固体物理--第三章晶格振动ppt课件

1、第三章第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动一、运动方程及其解一、运动方程及其解nn+1n+2n-1n-2 n n+1 n+2 n-1 n-2aa 1nnnf 只考虑最近邻原子间的相互作用：只考虑最近邻原子间的相互作用：1nn 112nnn ：力常数：力常数1第第n个原子的运动方程：个原子的运动方程：112nnnnm nit naqAe试解试解 格波方程格波方程222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得解得 色散关系色散关系22iaqiait naqit naqit naqit nqaqAeAeAemAe2二、格波的

2、简约性质、简约区二、格波的简约性质、简约区qaa 简约区简约区12sin2aqm 色散关系色散关系a -a 02a 2a -q (q)3q的物理意义：沿波的传播方向（即沿的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。位距离两点间的振动位相差。格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。的形式在整个晶体中传播，称为格波。 对于确定的对于确定的n：第：第n个原子的位移随时间作简谐振动个原

3、子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相：不同的原子有不同的振动位相it naqAeit xqAe格格 波：波：连续介质弹性波：连续介质弹性波：4例：例：14a245a1122qa22252qa212qqal q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。晶格振动状态不同。l 若若2qqa则则 与与 描述同一晶格振动状态描述同一晶格振动状态qq5三、周期性边界条件（三、周期性边界条件（BornKarman边界条件）边界条件）nnN1 2nNN+1N+2N+nitN n aqit naqAeA

4、ehNaq2h =整数整数1iNaqe21ihe6在在q轴上，每一个轴上，每一个q的取值所占的空间为的取值所占的空间为Na2q的分布密度：的分布密度： 22LNaqLNa 晶体链的长度晶体链的长度晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数=N1简约区中波数简约区中波数q的取值总数的取值总数 222NaqaaN晶体链的原胞数晶体链的原胞数=晶体链的自由度数晶体链的自由度数7四、格波的简谐性、声子概念四、格波的简谐性、声子概念1,qinaqQ q t eNm212nnTm晶体链的动能：晶体链的动能：2112nnnU晶体链的势能：晶体链的势能：2211122nnnnnHm系统的总机械能：系统的总机械能：n

5、it naqAejjjj频率为频率为 j的特解：的特解：jnit naqAejjj方程的一般解：方程的一般解：8线性变换系数正交条件：线性变换系数正交条件：,1q qnina q qeN 系统的总机械能化为：系统的总机械能化为： 2*1,2qHQq t Q q tq Qq t Q q tQ(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。坐标，称为简正坐标。9运动方程：运动方程： ,0Q q tq Q q tjj2j 声子是晶格振动的

6、能量量子声子是晶格振动的能量量子 j声子的概念：声子的概念： 一种格波即一种振动模式称为一种声子，一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。：声子数。 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。一种振动模式。jjj12En能量本征值：能量本征值：j0,1,2,n 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为为 单元交换能量。单元交换能量。j10 声子具有能量声子具有能量 ，也具有准动量，也具有准动量 ，但它不能，但它不能 脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子脱离固体而单独存在，

7、并不是一种真实的粒子, 只是一只是一 种准粒子。种准粒子。 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 由由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：Njjj=112En 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子 与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声声 子数不守恒子数不守恒。jq113.2 一维双原子链的振动一维双原子链的振动一、运动方程及其解一、运动方程及其解运动方程：运动方程：12nnnn

8、M 12nnnnm 试试 解：解：it naqnAe12itnaqnBe(设设M m)考虑由考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链两种原子等距相间排列的一维双原子链只考虑近邻原子间的弹性相互作用只考虑近邻原子间的弹性相互作用aM m n n n-1 n+11221222cos0MAaq B2122cos20aq AmB代入方程代入方程:22121222cos02cos2Maqaqm久期方程：久期方程：2222cosMmMmMmaqMm2212411sinMmMmaqMmMm13简约区：简约区：aqa 对于不在简约区中的波数对于不在简约区中的波数q ，一定一定可在简约区中可在简约区中找到

9、找到唯一唯一一个一个q，使之满足：，使之满足：2qqGaG为倒格矢为倒格矢两个色散关系即有两支格波：（两个色散关系即有两支格波：（ ：光学波：光学波； ：声学波：声学波）aa14二、光学波和声学波的物理图象二、光学波和声学波的物理图象第第n个原胞中个原胞中P、Q两种原子的位移之比两种原子的位移之比12122122cos2nni aqi aqaq eAeBM1222122cosR e2cosi aqimaq eMmMmMmaqR :大于零的实数，反映原胞中大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比两种原子的振幅比 : 两原子的振动位相差两原子的振动位相差151. 光学波（光学波（optica

10、l branch）1222122cos2cosnni aqmaq eMmMmMmaq1222122cos2cosiaqimaq eR eMmMmMmaqqaa12cos0aq12aq1ie 16322 在在、象限之间，属于反位相型。象限之间，属于反位相型。物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动。原胞的质心基本保持不动。 当当q0时，时， ，原胞中两种原子振动位相完全相反。，原胞中两种原子振动位相完全相反。Mmqnn0 离子晶体在某种

11、光波的照射下，光波的电场可以激发这离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。17 对于单声子过程（一级近对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。的频率，就会发生共振。光波：光波： c0q， c0为光速为光速 =c0q 0q (q) +(0) + 对于实际晶体，对于实际晶体， (0)在在1013 1014Hz，对应于远，对应于远红外光范围。红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引

12、起对远红外离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在光在 (0)附近的强烈吸收。附近的强烈吸收。1811222cos222cosi aqimaq eR eMmMmaqMmaqMmmMmMeaqmaqinncos2cos22221212. 声学波（声学波（acoustic branch）aq2122即：即： 在在、象限，属于同位相型象限，属于同位相型19物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。子基本上无相对振动。 aqmMMmMmmM2

13、1222sin4111222411MmMmaqMmMm2112222222MmMmaqaqMmMmMmq0时时当当q0时，时， 原胞内两种原子的振动位相完全相同。原胞内两种原子的振动位相完全相同。0,20这与连续介质的弹性波这与连续介质的弹性波 vqvq 一致。一致。122aqqMm当当q0时时10qnn 在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称为声学波或声学支。为声学波或声学支。21光学波原子光学波原子振动模型振动模型声学波原子声学波原子振动

14、模型振动模型22aa2m2M112Mmaq2aM2am0q 00 1102Mm23三、周期性边界条件三、周期性边界条件周期性边界条件：周期性边界条件：nnN2qhNah =整数，整数， N：晶体链的原胞数：晶体链的原胞数q的分布密度：的分布密度： .22NaLqconst1iNaqe 2qNa简约区中简约区中q的取值总数的取值总数晶体的原胞数晶体的原胞数晶格振动的格波总数晶格振动的格波总数2N晶体的自由度数晶体的自由度数推广：若每个原胞中有推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有个原子，一维晶格振动有s个色散关系个色散关系 式（式（s支格波），其中：支格波），其中：1支声学波支声学波,（s

15、-1）支光学波。）支光学波。 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数sN晶体的自由度数。晶体的自由度数。243.3 三维晶格振动三维晶格振动一、三维简单晶格的振动一、三维简单晶格的振动0lRlRlRl RlRl-ll-ll123123Raaa第第个原子的位矢个原子的位矢:25在简谐近似下，系统的势能为在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时（取平衡时U00）： ,21CU1, 2 , 1 , 0,3 , 2 , 1, N (l)和和 (l) 是第是第l和第和第l个原子分别沿个原子分别沿 和和 方向的位移。方向的位移。 ,02CUC力常数力常数26第第l个原子的运动方程：个原子的运动方程： , CUm

16、 这里考虑了晶体中这里考虑了晶体中所有原子所有原子的相互作用。的相互作用。晶体中各晶体中各力常数之间并不全是独立的，而必须满足：力常数之间并不全是独立的，而必须满足：,0C ， 1，2，3由晶格的周期性，得由晶格的周期性，得,0CCC 27设格波解：设格波解： itA e q R带入运动方程得：带入运动方程得：20mA ， 1，2，3iCe q RR其中其中280233323123222211312211mmm久期方程久期方程可以解得可以解得 与与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波三支声学波：一支纵波

17、，两支横波。推广：对于复式晶格，若每个原胞中有推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由个原子，由 运动方程可以解得运动方程可以解得3s个个 与与q的关系式（即色散的关系式（即色散 关系式），对应于关系式），对应于3s支格波支格波，其中，其中3支为声学波支为声学波 （一支纵波，两支横波），（一支纵波，两支横波），3(s1)支为光学波支为光学波。29二、布里渊区二、布里渊区 itit ee jjjjjqqqqqqqqAAAARR ittiee jjqqqqqqqqR iteCieC jjqqqqqqqq R q qq qjj2 hqqqqR11上式对于上式对于任意时刻任意时刻t和和任意的格矢

18、任意的格矢 都成立，有：都成立，有：R 对于第对于第j支格波，支格波，设有两个波矢设有两个波矢 和和 所描述的所描述的晶晶格振动状态完全相同格振动状态完全相同，有，有qq30由于由于2 hnGR 为倒格矢为倒格矢，h为整数为整数nG有有 ，（由于，（由于 为任意格矢）为任意格矢）n qqGnG即：即： jjnqGq 在在 空间中，空间中， 是以倒格矢是以倒格矢 为周期的周期为周期的周期函数，仍可将波矢函数，仍可将波矢 限制在简约区或第一布里渊区中限制在简约区或第一布里渊区中nG jqqq31 将将原点取在简约区的中心原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界，那么，在布里渊区边界面上周期对应的

19、两点间应满足关系：面上周期对应的两点间应满足关系： qqGqn22qGqn220 q GGnn12 GqGGnnn 布里渊区边界面方程布里渊区边界面方程0nGqqnG32布里渊区的几何作图法：布里渊区的几何作图法：v 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点；个倒格点为原点；布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。v 由近到远作由近到远作各倒格矢各倒格矢的的垂直平分面垂直平分面；v 在原点周围围成一个在原点周围围成一个包含原点包含原点在内的在内的最小封闭体积最小封闭体积， 即为简约区或第一布

20、里渊区。即为简约区或第一布里渊区。简约区就是倒易空间中的简约区就是倒易空间中的WignerSeitz原胞。原胞。331222222333333 可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积 b 。343536正格子正格子 格常数格常数 倒格子倒格子 格常数格常数简约区简约区scasc由由6个个100面面围成的立方体围成的立方体bccafcc由由12个个110面面围成的围成的正正12面体面体fccabcc由由8个个111面和面和6个个100面围成的面围成的14面体面体4a4a2a3

21、7体心立方晶格的倒格子与简约区体心立方晶格的倒格子与简约区38面心立方晶格的倒格子与简约区面心立方晶格的倒格子与简约区39三、周期性边界条件三、周期性边界条件 设设N1、N2和和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 周期性边界条件：周期性边界条件：jjNRRa第第j支格波：支格波： 1, 2, 3jjjjiittNee q Rq RaAA1iNe aq2Nhqah = 整数整数40令令123231qbbb123231NN qabbba22Nh123312123hhhNNNqbbbh1 , h

22、2 , h3整数整数2abhN 1, 2, 341在在q空间中，每一个空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：的取值（状态）所占的空间为：33312123188baNNNNNvVbbbVNva晶体体积晶体体积38abv在在 空间中，波矢空间中，波矢 的分布密度：的分布密度： 3.8Vconstqqq简约区中波矢简约区中波矢 的取值总数的取值总数 晶体的原胞数晶体的原胞数q bN q42简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值的取值 对应于三个声学波（对应于三个声学波（1个纵波，个纵波，2个横波）个横波）晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数3N

23、晶体的自由度数晶体的自由度数复式晶格：若每个原胞中有复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个个原子，每一个q的取值的取值 对应于对应于3个声学波和个声学波和3(s-1)个光学波个光学波 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数晶体的自由度数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数 433.4 离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波一、长光学波的宏观运动方程一、长光学波的宏观运动方程 黄昆方程黄昆方程 以以立方晶体立方晶体为例，设每个原胞中只含一对带等量电为例，设每个原胞中只含一

24、对带等量电荷的正负离子，质量分别为荷的正负离子，质量分别为M和和M 。Mav W 折合位移矢量折合位移矢量M MMMM 折合质量折合质量av：原胞体积：原胞体积 和和 ：正离子和负离子的位移：正离子和负离子的位移 4411122122bbbb WWEP =WE黄昆方程黄昆方程第一个方程：决定离子相对振动的动力学方程第一个方程：决定离子相对振动的动力学方程第二个方程：极化方程第二个方程：极化方程可以证明：可以证明：b12 = b21 ：宏观极化强度；：宏观极化强度； ：宏观极化电场：宏观极化电场PE：离子相对位移引起的短程弹性恢复力：离子相对位移引起的短程弹性恢复力：宏观极化电场对离子的作用力：

25、宏观极化电场对离子的作用力11b W12bE45l 静电场情况：静电场情况： 00 W1211bb WE21212222211bbbbb PWEE由静电学：由静电学： 000DEPE 2120221101bbbPEE 2122201101bbb 0 静电介电常数；静电介电常数；0 真空电容率真空电容率46l 高频电场情况：高频电场情况： 0 W 2201b PE =E 2201b 高频介电常数高频介电常数 2120110bb 1122122100220211001bbbb 0：横长光学波的频率：横长光学波的频率47二、长光学波的横波（二、长光学波的横波（TO）与纵波（）与纵波（LO）考虑带电离

26、子间的库仑相互作用：考虑带电离子间的库仑相互作用：横波：横波：T0 WT0 W纵波：纵波：L0 WL0 W静电学方程：静电学方程：00 DEP0E无自由电荷无自由电荷111211bbb WWEW11TTb WW22011TOb 4800 DEPEP01222bb EWE122200bb WE =21211220LLbbb WW12220bb EW2LOL W1112bb WWE1222bb PWE49 211022120022001bbb 221211220LObbb 200 LOTO0 LST关系关系一般情况：一般情况： 0LOTO50纵纵 波波横横 波波q51q52 离子晶体中长光学波产生

27、极化电场，增加了纵波的离子晶体中长光学波产生极化电场，增加了纵波的 恢复力，从而提高了纵波的频率。恢复力，从而提高了纵波的频率。 极化电场的大小与正负离子的有效电荷极化电场的大小与正负离子的有效电荷q*有关。有关。 222LOTOTO01 220TO12000b 可以用可以用( LO2 TO2)来估算有效离子电荷的大小。来估算有效离子电荷的大小。53SiGaAs54三、离子晶体的光学性质三、离子晶体的光学性质用黄昆方程讨论离子晶体的光吸收，引入阻尼项：用黄昆方程讨论离子晶体的光吸收，引入阻尼项：1112bb WWEW0取复数形式解：取复数形式解：00expexpi ti t EEWW21112

28、bib WWE212122222211bbbbbi PWEE 00 DEPE由由0弱阻尼情况：弱阻尼情况：55 202200i 21222201111bbbi 12i 2220102222200 2202222200 吸收功率正比于介电常数的虚部吸收功率正比于介电常数的虚部 2，在，在 0处有一吸收峰。处有一吸收峰。而在而在弱阻尼情况下（弱阻尼情况下（ ），），当当 10时，时， L 。056NaClNaClKClCsClTlCl最大吸收波长最大吸收波长 ( m)61.170.7102.0117.057四、极化激元（电磁激元四、极化激元（电磁激元 Polariton）考虑离子晶体长光学波与电磁

29、波的耦合：考虑离子晶体长光学波与电磁波的耦合：000000tttt BHEDHEPDEPBHMaxwell方程组方程组2111221222bbtbb WWEPWE唯象方程唯象方程0j058设晶格振动是频率为设晶格振动是频率为 ，波矢为，波矢为q的平面波的平面波0000expexpexpexpi ti ti ti t WWq rPPq rEEq rHHq r00021112122200000000000000bbbb 0qEHqHEPqEPq HWWEPWE(1)(2)(3)(4)(5)(6)59由由(5)、(6)得得2122221100bbbPE代入代入(3)21202221100bbb q

30、Ev 对于纵波：对于纵波：00 q E212022211LO0bbb 22LO00 LST关系关系60v 对于横波：对于横波：00 q E0qE由由(4)00 q H0 qH00 EH000qEH 由由(1)由由(2)0000qHEP 2120220211bbEb 、 、 相互垂直，构成右手系相互垂直，构成右手系0 H0Eq6122120222011qbbb 2001c 222022200cq 2222222222200010042c qc qc q解得解得 横波：横波： 只与只与q的大小有关，而与的大小有关，而与q的方向无关的方向无关 高频支；高频支； 低频支低频支 纵波：纵波： Lcons

31、t.，与，与q无关无关62 cq 0cq L T 离子晶体的横光学波与电磁离子晶体的横光学波与电磁波的耦合振动模称为极化激波的耦合振动模称为极化激元或电磁激元元或电磁激元 (Polariton)，既具有机械振动的特性又具既具有机械振动的特性又具有电磁振动的特性。有电磁振动的特性。 L0cq 00qc 0cq0q 633.5 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法 中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过

32、程。弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程。 晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光光光子受晶格的非弹性散射来测定。子受晶格的非弹性散射来测定。只讨论单声子过程只讨论单声子过程64一、中子的非弹性散射（一、中子的非弹性散射（单声子过程单声子过程）中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验方法中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验方法 2221212122nnppEEMM qppqG“”：吸收声子的散射过程，：吸收声子的散射过程， “”：发射声子散射过程；：发射声子散射过程；E1和和 （E2和和 ） ：入射（出射）中子的能量与动量；：入射（出射）中

33、子的能量与动量； 2 p1 pMn：中子质量；：中子质量； ：倒格矢：倒格矢G65 qGq22212122nnppMM pp有有慢中子的能量：慢中子的能量：0.02 0.04 eV，与声子的能量同数量级；，与声子的能量同数量级；中子的中子的de Broglie波长：波长：2 31010 m（2 3 ），与晶），与晶格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动谱。中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动谱。局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况66PbCu67SiGaAs68金刚石金刚石69NaI70二、可见光的非弹性散射二、可见光的非弹性散射发射或吸收光学声子的散射称为发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射散射发射或吸收声学声子的散射称为发射或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射散射 2121 qkkqG能量守恒和准动量守恒（单声子过程）：能量守恒和准动量守恒（单声子过程）： 和和 1：入射光的波矢与频率：入射光的波矢与频率 和和 2：散射光的波矢与频率：散射光的波矢与频率1 k2 k71Brillouin散射：频移散射：频移 2 1 介于介于107 3 1010 H