专题反比例函数与三角形四边形的面积等

1、.反比例函数比例系数k 与图形面积经典专题知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性， 很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。 这种考察方式既能考查函数、 反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。 下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中 |k| 的几何意义求解与面积有关的问题设 P 为双曲线上任意一点，过点P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为M 、 N ，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S=|PM| × |PN|=|y|

2、× |x|=|xy|xy=k故 S=|k|从而得结论 1：过双曲线上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值 |k|对于下列三个图形中的情形， 利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论 2：在直角三角形ABO中，面积 S=结论 3：在直角三角形 ACB中，面积为 S=2|k|结论 4：在三角形 AMB 中，面积为 S=|k|.类型之一 k与三角形的面积 1、如图，已知双曲线 y=k （k 0 ）经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D，x与直角边 AB 相交于点 C若 OBC 的面积为 6，则 k=_ 最佳答案过 D

3、点作 DEx轴，垂足为 E，由双曲线上点的性质，得SAOC =SDOE =1 k,2DEx轴， ABx轴，DEAB， OAB OED，又 OB=2OD，S OAB =4SDOE =2k，由 S OAB -S OAC =S OBC ，得 2k- 1 k=6，2解得： k=4故答案为： 4.2、如图 1-ZT-1，分别过反比例函数y= 2018 (x 0) 的图象上任意两点A、B 作xx 轴的垂线， 垂足分别为 C、D，连接 OA、OB，设 AOC和 BOD的面积分别是 S1、 S2, ，比较它们的大小，可得A.S1S2B.S1=S2C.S1S2D.S1、 S2 大小不确定。3、在下列图形中，阴影

4、部分面积最大的是（C）4、如图 1-ZT-3，在平面直角坐标系中，点A 是函数 y=k （x 0 ）图象上的x点，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴上，若 ABC 的面积为 1，则 k 的值为 _ 。.5、 如图，在平面直角坐标系中，点A 在函数（k0，x0）的图象上，过点 A 作 ABy 轴交 x 轴于点 B，点 C在 y 轴上，连结 AC、BC若 ABC的面积是 3，则 k=6、如图 1-ZT-4 ， OAC和 BAD都是等腰直角三角形，ACO=ADB=90°，反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点22B，若 OA-AB =8，则 k 的值为

5、_。x.类型之二k与平行四边形的面积7、 如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数 y= k （k<0 ，x<0 ）图象上的点，过点xA 与 y 轴垂直的直线交 y 轴于点 B，点 C、D 在 x 轴上，且 BC AD若四边形 ABCD的面积为 3 ，则 k 值为 _ 优质解答 AB y 轴， AB CD， BC AD，. 四边形 ABCD是平行四边形， 四边形 AEOB的面积 =AB?OE， S 平行四边形 ABCD=AB?CD=3， 四边形 AEOB的面积 =3 ， |k|=3 ， <0， k=-3 ，故答案为： -3 8、如图，菱形 OABC的顶点的坐标为（ 3,4 ），

6、顶点 A 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= k (x 0) 的图象经过顶点 B，则 k 的值为（ ）。xA. 12B. 20C. 24D. 32答案：过点 C 作 CD OA， C 的坐标为（ 3 ，4）， CD=4， OD=3，. CB AO， B 的纵坐标是4， OC=CD2OD2=5 ， AO=OC=5， 四边形 COAB 是菱形， B 的横坐标是8， k=8 × 4=32，故选 D9、如图 1-ZT-6 ，函数 y=-x 与 y=- 4 的图象相交于 A、B 两点，分别过 A、B 两点x作 y 轴的垂线，垂足分别为C、D，则四边形 ACBD的面积为（）。A. 2B.4C

7、.6D.8分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐 标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S的关系即 S=1|k| ，得出 S AO2C =S ODB =2 ，再 根据 反比 例函 数的 对称 性可知 ： OC=OD， AC=BD ，即可求 出四 边形ACBD的面积 解答：解：过函数y=- 4 的图象 上 A ， B 两点 分别作 y 轴的垂 线，垂 足分 别为 x点 C，D，S=SODB=|k|=2 ，AOC12又 OC=OD，AC=BD ，SAOC =S ODA =S ODB =S OBC =2 ，.四边形 ABCD的面 积为 ： S AOC +S ODA +S ODB

8、 +S OBC =4× 2=8故选 D点评：本题主要考查 了反 比例 函数 y= k 中 k 的几 何意 义，即过 双曲 线上 x任意 一点 引 x 轴、 y 轴垂 线，所 得矩 形面 积为 |k| ；图 象上的 点与原 点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S=1|k| ，是经 常考查的 一个 知识 点； 同时考 查了 反比 例函 数图象 的2对称 性10 、如图1-ZT-7 ，点 A 是反比 例函 数 y= 2 (x0)的图象 上任 意一点 ， AxB x 轴交 反比 例函 数 y=- 3 的图 象于 点 B ，以 AB 为边作 ABCD ，其

9、 中x点 C 、 D 在 x 轴上 ，则 ABCD 的 面积 未（）。A.2B.3C.4D.511、如图、 1-ZT-8 ，在ABOC中，两条对角线交于点E，双曲线 y= k (k 0) 的一x支经过 C、 E 两点，若 ABOC的面积为 10，则 k 的值是（）。A.-5B. -10C. -4 D.-523.类型之三k与矩形的面积12、如图 1-ZT-9 ，A、B 两点在双曲线 y= 4 上，分别过 A、 B 两点向坐标轴作垂线段，已知 S +S=6，则 S=（x阴影）。12A.4 B.2C. 1D.无法确定.13、如图 1-ZT-10 ，反比例函数y=（ x 0）的图象经过矩形OABC对角

10、线的交点 M，分别与 AB、BC相交于点 D、E，若四边形 ODBE的面积为 9，则 k 的值为（）。A. 1 B.2 C.3 D.4考反比例函数系数k 的几何意义点：专数形结合题：分 本题可从反比例函数图象上的点 E、M、D 入手，分别找出 OCE、OAD、析： 矩形 OABC的面积与 |k| 的关系，列出等式求出 k 值解答： 解：由题意得： E、 M、D 位于反比例函数图象上，则SOCE=，SOAD=，过点 M 作 MGy 轴于点 G，作 MNx 轴于点 N，则 SONMG=|k|，又M 为矩形 ABCO对角线的交点，S 矩形 ABCO=4S ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，

11、 k0，则 + +9=4k，解得： k=3故选 C点 本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两评： 条坐标轴作垂线， 与坐标轴围成的矩形面积就等于 |k| ，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.14、如图 1-ZT-11 ，反比例函数 y= （,k 0）的图象与矩形 ABCO的两边相交于E、F 两点，若 E 是 AB的中点， S BEF=2，则 k 的值为 _。分析： 设 E （ a ， k ），则 B 纵坐 标也 为 k ，代 入反 比例 函数 的 y= k ，aax即可 求得 F 的横坐 标， 则根 据三 角形 的 面积 公式 即可 求得 k 的值 解：

12、 设 E （ a， k ），则 B 纵坐标 也为 k ，aaE 是 AB 中点， 所以 F 点横 坐标为 2a ， 代入 解析 式得 到纵 坐 标： k，BF= k -k= k ，所 以 F 也为 中点 ，2aa2a2akS BEF =2=， k=8 故答案是：8点评：本题考查了反比例函数的性质，正确表示出 BF 的长度是关键.k15、如图 1-ZT-12 ，点 P、Q是反比例函数 y= x 图象上的两点， PAy 轴于点 A， QNx 轴于点 N，PM x 轴于点 M,QBy 轴于点 B，连接 PB、QM， ABP 的面积记为 S1 ，QMN的面积记为 S2，则 S1_S2 ( 填“”“”或

13、“ =”) 。16、如图 1-ZT-13，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在 x 轴和 y 轴上，其中 OA=6，OC=3，已知反比例函数 y=（ ,k 0）的图象经过 BC边的中点 D, 交 AB于点 E。（1）k 的值为 _；（2）猜想的面积与的面积之间的关系，并说明理由。答案：（1 ）9 ；（2 ）SOCD=S OBE ，理由见解析【解析】试题分析：（ 1）根据题意得出点 D 的坐标，从而可得出 k 的值： OA=6 ，OC=3 ，点 D 为 BC 的中点， D （3 ，3 ） 反比例函数（ x 0 ）的图象经过点 D ， k=3 ×3=9

14、（2 ）根据三角形的面积公式和点 D，E 在函数的图象上，可得出 SOCD=S OAE ，再由点 D 为 BC 的中点，可得出 S OCD=S OB.类型之四k 与多边形的面积17 、如图 1-ZT-14所示，过点 A（2 ，-1 ）分别作 y 轴、 x 轴的平行线交 双曲线 y= k 于点 B、 C，过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 B 作 BD y 轴于点 D，连 x接 ED，若五边形 ABDEC 的面积为 34 ，则 k 的值为 _ 。18、如图 1-ZT-14，点 P 是反比例函数 y= k1 （k 1 0 ，x 0 ）图象上的一动点，x过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线，分别

15、交x 轴、 y 轴于 A、 B 两点，交反比例函数y= k2 （k 2 0，且 | k 2 | k 1）的图象于 E、F 两点。x（ 1）图 1 中，四边形 PEOF 的面积 S1=_ （用含 k 1、 k 2 的式子表示）；（ 2）图 2 中，设 P 点坐标为（2，3），点 E 的坐标是（_ ，_ ），点 F 的坐标是（ _ ， _ ）（用含 k 2 的式子表示）；（ 3）若 OEF 的面积为 8 ，求反比例函数 y k2 的解析式3x.解答：（ 1） P 是点 P 是反比例函数 y k1 （k x 0， x 0 ）图象上一动点， S=k 1 E、 F 分别是反比例函数 y k2 （ k2

16、0 且 |k 2 | k 1）的图象上两点， x S OBF=S AOE=1 |k 2| ， 2 四边形 PEOF 的面积 S1=S 矩形 PBOA+S OBF+S AOE=k 1+|k 2| ， k 20 ， 四边形 PEOF 的面积 S1=S 矩形 PBOA+S OBF+S AOE=k 1+|k 2|= k 1 -k 2 （ 2） PE x 轴， PF y 轴可知， P、E 两点的横坐标相同， P、F 两点的纵坐标相同， E、F 两点的坐标分别为E（2， k2 ）， F（ k2 ， 3）；23 P（ 2， 3）在函数 y= k1 的图象上，x k 1=6 ， E、F 两点的坐标分别为E（2

17、， k2 ）， F（ k2 ， 3）；23 PE=3- k2 ，PF=2- k2 ，23 S PEF=1 （3-k2 ）（ 2-k2 ） = (6k2 ) 2，22312 S OEF=（ k 1-k2 ）- ( 6 k2 ) 212=（6-k 2） -(6 k2 ) 2 = 36 k22= 8 ，12123. k2 =2 k 20 ， k 2=-2 y=.2x题型之五： k 与面积综合16 、如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， P 是反比例函数 y=12 （ xx0）图像上任意一点，以P 为圆心， PO 为半径的圆与坐标轴分别交于A、B。（ 1）求证：线段 AB 为 P 的直径；（

18、 2）求 AOB的面积。（ 3）如图 2，Q 是反比例函数 y=12 （x0）图像上异于点 P 的另一点，以 Q 为 x圆心， QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D。求证： DO·OC=BO·OA。.反比例函数相关练习题1. 如图，直线 y=-x 上有一长为2 动线段 MN，作 MH、NP都平行 y 轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y= k 于点 H、P，问四边形 MHPN能否为平行四边形（如x图 3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由.2.如图，已知 P10A1，P2A1A2 都是等腰直角三角形， 点 P1、P2 都在函数 y= 4（xx 0）的图象上，斜边OA1、A1A2 都在 x 轴上则点 A2 的坐标为3.如图， A 是反比例函数 yk (k 0) 图象上一点， 过 A 作 ABX 轴于 B，P 在 Yx轴上， ABP 面积为 3，则 k=.4. 如图，在 x 轴的正半轴上依次截取 OA1A1A2A2 A3A3 A4A4A5 ，过点A1、 A2、 A3、 A4、 A5 分别作 x 轴的垂线与反比例函数 y2x0的图象相交于点x1、 2、 3、 4、 5 ，得直角三角形、23 3、34、，111224455并设其PPPPPOPA APA APA APA APA面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4、