【步步高】2014届高三数学一轮 13.3 直接证明与间接证明1导学案 理 北师大版

1、§13.3直接证明与间接证明2014高考会这样考1.考查对直接证明和间接证明原理的理解和用法；2.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列知识为载体，考查分析法、综合法、反证法复习备考要这样做1.抓住三种证明方法的特点，把握它们解题的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型；2.加强训练，总结、体会解题中的一些技巧，灵活应用三种方法证明一些实际问题1直接证明(1)综合法定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示

2、要证明的结论)(2)分析法定义：从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法框图表示：.2间接证明我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法难点正本疑点清源1综合法证明问题是由因导果，分析法证明问题是执果索因2分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用

3、综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用1要证明“<2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是_(填序号)反证法，分析法，综合法答案2下列条件：ab>0，ab<0，a>0，b>0，a<0，b<0，其中能使2成立的条件的个数是_答案3解析要使2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个3已知函数f(x)lg ，若f(a)b，则f(a)_(用b表示)答案b解析f(x)lg lg f(x)，f(x)为奇函数，f(a)f(a)b.4下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确

4、的有()A2个 B3个C4个 D5个答案D解析由分析法、综合法、反证法的定义知正确5用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A三个内角都不大于60°B三个内角都大于60°C三个内角至多有一个大于60°D三个内角至多有两个大于60°答案B解析因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”，故选B.题型一综合法的应用例1已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a

5、，b，c为何值时，等号成立思维启迪：利用a2b22ab，再利用ab2，根据这个解题思路去解答本题即可证明因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac，同理，故a2b2c22abbcac3336.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立探究提高综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明已知a、b、c为正实数，abc1.求证：(1)a2b2c2；(2

6、)6.证明(1)方法一a2b2c2(3a23b23c21)3a23b23c2(abc)2(3a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc)(ab)2(bc)2(ca)20，a2b2c2.方法二(abc)2a2b2c22ab2ac2bca2b2c2a2b2a2c2b2c2，3(a2b2c2)(abc)21，a2b2c2.方法三设a，b，c.abc1，0.a2b2c2222()222222，a2b2c2.(2)，同理，6，原不等式成立题型二分析法的应用例2已知m>0，a，bR，求证：2.思维启迪：本题若使用综合法，不易寻求证题思路可考虑使用分析法证明m>0，1m>0.所以要证原

7、不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证探究提高分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性已知a>0，求证： a2.证明要证 a2，只要证 2a.a>0，故只要证22，即a244a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立题型三反证法的应用例3已知a1，求证三个方程

8、：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数根思维启迪：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三个方程都没有实数根”证明假设三个方程都没有实数根，则，<a<1.这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立探究提高结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；

9、(2)设bn (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得，d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p、q、rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr.与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列分析法与综合法的整合典例：(12分)已知函数f(x)log2(x2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论审题视角(1)先判

10、断它们的大小，可用特例法(2)用分析法探寻证题思路(3)用综合法完成证明事实上，取a1，b2，c4，则f(a)f(c)f(1)f(4)log23log26log218,2f(b)2f(2)2log24log216，于是由log218>log216，猜测f(a)f(c)>2f(b)要证f(a)f(c)>2f(b)，则只需证log2(a2)log2(c2)>2log2(b2)，即证log2(a2)(c2)>log2(b2)2，也即证(a2)(c2)>(b2)2.展开整理得ac2(ac)>b24b.因为b2ac，所以只要证ac>2，显然是成立的规范解答

11、解f(a)f(c)>2f(b)2分证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以ac>2.4分因为b2ac，所以ac2(ac)>b24b，即ac2(ac)4>b24b4，从而(a2)(c2)>(b2)2.8分因为f(x)log2x是增函数，所以log2(a2)(c2)>log2(b2)2，10分即log2(a2)log2(c2)>2log2(b2)故f(a)f(c)>2f(b)12分温馨提醒(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合

12、法表述解答或证明过程有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功(2)本题错误原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.方法与技巧1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，

13、常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立失误与防范1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()Aac2<bc2 Ba2>ab>b2C.< D

14、.>答案B解析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.又abb2b(ab)>0，ab>b2，由得a2>ab>b2.2设alg 2lg 5，bex(x<0)，则a与b大小关系为()Aa>b Ba<b Cab Dab答案A解析alg 2lg 51，bex，当x<0时，0<b<1，a>b.3分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且abc0，求证<a”索的因应是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(

15、ac)<0答案C解析由题意知<ab2ac<3a2b2a(ab)<3a2b2a2ab<3a2b2ab<2a22a2abb2>0a2aba2b2>0a(ab)(ab)(ab)>0a(ab)c(ab)>0(ab)(ac)>0，故选C.4用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，b，c都是偶数答案B解析自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，

16、c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数二、填空题(每小题5分，共15分)5设a>b>0，m，n，则m，n的大小关系是_答案m<n解析取a2，b1，得m<n.再用分析法证明：<<a<b2·ab2·>0，显然成立6用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足abcd1，acbd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_答案a，b，c，d全是负数解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个非负数，即a，b，c，

17、d全是负数”7设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是_(填写所有正确条件的代号)x为直线，y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z为直线答案解析根据线面关系定理判定三、解答题(共22分)8(10分)已知函数f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求证：f(x1)f(x2)>f.证明要证明f(x1)f(x2)>f，即证明(tan x1tan x2)>tan，只需证明>tan ，只需证明>.由于x1、x2，故x1x2(0，)cos x1

18、cos x2>0，sin(x1x2)>0,1cos(x1x2)>0，故只需证明1cos(x1x2)>2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x2>2cos x1cos x2，即证cos(x1x2)<1.由x1、x2，x1x2知上式是显然成立的因此，f(x1)f(x2)>f.9(12分)已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明由已知得SA2AD2

19、SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面SBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立故不存在这样的点F，使得BF平面SAD.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1若a，bR，则下面四个式子中恒成立的是()Alg(1a2)>0 Ba2b22(ab1)Ca23ab>2b2 D.<答案B解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)2

20、0，a2b22(ab1)恒成立2设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2答案C解析因为abc6，所以三者不能都大于2.3已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m，nN*)，且对任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1,1)2f(m，1)给出以下三个结论：(1)f(1,5)9；(2)f(5,1)16；(3)f(5,6)26.其中正确结论的个数为()A3 B2 C1 D0答案A解析(1)由f(1,1)1和f(m，n1)f(m，n)2得f(1,2)f(1,11)f(1,1)2123，f(1,3)f(1,2)25，f(

21、1,4)f(1,3)27，f(1,5)f(1,4)29；(2)由f(1,1)1和f(m1,1)2f(m,1)得f(2,1)f(11,1)2f(1,1)2，f(3,1)2f(2,1)4，f(4,1)2f(3,1)8，f(5,1)2f(4,1)16；(3)由f(m，n1)f(m，n)2得f(5,6)f(5,5)2，而f(5,5)f(5,4)2，f(5,4)f(5,3)2，f(5,3)f(5,2)2，f(5,2)f(5,1)216218，则f(5,6)26.二、填空题(每小题5分，共15分)4关于x的方程axa10在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是_答案解析(1)当a0时，方程无解(2)当a0时，令f(x)axa1，则f(x)在区间(0,1)上是单调函数依题意，得f(0)f(1)<0，(a1)(2a1)<0，<a<1.5若a，b，c为RtABC的三边，其中c为斜边，那么当n>2，nN*时，anbn与cn的大小关系为_答案anbn&