空气动力学基础

1、我 把 Introduction to flight 的 第 四 章 Basic aerodynamics 略读了一遍，提炼了其中的重点要点， 将其总结在一起分享给同学们，希望对大家空气动力 学的学习有所帮助。这个文档内容涉及的气流都是无 黏的（书 134228 页），没有包含黏性研究的部分。 因为领域导论书对黏性没怎么研究，基本都是只给结 论，所以就不总结了。本文档包括两部分，一是一些 基本方程，二是这些方程的一些应用。我读书只是蜻蜓点水，对一些公式的理解可能有 错误；写的只是大致的推导过程，难免有不细致严谨 之处；对一些英文的翻译可能不标准，同时可能输入 有误。希望大家批评指正、私下交流。

2、真心希望我们 共同为之润色添彩，使其更加准确无误。同时，大家 有什么学习资料都记得共享啊，让我们共同进步！大家可以再看看领域导论书，看了这个总结，再 看书就比较简单了。看书最好也看看例题，例题不仅 是对公式的简单应用，而且有些还包含新的知识，能 增进我们对公式的理解。这些内容只能算是一些变来变去的简单代数问 题，大家不要有压力。不过有几条注意事项：1、注意公式的限定条件，避免错误地加以应用。2、大物书上的理想气体方程是 Pv= RT,其中的 R是普适气体常量(universal gas constant),领域导论书上的P=p RT是经过变换的等价形式， 其中的R是个别气体常量(specifi

3、c gas constant)，等于普适气体常量 R普适/M，大家变一 下马上就懂了。2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好像不太强调质量和体积，可能是因为空气动力学研究没必要 也不方便强调。在一、基本方程7、能量方程的推导中，v=1/ P,这里的1应理解为单位质量， 后面的能量方程中的V2也包含单位质量1,不然与 h的量纲就不统一了；在二、公式应用一一 3、空 速测定一一C、高速亚声速流中，我们可以看出在 本书中,Pv=RT同样把大物书上的状态方程PvR 普适T中的m当成单位质量1,并利用普适气体常量 和个别气体常量的关系 R个别=R普适/M,即可推出 Pv=RT3、本书中涉及到比热(spec

4、ific heat )，用6 (对于等体过程)和cp (对于等压过程)在表示。我们在大物中也学有Cv和Cp，不过它们不一样，不要混淆。大物中那两个是摩尔热容(molar heat capacity ),分别为定体摩尔热容(molar heat capacity at con sta nt volume)和定压摩尔热容(molar heat capacity at constant pressure )。 对比起来有(下式中R个指个别气体常量，R普指普 适气体常量，i指分子自由度，丫指热容比)：比热摩尔热容1+2LCp二，R 个ci + 2Cp=p- c v= R 普i + 2YCp- c v=

5、 R 个cp i 4- 2cv iY4、小写v代表体积，大写V代表速度，注意区分, 其他字母符号的意义大家应该都能弄懂。一、基本方程1、连续方程dmi= p 1 dv 1= p 1A1V1 dt = p 2A2V2 dt=dm2贝UP 朮卍1 = p 2A2V2p AV=const对于不可压缩流，P 1=P 2,则AiVi= A2V22、 欧拉方程（忽略了黏性和重力）在一个边长分别为dx dy dz的长方体流体元的x方 向进行研究，忽略重力和黏性，朝向 x正方向的力 为P dy dz压强的变化率为dPdx则朝向x负方向的力为dP（P+ dx） dy dz则合力F=P dy dz -(dPdy

6、dz=- (dx dy dz)m= p dv= p (dx dy dz,(IVdVdx=;=dxdt-dxF=ma化简得dP=-p V dV3、伯努利方程（忽略了黏性和重力，适用于不可压缩流）对于不可压缩流，P不变，对欧拉方程进行积分，易得Pi+ p Vi2= P2+ P V22即p+ p V在一条流线上是常量，其中| p V就是传 说中的动压，用q表示，对于不可压缩流，P+ p V 等于总压，我们在方程的应用中会再提及。4、关于热力学第一定律系统的内能增量=外界传热+外界做功，即de= 5 q + 5 w其中5 w=-P dv（压缩，所以v减小，dv是负值，所以有负号）则5 q=de+P d

7、v定义焓h=e+Pv做微分得dh=de+v dP + P dv与上式一起消去de得8 q=dh- v dP5、内能与焓定义比热(specific heat )C=，即系统增加单位温度所吸收的热量等体过程的比热写作Cv，等压过程的比热写作Cp 对于等体过程dv=0代入8 q=de+P dv可得de= 8 q=Cv dT从e=0和T=0积分得e= c vT我们在大物中学的是e=R普T, m还是要当做单位M2质量1,推出e=R个T= CvTo因此，它们是等价的。对于等压过程dP=0代入8 q=dh- v dPdh= 8 q=Cp dT从h=0和T=0积分得h= CpTde=Cv dT , e= cv

8、T, dh=Cp dT, h= CpT四式虽然是从等体过程和等压过程推出的，但 对于 理想气体是普遍适用的。6、等熵过程（适用于等熵过程）对于等熵流（绝热可逆）8 q=0代入8 q=de+P dv 和 8 q=dh- v dP贝U-P dv=de = c v dT , v dP=dh= c p dT两式相除得dPdvF =-Y V其中定义了热容比Y =Cp/C v对于空气，丫 =1.4，应该是因为空气的绝大部分是氮气和氧气，都是双原子分子，分子自由度 i=5,根据大物中学的热容比丫 =，可得丫 =1.4。再积分cP2_J pi帀P2_ v2?1=1)把体积换成密度得可=（阪）同时借助状态方程p

9、 =P/(RT)在有P的那个式子中消去P或借助我们熟悉的形式（大物书上的）Pv= ： RTM在有v的那个式子中消去v可得P2Pl(篇)Y /( Y -1)总结:即Pp -丫 =常量，PT-1T丫 =常量把大物书上的式子中的体积换为密度，就跟这个完 全一样了7、能量方程（适用于无黏）对于绝热过程8 q=dh- v dP=O代入欧拉方程dP=-p V dV得dh+v p V dV=0v=1/ p （这里的v应理解为单位质量的体积） 则dh+V dV=0做积分得hi+Vi= h 2+V2，即 h+V=常量代入h= Cp TCp Ti+v2i= c p T2+V2, 即卩 Cp T+V2二常量2Z2对

10、于非绝热过程可得做积分得也可写为8 qz 08 q=dh+VdVCpTi+)V1+ Qi2= c p T2+,V2J話 q=J：测hi+ Vi+Qh= h8个重要结论对于等熵流，总温To，总压P)，总密度p 0是定值总温(total temperature)，总压(total pressure)，总密度(total density)定义：Total temperature/pressure/de nsity at a give npoint in a flow is the temperature/pressure/density that would exist if the flow we

11、re slowed down isentropically （等熵地） to zero velocity二、 公式应用1、声速公式的推导由于声波穿过气流与气流以声速穿过声波等价， 因此可用后者来研究在声波两侧，设气流压强分别为 P 和 P+dP密度P和P +dp温度 T 和 T+dT速度 a 和 a+da应用连续方程有P A1a=（P +dP） A2（a+da）A=A,贝Ua=（P +dP）（a+da）展开，再忽略无穷小量d p da,可得daa=- P 环代入欧拉方程dP=- p a da，即 da=可得dp通过声波的气流是等熵流，则YP/ p =const=c因此. Y=c p =CYpY

12、 -1代入C= P/ p Y,得2a=Y对于理想气体，可以再代入状态方程 P=p RT最终得出a=可以看出，理想气体中的声速仅与温度有关2、低速亚声速风洞设 Settling chamber ( reservoir ) 禾口 Testsection 的气流速度分别为Vi, V2压强分别为Pi，P2面积分别为Ai, A通过低速亚声速风洞的气流可以看作不可压缩 流，由连续方程和伯努利方程可得Vi晋 V2 , Pi+ P Vi2= P2+ P V22联立两式消去Vi,可得12 (P1-P2)Vf仲”屮1-)IA/A i对于给定风洞是定值，要想调节 Testsection的速度大小，可以调节R-P2。

13、以前人们用U型管分别连接Settling chamber(reservoir ) 和 Test section 来测 P1-P2，现在我们工艺先进，通过压力传感器实现3、空速测定A 设备：总压管(Pitot tube)，空速管(Pitot-static tube)B、对于低速亚声速流(MvO.3)在上图中空速管上的A点压强为静压P,速度为Vi在B点压强为总压P0,速度为0应用伯努利方程得Po= P+ p M2可得、，2 （PO- P）ViH定义动压q= p V （此定义式对所有气流都成立）可得2Po= P+q （注意此式和Po= P+ p Vi只对不可压缩流成立）可见：只要设法获得P0- P和

14、p的值，就能求出速度，F0- P的测定通过空速管或总压管可以实现。 对于P,若使用真值(true value ，即设法测的飞机 周围的p),则获得真实空速(true airspeed )Vtrue但是测定飞机周围的P比较难， 所以低速飞机计 算时都是用的标准海平面密度p S，获得当量空速(equivale nt airspeed )Vr山其实当量空速有更深层次的意义：Con sider anairplane flying at sometrue airspeed at some altitude .Its equivale nt airspeed at this condition is de

15、fined as the velocity at which it would have to fly at standard sea level to experie nee the same dyn amic pressure.给定了当量空速，就相当于给定了动压。当量空速的概念十分重要，在研究飞行表现时很有用。C 对于高速亚声速流(0.3VMV1)h=e+Pv=e+RT即卩 CpT=gT+RT可得Cp-c v=R根据Y = C p/ C v可得气流在空速管或总压管前的探针前的停滞点(stagnation point)处从最开始温度 Ti和速度V1的状态等熵静止，速度变为0，因此温度为总温(

16、total temperature ) To，压强 为总压(totalpressure)P。，在此过程应用能量方程得CpT%V12= c pT变换等式可得TO2cpTl代入CP誥可得又声速2ai = y RTi则：=1甲=14?皿2(只要求是绝热过程)Tl| 2 al2 2结合等熵过程方程P0 _(P。) Y _ (丁Y /( Y -1)可得_ (1+M2)Y/( Y -1),_(1+M2) 1/( Y -1)(要求是等熵过程)由上式可得22 PO ( Y _1)/ YM_(“Y 1 Y 勺因此，通过总压和静压的比值可以直接求出马赫数代入M=V/a iVi2al2r, PQ、 円(丙)(Y -

17、1)/Y -1也可写为因为实践中一般获得Po-Pi,所以上式用得较多而且，由于T难以测量，即a难以获得，静压Pi也难 测，所以高速亚声速飞机一般用标准海平面的声速和 压强as禾口 Ps代入上式。airspeed indicator 会感应F0-Pi的值。从而获得校正空速(calibrated airspeed)Val(P0-P1 八+1)(Y -1)/-1D 对于超声速流在超声速流中，物体前会产生激波(shock wave), 在一个流体元穿越激波前后：马赫数减小静压增加静温增加速度减小总压减小总温不变由于激波的产生(产生的大致原理在P206),穿越激波的气流不是等熵流。空速测定的理论非常 复

18、杂，书上只给了最后结果，称为Rayleigh Pitot tube formula: 匸十：- 圧】八 Y /( Y -1)其中，P)2为激波后的总压，P1为自由流静压，由飞 机表面的静压孔(static pressure orifice )测 量，由此推出马赫数。若想推出空速，还需要其 他信息。4、超声速风洞和火箭发动机由连续方程知p AV=const取对数再做微分，得肚+空=0p A V由欧拉方程dP=-p V dV得VdV代入上式，可得由于气流是等熵流,所以i丽=4鬧tropic代入上式，可得JA 2 収入=（-1）帀称为 area-velocity relation由此关系式可知:对于

19、亚声速流（Mv）要使速度增加，面积必须减小对于超声速流（M）要使速度增加，面积必须增大若M=1dV1 dAlt/AV M2-l A0 A咋一看无限大了，不过显然:是有限大的，因此：需使=0,构成0/0型不定型极限，以此来使得的值为有限大反过来可以看出:当dA/A=0时，M=1即stream tube 有最小面积 时，M=1称此处为throatTherefore ,to expa nd a gas to supers onicspeeds, starting with a stagnant gas in areservoir , the precedi ng discussi on that aduct of sufficie ntly con verg in g-