第1章 1.5.2 二项式系数的性质及应用

1、教育精选1.5.2二项式系数的性质及应用1掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别(重点)2借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值(难点)基础·初探教材整理1杨辉三角的特点阅读教材P33，完成下列问题1每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，.2图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(如图1­5­1)3图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大4第1行为120，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22第7行的各数之和为26(如

2、图1­5­1)图1­5­11如图1­5­2是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为_13356571111791822189图1­5­2【解析】由1,3,5,7,9，可知它们成等差数列，所以an2n1.【答案】2n12如图1­5­3，由二项式系数构成的杨辉三角中，第_行从左到右第14与第15个数之比为23.111121133114641图1­5­3【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为23，则3C2C，即，解得n34.【答案】34教材整理2二项式系数的性质

3、阅读教材P33P34，完成下列问题(ab)n展开式的二项式系数C，C，C有如下性质：(1)CC；(2)CCC；(3)当r<时，C<C；当r>时，C<C；(4)CCC2n.1已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于_【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以15，所以n8.【答案】82已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于_. 【导学号：29440027】【解析】二项式系数之和为CCC2n32，所以n5.【答案】53(2016·山东高考)若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.【解析】根据二项展开式的通项公式求解Tr1C

4、·(ax2)5rrC·a5rx10r.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有C·a380，解得a2.【答案】2质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型与“杨辉三角”有关的问题如图1­5­4，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值图1­5­4【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C

5、，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：再练一题1(2016·镇江高二检测)如图1­5­5所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_图1­5­5【解析】由图表可知第10行的第2个数为

6、：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.【答案】46求展开式的系数和设(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017·x2 017(xR)(1)求a0a1a2a2 017的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 017|的值【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 017(1)2 0171.(2)令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)r·C

7、·(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差再练一题2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.【解】(1)令x0，则a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a71

8、29.(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.整除问题利用二项式定理证明：当nN*时，32n28n9能被64整除【精彩点拨】当n1时，32×128×1964能被64整除；当n2时，将32n28n9化为(81)n18n9，按二项式定理展开，并提出因式64，若另一个因式为正整数，则能被64整除【自主解答】因为n1时，32n28n964能被64整除；当n2时，32n28n99n18n9(81)n18n98n1C

9、3;8nC·8n1C·818n982(8n1C·8n2C·8n3C)，而(8n1C·8n2C·8n3C)N*，所以32n28n9能被64整除1利用二项式证明多项式的整除问题关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则：(1)f(x)g(x)·h(x)f(x)被g(x)整除(2)f(x)g(x)·h(x)r(x)r(x)为g(x)除f(x)后得的余式2求余数问题的处理方法(1)解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项式(2)用二项式定理处理

10、这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和(或差)的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项即可(3)要注意余数的范围，ac·rb，这式子中b为余数，b0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数，要注意转换为正数再练一题3若n为正奇数，则7nC·7n1C·7n2C·7被9除所得的余数是_. 【导学号：29440028】【解析】原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C·9n2C·9(1)n1(1)n1.n为奇数，(1)n1297，则余数为7.【答案】7探究共研型二

11、项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为CC，也可以从f(r)C的图象中得到探究2计算，并说明你得到的结论【提示】.当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>时，二项式系数逐渐减小探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn，Cn相等，且同时取得最大值已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项【精彩点拨】求二项

12、式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号【自主解答】令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3r·x(52r)假设Tr1项系数最大，则有r，rN

13、，r4.展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得再练一题4已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值【解】由5，得Tr1C5rr5r·C·x，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C×16.又(a21)n展开式中的各项系数之

14、和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3Ca454，所以a±.构建·体系1已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为_【解析】由题设，得C×C2××C，即n29n80，解得n8或n1(不合题意，舍去)，则8的展开式的通项为Tr1Cx8rr，令r14，得r3，则第四项为T4Cx537x5.【答案】7x52若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_. 【导学号：29440029】【解析】令x1,2n64n6.由Tr1C·36r·x·(1)r·x(1

15、)rC36rx3r，令3r0r3.所以常数项为C3320×27540.【答案】5403若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_【解析】(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_.【解析】(ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15在8的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项【解】Tr1C()8rr(1)rC2rx4.(1)