一元三次方程

1、.一元三次方程对于一般的一元三次方程ax3bx2cxd0a 0 ，上式除以a，并设 x yb ，则3a可化为 y3pyq0 （ 1），其中 p3acb2, q27a2 d9abc 2b3.3a227a3（ 1）的根为：3q3q， y23q2 3q，y12222y32 3q3q.22其中13i ,( q ) 2( p )3为根的判别式。223当0 时，有一个实根与两个复根；当0 时，有三个实根；当pq0 时，有一个三重零根；当pq0 时，三个实根中有两个相等；当0 时，有三个不等实根。韦达定理：x1 x2x3b ,ax1 x2x2 x3x3 x1c ,ax1 x2 x3d .a;.圆锥曲线统一性

2、质从课本中，我们已经得出圆锥曲线的一条统一性质，就是圆锥曲线的第二定义，其内容是：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为一常数e，当 0<e<1 时，动点的轨迹为椭圆，当e = 1时，动点的轨迹为抛物线，当e>1 时，动点的轨迹为双曲线。其中e 被称为离心率，定点称为焦点，定直线称为准线，焦点到准线的距离称为焦准距，焦点到动点的线段称为焦半径。如果我们以焦点为原点，过焦点垂直于准线的直线为x 轴，建立直角坐标系，便可以由此得出圆锥曲线的统一直角坐标方程。如图所示， l 为准线， PM l ，由第二定义可得：|PO|e ，即x2y2e ，两边平方化简可得：|PM | xp |(

3、1 e2 ) x2y22e2 px e2 p20这就是 圆锥曲线的统一直角坐标方程，其中 p 就是焦准距，为了保证得到的是圆锥曲线，自然有p>0 。我们将使用此方程来讨论一下圆锥曲线的弦长。设一直线过 x 轴上一点 (d,0)，且倾角为，则此直线的参数方xdt cosA( x1 , y1), B(x2 , y2 ) 两点。将直线方程带入统程为：t sin，并设此直线交圆锥曲线于y一方程中去，可得：(1 e2 cos2)t 22 de2 (dp)cos te2 p2 (12d )0于是弦长 | AB |t 2t1 |B24 AC，| a | A |其中 A1e2 cos2, B2de2 (

4、 dp)cos, Ce2 p2 (12d) ， A 不等于 0。我们不妨称为 圆锥曲线统一弦长公式。由于直线的斜率ktan，由 1tan21便可以用斜率来求解。cos2特别的，当 d = 0 时，即直线 AB 通过焦点，此时，便得到圆锥曲线的焦点弦长公式：|AB|2ep，对于椭圆和双曲线的标准方程，焦准距pb2e2 cos2。|1|c;.定理 ：过圆锥曲线准线与对称轴的交点引其切线，则切线与对称轴的夹角的正切值等于离心率。由我们对圆锥曲线统一直角坐标方程的推导中，x 轴就是对称轴，准线方程为xp ， O 为焦点，则有 tanABOe。证明：设直线AB 的方程为 ytan( xp),ABO ，代

5、入统一方程中，消去y 得：(1 e2tan2) x22( p tan2e2 p)xe2 p2p 2 tan20由于 AB 是切线，所以0 ，即：.4 p2 (tan 2e2 ) 0 ，所以 tan2e2 ，即。| tan | e由于切线可以引上下两条，所以tan有正负。;.离心率常见的有关模型【经典模型一】 | PF1 |PF2 |【例题 1】【定义法】 双曲线 x2y21(a,b0) 的左右焦点分别为F1 , F2 ，若 P 为双曲线上a2b2一点，且 PF 1=2PF 2，求离心率的取值范围。【答案： 1e3 】【例题 2】【定义法】已知椭圆x2y21(ab0)的左右焦点分别为F1 , F

6、2 ，e 为离心率，a2b2若 P 为椭圆上一点，且 PF 1=ePF2，求离心率 e 的取值范围。【答案：2 1e 1 】【经典模型二】 | AF |BF |e cos11【定理 1】设点 F 时离心率为 e，焦点在 x 轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F 的弦 AB 与 x 轴的夹角为uuur，则 ecos1， F 分 AB 所成的比为.1【证明】 如图，设直线 l 是焦点 F 相应的准线， 过 A，B 作直线 l 的垂线， 垂足分别为A1，B1，由圆锥曲线的第二定义得|AF |BF |AA1|e|BB1|H，则 |AH | | AA1| |BB1| |AF| |BF|ee又|AB| |AF|

7、 |BF| (1)|BF |，| AA1| | AF |,| BB1| | BF |, 过 B 作 BHAA1于ee(1)| BF |，e由 HAB|AH |1ecos1cos1)e.|AB| (1;.容易验证当0 时，等式也成立。2uuur(1) ，则 esin1若焦点在 y 轴， F 分 AB 所成的比为.1【例题 3】若抛物线 y24 x 的焦点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线交于A，B 两点，设 FA>FB，则 | FA | 的值为 _.【答案： 322 】|FB |【经典模型三】设椭圆的方程为x2y21(ab0) ， F1, F2 是左右焦点，点P 是椭圆上a2b2除长轴上两

8、个顶点外的任意一点，且PF1 F2,PF2 F1，则 esin(sin) 。sin【推广】若改为双曲线x2y21(a, b0) ，则 esin()a2b2sinsin【例题 4】椭圆 x2y21(ab0) 的左右焦点分别是F1 , F2 ，若椭圆上存在一点 P 使得a2b2F1 PF2，求椭圆的离心率e的取值范围 .【答案：2e1】22x2y 2a1b10 与双曲线 C2 :x2y21 a2 ,b20【经典模型四】已知椭圆 C1 : 22122a1b1a1b1的焦点重合， e1, e2 分别为 C1 ,C 2 的离心率，则b22b12b12b22 .e12e22【例题 5】已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且FPF12，3则椭圆和双曲线的离