初中几何模型费马点最值模型

1、几何模型：费马点最值模型费马尔问题思考：如何找一点P使它到ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点有如下主要性质：1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这

2、么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换秘诀：以ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 已知：ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120°.求证：GA+GB+GC的值最小.证明：将BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 CGBCPD； CPD=CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60°, BCD=60°, GCP和BCD都是等边三角形。 AGC=120°, CGP=60

3、76;. A、G、P三点一线。 CPD=120°, CPG=60°. G、P、D三点一线。 AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.过作的平行线分别交于点，易知.因为在和中， 。又，所以. +可得，即.综上，的取值范围为.例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的

4、边长 解 如图2，连接AC，把AEC绕点C顺时针旋转60°，得到GFC，连接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等边三角形，则EF=CE又FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得） 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 +=，解得=2注 本题旋转AEB、BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试变式练习>>>2若P为锐角ABC

5、的费马点，且ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值【解答】，线段A1E为最短变式练习>>>3如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB500米，AD800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时

6、，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）连接AM，DM，将ADP绕点A逆时针旋转60°，得APD，由（2）知，当M，P，P，D在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为DN，M在BC上，当DMBC时，DM取最小值，设DM交AD于E，ADD是等边三角形，EMAB500，BM400，PMEMPE500，DEAD400，DM400+500，最少费用为10000×（400+500）1000000（4+5）元；M建在BC中点（BM400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500）米处，最少费用为1000000（4+5）元 达标检测 领悟提升 强

7、化落实1. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为_【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段分别以AD、AM为边构造等边ADF、等边AMG，连接FG，易证AMDAGF，MD=GFME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FHBC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值2. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则AP+BP+CP的最小值为（）A+B+C4D3【解答】解：如图将ABP绕点A顺时针旋转60°得到AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小理由：AP

8、AF，PAF60°，PAF是等边三角形，PAPFAF，EFPB，PA+PB+PCEF+PF+PC，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，作EMDA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，在RTAME中，M90°，MAE30°，AE2，ME1，AMBN，MNAB2，EN1，EC+PA+PB+PC的最小值为+故选：B3如图，四边形ABCD是菱形，AB4，且ABCABE60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为4【解答】解：如图，连接MN，ABE是等边三角形，BABE，ABE60°MBN60°，MBNABNABEABN即MBANBE又MBNB，AMBENB（SAS），AMEN，MBN60°，MBNB，BMN是等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM根据“两点之间线段最短”，得EN+