概率论2007A卷

1、校训 信 債从待人 专咅臣信谤矛A11/ 12上海立信会计学院 20082009学年第二学期2007级本科概率论与数理统计期终考试试卷（A）（本场考试属 闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器） 共8页得分评卷人审核人学院班级学号姓名题号(10%)(10%)(44%)四(32%)五(4%)总分合成人签名审核人签名得分一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求 的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。B. P(A B) =1 - P(A)D. P(B - A) =11设A, B为两个事件，且B A，则A. P(A B)二 P(A) P(B)C.

2、P(A B) =P(A) P(B)A. F|(x) =«2x 02 勻0 其他0X £0-1B. F2(x)= x 0-x ：1 C. F3(x)二 xx ： T0 x ： 0-1_x ：1 D. F4(x)二 2x 0_x ：11 x-11 x-12 x-1量X为2人中的女生数，则X的分布列为()A. X12B. X01C.X012D. X012P8128P2_8_1P111P- 一1515515515153332 某学习小组有4名男生2名女生共6个同学，从中任选2人作为学习小组长，设随机变3 .下列各函数可作为随机变量分布函数的是( )B.无论总体服从什么分布，1 nX

3、Xi是总体均值的无偏估计量n i 4C.无论总体服从什么分布，1 n _s2二(Xj _ x)2 ( n _ 2)是总体方差的无偏估计量n 1 i 二4 .下列结论不一定正确的是( )A.总体未知参数的估计量一定是统计量D.若劣是的两个估计量，如果 D(£) ：:D($)，则比$有效5.假设检验是根据样本统计量的观测值是否落入H 0的否定域而对原假设 H 0作出拒绝或接受的推断，因此推断结论( )A.只可能犯第I类(弃真)错误B.只可能犯第n类(取伪)错误C.两类错误均可能犯D.不可能犯错误得分评卷人审核人二、填空题(每题2分，共10分)1.已知随机变量 X服从参数为的泊松分布-()

4、, PX =0 =e'，则二2.设随机变量X的密度函数为f(xj缶0一 1 ： x ： 1其他则常数C =13设 X b(10,2), Y N(2,10)，又 E(XY) =14，则 X 与Y 的相关系数 * 二-|14设(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)二 8(xy), 0 ： x ： 22： y ： 4，且区域0其他D = '(x, y) | x y 乞 3：，则概率 P( X,Y) D =5设总体X服从0,2日上的均匀分布(未知参数日0), (X-X2,，Xn)为取自总体X的样本，则二的矩估计得分评卷人审核人三、计算题(共5题，共44分，解答各题必须 写出必要步骤)

5、1 .(本题6分)为了解甲、乙两种报纸在青年学生中的影响，经调查，某校学生中订阅甲报的有30%，订阅乙报的有 25 %，同时订阅两种报纸的有10%，记事件 A, =学生订阅甲报 , A -学生订阅乙报 o(1 )用a表示事件只订一种报纸并求其概率；(2 )用A表示事件两种报纸都不订并求其概率。卩X|2.(本题10分)设随机变量 X的概率密度函数为：fx(x)4_ 2- 2 ： x ： 2 其他fY(y)。(1)求x的分布函数Fx(x) ; (2)令Y = X ，求Y的概率密度3 （本题16分）设二维离散型随机变量 （X,Y）的概率分布如右图，试求：（1 ）分别关于 X、Y的边缘概率分布，并判

6、断X与Y的独立性；（2）协方差 cov（X,Y）；（3）概率 PX Y；（4 ）在X = 0的条件下Y的条件分布律；（5）随机变量Z =X2Y的概率分布。7-103120-215150234151515121015154. (本题6分)设二维随机变量 (X,Y)的密度函数为:f(x,y)=< 210x y 0兰y兰x兰10其他(1) 求(X,Y)分别关于X和Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y)；(2) 判断X与Y是否相互独立，并求条件密度函数fY|X (y | 0.5)。5. (本题6分)设总体 X的密度函数为：启x® 0 c x < 1f(x;0)=x0 一:'

7、;(其中日>0为未知参数)0 其他设Xi,X2,Xn是取自总体X的样本，其观测值为 Xi,X2,，Xn，试求参数二的极大似然估计。得分评卷人审核人综合应用题（共4题，每题8分，共32 分）1. 设车间生产的产品以100件为一批，每批中随机抽取10件检测，若发现次品则认为该批 产品不合格。设每批产品中的次品数等可能的为0件，1件，2件，3件。求：（1）每批产品可以通过检验的概率:-；（2）如果某批产品已经通过检验，则该批产品中恰有3件次品的概率1。2 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。（1）试写出随

8、机变量 X的概率分布；2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值。1.51=0.9332,：2 =0.9772,：2.51=0.9938,：（3）=0.9987）3来某城市的旅游者其消费额X （单位：元）服从正态分布N（；2），从中随机地调查25个旅游者，算得平均消费额X二2386元，样本标准差s二218元。试求：（1）旅游者消费额标准差 二的置信水平为95 %的置信区间；（2） 旅游者消费额均值 的置信水平为95%的（单侧）置信下限。（尤0.025（24） =39.36 ,尤0.05（24） =36.42 ,尤。的（24） = 12.40 ,（24） = 13.

9、85 ,t°.05（24） =1.71, t0.025（24） =2.06）4. 2007年在某地区分行业调查职工平均工资情况：已知医药卫生行业职工工资X （单位:元）N（1，；1）；文化教育行业职工工资 Y （单位：元）N（2»2）。从总体X中调 查21人，平均工资X =3286元，标准差s = 318元，从总体Y中调查16人，平均工资 y =2872元，标准差s2 -287元，试在显著性水平-0.05下，检验这两大类行业职工 工资有无显著差异。（F0.025（20,15） =2.76, F0.025（15,20） =2.57, t°.05（35） =1.69

10、, t°.025（35） = 2.03）得分评卷人审核人Xi,X2, ,Xn （ n 一 2 ）五、证明题（本题4分）设总体X的分布中有未知参数 -,是取自总体X的样本，若=?（X1,X2- ,Xn）是二的无偏估计量且D（诃.0,证明：F 不是二2的无偏估计量。2007级本科概率论与数理统计期终试卷（A）答案一、单项选择题：1. B 2. C 3. B 4. D 5. C15二、填空题：1. 1 2.3. 0.84.5. Xn24三、计算题：（共44分）1.【解】（本题6分）（1） 只订一种报纸=A,耳 A,Ap（a1a2 aa） = p（aa2）p（aa2）= p（a）p（a2）_

11、2P（aa2）= 0.3 0.25-2 0.1 =0.35（2） A1A2 -两种报纸都不订p(AAo = p(a1 a2)=1 -p(aa2)=1 -p(a)p(a2)- p(a1a2)=1 -(0.3 0.25-0.1) =0.55xfx (u)du =0;J 二2. 【解】(本题10分)+1(1)当 x 乞-2 时，fX(x) = 0, FX(x)二当一 2 x : 0 时，du =u248+1xx -uFx(x)二 J-fx(u)d Fx(x)x0 - u二fx(u)du = j2 24xxu1 2du 0严一 8U1 2(x 亠 4) +18(2)当 yf二当 x_2时，FX（x）二

12、X (u)du 二 1+101(4-x2)+ 4)x乞-2- 2 ： x ： 00 乞 x ： 2综上所述，Fx(x)二|i(x I 1< 0时，FY(y) = PY 乞 y二 PX2 乞 y =0, FY(y) =PY My =PX2 签 y0时，= P-、,y EX y二 Fx(，、y)-Fx(-.、y)x _2+1fY(y)= Fy'wo +1+1fY(y)二 Fy'(7)二 Fx'(,y) L -Fx'(. y)二1-2；y2、yj+1_ fx( y) . fx(- y) _2 772、y0 ： y 4y -4+1综上所述，fY （y）=4

13、6;:y ：: 4 其他+13.【解】（本题16 分）（1）因为X-103122Pi .555+2PX =3,Y =-2- PX=3PYY-201Pj131555+2= -2，所以X与Y不独立。+1(2)因为所以122EX = 1 031 , EY55512E(XY)-1(-2)311515_8 "15cov(X,Y)二 E(XY) - EX EYo 131=-2 0 1 5558 15彳 / 1、 11-1 ()=5151+1 +15+2+1(3)PX a Y=+ +0 + += 151515155+2丫 = yj-201卩丫十|Xp111326+2z-18-20191122p00

14、15151524(5)1 24.【解】（本题6分）f X+22忙、/ 八 r /、 f 10x ydy【解】（1） fx（X）=0''00空x空1其他5x40岂 x1其他+212fY(y) jy10X ydX00冬y辽1其他"O4、环y-y)00乞y乞1其他+2(2)因为 f (x, yp: fx(x)fY(y)，所以fY|x(y|0.5)二05X与Y不独立210 0.5 yfX (0.5)5 05+15.【解】（本题6 分）似然函数为In L 二ln20岂y空0.5其他二8y °厂弓+10 其他L(X1,X2, ,Xn,R 八 f (XiJ) 7 2(X1

15、X2i#Xn)9-( J -1)二 I n Xi，令nX In xi<i =t是二的极大似然估计4.1 15 / 12四、综合应用题(共32分)1 【解】(本题8分)设A =被检验的一批产品中恰有i件次品 (i = 0,1,2,3 ), B =该批产品被认为合格，(i 02,3):0.81,则A0,A, A2, A3是样本空间的一个划分，且有P(A)=丄41010CggC98P(B|A°)=1 , P(B|A) 寻=0.9 , P(B|A) 善C100C100C10P(B|A0 =品 0.73C100(1) 由全概率公式3 111 1 :二 P(B)P(A)P(B | AJ1

16、0.9 0.81 0.73 ： 0.86i z0(2) 由贝叶斯公式P(A3 |B)P(A3)P(B|A3)P(B)10.734 =0.21220.86【解】(本题8分)(1)设在抽查的100个索赔户中，被盗户数为 中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是Xb(100,0.2)，故X的概率分布为：X，贝U X可以看作100次重复独立试验0.2，因此PX 二 i二 G00 0.21 0.81002 (i =0,1,2,100 )14户且不多于 30户的概率即为事件14兰X兰30的概率，由(2)被盗索赔户不少于 中心极限定理得P14 EX 乞3030一100"2 L

17、9;14 100x0.2 'U100X0.2X0.8 丿1100x0.2x0.8 丿=(2.5) - ：(一1.5) =(2.5)：(1.5) -1 二 0.927【解】(本题8分)已知 x = 2386 , s=218 , n=25,=0.05 ,(1)则标准差二的1 - 置信区间为：(n - 1)s2 (n - 1)s2-1)I »2*4><218224汉218239.36 '飞 12.40= (170.23, 303.29)(2)丄的置信水平为100(1 -<-)的(单侧)置信下限为:s218J 二x 1-.( n -1) = 2386 1.71 =2311.44 元 JnV25【解】(本题8分)(1)建立统计假设 H0 :二IH1 :二：=匚2251 y=1.2277,52Fy "" F : F.f1