北京邮电大学高等数学教学-5高阶线性ppt课件

1、高阶线性微分方程一、概念的引入一、概念的引入例例: :设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢复力恢复力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若若受受到到铅铅直直干干扰扰力力pthxkdtdxndtxdsin2222

2、强迫振动的方程强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程

3、是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常数）数）)1(0)()( yxQyxPy )(11yCxP )(11yCxQ0证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边代入方程左边, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC 不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么为解决通解的判别

4、问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy 定义：设定义：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数如果存在个函数如果存在n个不全为零的常数，使得个不全为零的常数，使得当当x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I内内线性相关线性相关否则否则称称线性无关线性无关例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sinco

5、s122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关.思索思索:)(),(21xyxy若中有一个恒为中有一个恒为 0, 那那么么)(),(21xyxy必线性必线性相关相关两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件上线性相关与线性无关的充要条件:)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(

6、21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关线性无关定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数且 xyy.sincos21xCxCy 推论推论. nyyy,21若是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解

7、, 则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCy2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定定理理 3 3 设设*y是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一个个特特解解, , Y是是与与( (2 2) )对对应应的的齐齐次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYx

8、PY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因此 也是通解 .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原

9、方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理解的叠加原理推行.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyC

10、yCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC 3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关, 故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2,

11、121CC得.22xxeey故所求特解为有三有三 三、降阶法与常数变易法三、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211

12、211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 v2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyx

13、QyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系系数数行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方一特解为对应

14、齐方一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应应满满足足方方程程组组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx思考题思考题 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所

15、所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.解答解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xCeCx 122231yyCyyCy 四、小结四、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；例5.0) 1( yyxyx的通解为,21xeCxCY 的通解.解解: 将所给方程化为将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2) 1() 1( xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程组: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得积分得xexCvxCv) 1(,2211故所求