导热微分方程及稳态导热

1、工学院机电工程教研室 传输原理工学院机电工程教研室 传输原理热量的传递方式热量的传递方式特定条件下热量传递、温度分布的有关规律特定条件下热量传递、温度分布的有关规律工学院机电工程教研室 传输原理 锂电池被加热至 250 摄氏度（华氏 482 度）后体积迅速膨胀直至爆炸，研究员将此过程称之为“热失控”。结果显示，锂电池内部结构在“热失控”前并不会发生变化，但在爆炸发生瞬间，电池内部铜质材料融化但在爆炸发生瞬间，电池内部铜质材料融化将温度提升至将温度提升至 1000 摄氏度，产生的热量从内部向外扩摄氏度，产生的热量从内部向外扩散导致散导致“热失控热失控”。锂电池通常被安装在设备内部并与其他电子元件

2、相连，“热失控”不仅会使电池核心崩溃，还增加了设备内部短路和破坏附近物体的风险。 3D 热成热成像技术像技术工学院机电工程教研室 传输原理温度变化可使改变汽车颜温度变化可使改变汽车颜色变换的热敏涂料诞生色变换的热敏涂料诞生热敏反应涂料涂在尼桑热敏反应涂料涂在尼桑Skyline R33汽车表面，当倾倒汽车表面，当倾倒冷水时会使汽车变成橙色冷水时会使汽车变成橙色。工学院机电工程教研室 传输原理通用导热能量方程通用导热能量方程工学院机电工程教研室 传输原理基本概念基本概念一 、温度场 （Temperature field） 温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分

3、布是坐标和时间的函数： ,zyxft 其中 为空间坐标， 为时间坐标。 , ,x y z工学院机电工程教研室 传输原理基本概念基本概念温度场分类 稳态温度场（定常温度场）:是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场非稳态温度场（非定常温度场）:是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场0t0t工学院机电工程教研室 传输原理基本概念基本概念等温面与等温线等温面与等温线等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇工学院机电工程教研室 传输原理基本概念基本概念工学院机电工

4、程教研室 传输原理工学院机电工程教研室 传输原理温度梯度 沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限。 温度梯度和热流密度nntnttnlimgrad0温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。 mnmtnt工学院机电工程教研室 传输原理kjiztytxttgrad 温度梯度的解析定义： 温度场 中点 处的温度梯度：),(zyxft ),(zyxkjizyxhamilton算子，经此演算，标量场 变成了矢量场。tttijkxyz nablagradgradient工学院机电工程教研室 传输原理（4） 热流密度 热流密度是指单位时间经过单

5、位面积所传递的热量，用 q表示，单位为 。 2/W m导热的热流密度与温度梯度成正比，即：nqnttgrad 导热系数，物性值。单位为W/(mK)。负号是因为热流密度与温度梯度的方向相反。 热流密度为矢量，其在x、y、z轴上的投影用傅立叶定律表示为： xtqxytqyztqz工学院机电工程教研室 传输原理基本概念基本概念t+ttt-t 温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。 工学院机电工程教研室 传输原理 热流量是指单位时间内通过面积F所传递的热量，用Q表示，单位为W。dFFQq热流量矢量，它们和温度梯度位于等温面的

6、同一法线上，且沿温度降低方向为正 。 总热量是指在时间 内通过面积F所传递的热量，用Q表示，单位为J或kJ。 00dddFFqQQ基本概念基本概念工学院机电工程教研室 传输原理工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 傅里叶定律：傅里叶定律： 确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:2 - grad W m qt( , , , )tfxyz目的目的：确定导热体内部温度的分布确定导热体内部温度的分布 , 从而进一从而进一步用傅里叶定律计算换热量、计算热应力

7、步用傅里叶定律计算换热量、计算热应力。( , , , )tf x y z工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 一、导热微分方程的推导理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 + + 能量守恒方程能量守恒方程 导热微分方程:根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式。 导热体内取一微元体，导热体内取一微元体，根据能量守恒定律，根据能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量单位时间净导入微元体的热量 加上微元体内加上微元体内热源生成的热量热源生成的热量 应等于微元体焓的增加量应等于微元体焓的增加量 dv dv工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热

8、微分方程 物理问题描述物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。假设条件假设条件 (1) (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) (2) 热导率、比热容和密度均为已知；热导率、比热容和密度均为已知； (3) (3) 内热源均匀分布，强度为内热源均匀分布，强度为 W/mW/m3 3 ； (4) (4) 导热体与外界没有功的交换。导热体与外界没有功的交换。 工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程

9、 1 1、导入与导出微元体的净热量、导入与导出微元体的净热量 d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方轴方向、经向、经 x x 表面导入的热量表面导入的热量：xxdq dydzd d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方轴方向、经向、经 x+dxx+dx 表面导出表面导出的热量：的热量：x dxx dxdqdydzddxxqqqxxdxx工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量xxx dxqdddxdydzdx d d 时间内、沿时间内、沿 y y 轴方向导入与导出微元体净热量轴方

10、向导入与导出微元体净热量yyy dyqdddxdydzdy d d 时间内、沿时间内、沿 z z 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量zzz dzqdddxdydzdz 工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 导入与导出净热量导入与导出净热量: :()yxzdqqqddxdydzdxyz 傅里叶定律：傅里叶定律：xtqxytqyztqz()()()dtttdxdydzdxxyyzz 工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 2 2、 d d 时间微元体内热源的发热量时间微元体内热源的发热量vvq dxdydzd 3 3、微元体在、微元体在d d

11、 时间时间内焓的增加量内焓的增加量 dxdydzdtcdv 工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 ()()()vttttcqxxyyzz非稳态项非稳态项源项源项扩散项扩散项dv 这是笛卡尔坐标系中这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的三维非稳态导热微分方程的一般表达式一般表达式。 其物理意义：其物理意义：反映了物体的温度随反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。时间和空间的变化关系。 工学院机电工程教研室 传输原理傅里叶定律傅里叶定律由此可见由此可见物理意义物理意义： 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，说明物体的某值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能

12、在整个物体中很快一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，其内部各点温度扯平的能力越大。扩散，其内部各点温度扯平的能力越大。 越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。系数。热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力，所以温度趋向于均匀一致的能力，所以反映导热过程动反映导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量。态特性，研究不稳态导热重要物理量。 工学院机电工程教研室 传输原理 几种

13、特殊情况若物性参数， ，均为常数无内热源，常物性：稳态，常物性：稳态，常物性，无内热源：222222vpqttttaxyzc简写为：2vppqtatcac为热扩散系数(导温系数) /s pc2tat2vq0t20t工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界包括四项：几何、物理、初始、边界1 1、几何条件：、几何条件：说明导热体的几何形说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等度、直径等2 2、物理条件：、物理条件：说明导

14、热体的物理说明导热体的物理特征如：物性参数特征如：物性参数 、c c 和和 的数的数值，是否随温度变化；有无内热源、值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；大小和分布；工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 3 3、初始条件：、初始条件：又称时间条件，反映导又称时间条件，反映导热系统的初始状态热系统的初始状态 ) 0 ,(zyxft 、边界条件、边界条件: :反映导热系统在界面上的反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。的关系。 t=f(y,z,) 0 x1 x 0 x1 x ),(zyfxt0 x1 x )th t

15、tx（工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法 温度场温度场2 、导热微分方程的适用范围、导热微分方程的适用范围 1 1 ）适用于）适用于 q q 不很高，而作用时间长。同时傅立不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。叶定律也适用该条件。 2 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3 3 ）若属极底温度（）若属极底温度（ -273 -273 ）时的导热不适用。）时的导热不适用。 工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 cqzttrrtrrtatv)11(2222222工学院机电工程教研室 传输原理导热微分方程导热微分方程 对于球坐标系对于球坐标系 cqtrtrrtrrratvsin1)(sinsin1)(12222222工学院机电工程教研室 传输原理导热微分