二共线向量知， 存在实数t，使AP =t AB .r T r r T r由 =OP /A, qB = OB -OAOP 二(1 当A tOB ；又由已知 OP OA - OB ,. a= 1 t, 3= t,二 a+ 3= 1. 知识点三共面问题 k ：'已知 E, F,(1)求证：E, F , G , 求证：BD /平面证明 (1)由已知得EF綊HG ,代入得:G , H分别是空间四边形 ABCD的边AB, BC, CD , DA的中点. H四点共面；EFGH

6、.FG , HG不共线，HG,eg,fg,hg,共面且有公共点G,H四点共面.T T T T T T-HG(2) B BF FG GD = EF - EB 耳 EF HD =EG (AH - AE) - HG 二 EG' EHHGT J T T T-EG E GH .GH 二 2EG 2GH EG与GH不共线， BD, EG, GH共面.由于BD不在平面 EFGH内，所以 BD /平面EFGH .【反思感悟】利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量 表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化.用向量法证明：空间四边形 ABCD的四边中点 M, N

7、 , P,Q共面.蛮式迁移3I I证明 AMQ 中，MQ = MA AQ 11 -=(BA AD) BD22 cnp 中，nP=nc cP = MQ 二 NP,所以 M,N,P,Q所以11(BC CD) BD22四点共面课堂小结：1向量共线的充要条件及其应用(1) 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a, b共线时，表示 a, b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a / b时，也具有同样的意义.(2) “共线”这个概念具有自反性a / a,也具有对称性，即若 a / b,则b/ a.(3) 如果应用上述结论判断a, b所在的直线平行，还需说明a(或

8、b)上有一点不在 b(或a) 上._昱_斗AB = ?bC或AB = 屁即可.也可用“对空间任意一点0,有OB = tOA + (1 -t)OC”来证明三点共线.2向量共面的充要条件的理解MP = xMA + yMB.满足这个关系式的点 P都在平面MAB内；反之，平面 MAB内的任 一点P都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面.(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空 间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具.另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x, y,

9、 z)使得对于空间任意一点 O,有OB = (1 t)OA = xOA + yOB + zOC,且x + y+ z= 1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据.课时作业一、选择题1 .下列命题中是真命题的是 ()A .分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B .若|a|= |b|,则a, b的长度相等而方向相同或相反TT T t T t T tC. 若向量 AB,CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，贝U AB > CDT IT ITD. 若两个非零向量 AB与CD满足AB + CD =0，则AB答案D解析A错.因为

10、空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B错.因为a 1= |b仅表示a与b的模相等，与方向无关.C错因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有/ CDAB>CD这种写法.AB +CD=O,. AB = -CD， AB与CD 共线，故 AB /CD，正确2.满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是（）AB + BC= AC- -AB BC= ACAB = BCI-| AB |= |BC|C.D.答案C3.在下列等式中，使点 M与点A，B，- - -OM = 2OA OB OC1 1 1 OM = 5OA+30B+2OC- -MA + M

11、B + MC = 0- - -D. OM + OA+ OB + OC = 0 答案CMA =xMB + yMC，贝V M解析若有C 一定共面的是（）与点A、B、C共面，或者 OM = xOA + yOB + zOC且x+ y+ z= 1，贝U M 与点 A、B、C 共面， xMB + yMC，故选 C.4已知向量a与b不共线，则a， （）A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案B 解析验证必要性时，当a，b，c共面且a / c（或 b / c）时不能成立, 5.在平行六面体ABCD-A iBiCiDi中，向量DiA,DiC,ACiA .有相同起点

12、的向量B .等长向量C. 共面向量D. 不共面向量 答案C 解析如图所示，因为 _DiC - DiA二A。而AC ; AiCi, j DC ：DiA A© ，即 DiC DiA AiCi ,而 以 DiC，DiA，AiCi三向量共面A、B、D三项不满足 x+ y+ z= 1, C项满足MA =b, c共面是存在两个非零常数人使c= ?a+ pb的不能使入都非零.()二、填空题6. 已知P和不共线三点A, B, C四点共面且对于空间任一点0,都有OP = 2OA + OB+ qc，贝y .答案2解析P与不共线三点A, B, C共面，且OP = xOA + yOB + zOC(x, y,

13、 z R)，贝U x+ y + z= 1是四点共面的充要条件.7. 三个向量xa yb, yb zc, zc xa的关系是 .(填"共面""不共面”"无 法确定是否共面”).答案共面解析因 xa yb, yb zc, zc xa也是三个向量， 且有 zc xa = (yb zc) (xa yb)所以 三向量共面.8在平行四边形 ABCD中,AC与BD交于点0,E是线段0D的中点,AE的延长线与 CDtt r交于点F若 AC=a, B BD = b,则AF等于.2 1答案3a + §b三、解答题9 如图所示，E, F, G,H 分别为正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1的中点.求证：(1)E, F, D, B四点共面；平面 AEF /平面 BDHG . 4证明（1 ）ED =EB BD =EB B1D；, ED,EB, EF共面且具有公共点 E, E, F, D, B四点共面./ E, F, G , H 分别是 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中点,EF = 2B1D1 = GH , EF / GH , AF / BG , EF /平面 BDHG , AF /平面 BDHG ,又 AF n EF = F ,