北京市昌平区期末考试数学(理科)和(文科)试题及答案汇

1、昌平区20122013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)(满分150分，考试时间120分钟)2013.1第I卷(选择题共40分)、选择题：本大题共 8小题,每小题共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)设集合Ax x>1 ,Bx | x(x2)A. x | x2B. x0 x 2C. x1 xD. x|0 x 1 a 2”是直线y ax1垂直”的A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)已知函数f (x)= ln x ,则函数g(x)=f(x)f '(x)的零点所在的区间是A. (0,1)B. (1,2)C

2、. (2,3)D. (3,4)x(4)设不等式组2y 2 0,x<4,表示的平面区域为 D .在区域D内随机取一个点，则此点y 2到直线y+2=0的距离大于2的概率是4 A.13B. 213C.25D. 9252c-S,S2,S4成等比数列，则,等于a1A. 24B. 36C. 48D.60(5)设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且A.1B.2C.3D.4(6)在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为(7)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几

3、何体的全面积为_位视憎A. 104m472B. 102用442C. 14234.2D. 144点4金1已知函数：f(x)x22x,f(x)cos(万y),f(x)|x1|2.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题p: f(x)是奇函数;命题q：f(x 1)在(0, 1)上是增函数;命题 r : f (1) 1;22A.命题p、q B.命题q、s命题s:f(x)的图像关于直线x1对称C.命题r、sD.命题p、r第n卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)若-a-22i,其中i是虚数单位，则实数a的值是1 i22(10)以双曲线y-1的右焦点为圆心，

4、并与其渐近线相916切的圆的标准方程是.(11)在4ABC中，若b272,c1,tanB2亚，则a=.(12)已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为.(13)在RtABC中，C90,AC4,BC2,D是BCuuuurnuuu的中点，那么(ABAC)?AD;若£是AB的uuuuir中点，P是ABC(包括边界)内任一点.则ADEP的取值范围是.(14)在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)x1x2y1y2为两点P(x1，y1),Q(x2,y2)之间的折线距离”则到坐标原点。的折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是坐标原点O与直线2xy2，30上任意一点的折线距

5、离”的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知函数f(x)NYlsin'xsin2x)cosx1.sinx(I)求f(x)的定义域及最小正周期；E(n)求f(x)在区间_,_上的最值.42(16)(本小题满分14分)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正形，AC与BD交于点O,EC人底面ABCD,F为BE的中点.(I)求证：DE/平面ACF;(n)求证：BDAAE;d(出)若AB=J2CE,在线段EO上是否存在点G,使CGa平面BDE?若存在，求出EG的值，若不存在，请说明理由.EO(17)(本小题满分13

6、分)为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量(单位：毫克).下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂90396581845690315032103规定：当产品中的此种元素含量满足耳8毫克时，该产品为优等品.(I)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；(II)从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望E()；(出)从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.32(18)(本小题满分13分)已知函数f(x)xax4(aR).(i)若函数yf(x)的图象

7、在点P(1,f(1)处的切线的倾斜角为一，求f(x)在1,14上的最小值；(n)若存在xo(0,)，使f(x0)0,求a的取值范围.(19)(本小题满分13分)已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为及，且抛物线2y24j2x的焦点是椭圆M的一个焦点.(I)求椭圆M的方程；(n)设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上，。为坐标原点.求点O到直线l的距离的最小值.(20)(本小题满分14分)已知每项均是正整数的数列a1,a2,a3,L,a100,其中等于i的项有ki个(i1,2,3L),设bjk1k2kj(j1,2,3L),g(m)"

8、;b?Lbm100m(m1,2,3L).(I)设数列k140*230,k320,k410,k5.k。0,求g(1),g(2),g(3),g(4)；(n)若a1,a2,a3,L,a100中最大的项为50,比较g(m),g(m1)的大小；(出)若a1a2La100200,求函数g(m)的最小值.昌平区20122013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案(理科)、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)答案CABDCDBC、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)22(9)4(

9、10)(x5)y16(11)3(12)4(13)2;-9,9(14)8；73三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)(15)(本小题满分13分)解：(I)由sinx0得xkMkZ),故f(x)的定义域为xR|xk.kZ.先因为f(x)(2.3sin2xsin2x)cosxsinx(23sinx2cosx)cosx13sin2xcos2x一.一兀八，2sin(2x),分66所以f(x)的最小正周期T红兀.分2.5(II)由x挝I,2x-,2x-?-,今4226365当2x-一，即x一时，f(x)取得取小值1,分1662当2x,即x时，f(x)取得最大值2.

10、分.13623(16)(本小题满分14分)解：(I)连接OF.由ABCD是正方形可知，点O为BD中点.又F为BE的中点，所以OF/DE分.2又OF趟平面ACF,DE平面ACF,所以DE/平面ACF分4(II)证明：由ECA底面ABCD,BD?底面ABCD,所以ECaBD,由ABCD是正方形可知，ACaBD,又AC翘EC=C,AC,EC平面ACE,所以BDa平面ACE,分.8又AEi平面ACE,所以BDAAE分.9(III)解法一:在线段EO上存在点G,使CGa平面BDE.理由如下：如图，取EO中点G,连接CG.-、2在四B隹E-ABCD中，AB=J2CE,CO=AB=CE,2所以CGAEO.分

11、.11由(II)可知，BDA平面ACE,而BDi平面BDE,所以，平面ACEa平面BDE,且平面ACE?平面BDEEO,因为CGAEO,CG?平面ACE,所以CGA平面BDE分.13故在线段EO上存在点G,使CGa平面BDE.由G为EO中点，得=分14EO2解法二：由ECa底面ABCD,且底面ABCD是正方形，如图，z|建立空间直角坐标系C-DBE,D由已知AB=J2ce,设CE=a(a>0),则C(0,0,0),D晨2a,0,0),B(0,、2a,0),E(0,0,a),2.2,2uur-kc、uuT小-xuur八2.2、O(-a,-2a,0),bd=(、.2a,一、2a,0),be=

12、(0,2a,a),EO=(-2-a,_2-a,-a).设G为线段EO上一点，且£9= (0<EOuuu< 1),贝U EG =EUO=(il a, a,-22a),uur uurCG= CE +uuu 、22EO=(a,a,(1-22)a),分.12uuuuuruuruur由题意，若线段EO上存在点G,使CG人平面BDE,则CG人BD,CGABE.221所以，-a+(1-)a=0,解得，=?(0,1),2故在线段EO上存在点G,使CG人平面BDE,且受=1.分14EO2(17)(本小题满分13分)解：(I)甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为3105分.2,51乙厂抽

13、取的样本中优等品有5件，优等品率为一一102(II)的取值为0,1,2,3.P(0)C； C3C30112, P(1)C1012P(2)C52c5C30*P(3)CC30112所以的分布列为0123P112512512112x1(1,0)0(0,1)1fx7-0+1fx143得x1令f'(x)0,0,x2,分，分,43 1故的数学期望为E ) 0 121 212A 3 11212(III)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多件，乙厂0件"，B=抽取的优等品数甲厂2件包括2个事件，即A=抽取的优等品数甲厂 22 3 2 20 1 0 1P(A) C3(-) (-) C3()()5522

14、3?311112P(B) C3(-)3 c3(-)1(-)2 -52213件，乙厂1件”27500811000抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2781272件的概率为P(A) P(B) 上7 -8 ，7.13500 1000200(18)(本小题满分13分)解：(I) f(x)3x22 ax.根据题意,f (1)tan 一41,3 2a 1,即 a 2.此时,f(x)2x22.4,则 f (x) 3x 4x .当x 1,1时，f x最小值为f 04.2a、(II)f(x)3x(x丁.若a00,当x0Bt,f(x)0,"*)在(0,)上单调递减.又f(0)4,则当x0时，f(x)4.当a0

15、0时,不存在x00,使f(x0)0.分.102a2a若a0,则当0x必时，f(x)0;当x仝时，f(x)0.332a2a从而f(x)在(0,刍)上单调递增，在(2a,+)上单调递减.33,一2a当x(O')时,MaxfE3,38a4a,4279,-4a33根据题意，40,即a32727.a3.1.3.分综上，a的取值范围是（3,）.（19）（本小题满分13分）解：（I）由已知抛物线的焦点为（叵0），故设椭圆方程为则c 后由e灭得2 2,b222.所以椭圆M的方程为1.价 2（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为ykxm,16k2m2 4(1 2k2)(2 m2 4) 8(24k2m2

16、)ykxm,则由oo,22上L1.420,消去y得，(12k2)x24kmx2m24设A、B、P点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）、（x0,y0）,则:x04km1 2k2,y。y y2 k(x x2) 2m2m1 2k222,一一x0y0由于点P在椭圆M上，所以上142224k m从而2-7(1 2k2)22m2(1 2k2)21,化简得2m2 1 2k2,经检验满足式又点O到直线l的距离为:d.22当且仅当k0时等号成立当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上,从而点P的坐标为(2,0)或(2,0),直线l的方程为x1,所以点O到直线l的距离为1.所以点O到直线l的距离最小

17、值为?.稔(20)(本小题满分14分)解：(I)因为数列k140,k230,k320,k410,所以b140,b270,b390,b4100,所以g(1)60,g(2)90,g(3)100,g(4)100制(II)一方面，g(m1)g(m)bm1100,根据bj的含义知bm1100,故g(m1)g(m)0,即g(m)g(m1)当且仅当bm1100时取等号.因为a1,a2,a3,L,a100中最大的项为50,所以当m50时必有bm100,所以g(1)g(2)Lg(49)g(50)g(51)LL即当1m49时，有g(m)g(m1);当m49时，有g(m)g(m1)9分(III)设M为a1，a2,L

18、。中的最大值.由(II)可以知道，g(m)的最小值为g(M).根据题意，bMk1k2k3LkM100,k12k23k3LMkMaa2a3a100.卜面计算g(M)的值.g(M)b1b2b3LbM100Mk2,a1(b1100)(b2(k2k3L2k3(ki(a1a2L(M100)(b3100)kM)(k3k4L1)kM2k23k3LMkM)(k1Ld1100)kM)k2La2a3La3La100g(m)最小值为100.(k4k5LkM)L(kM)kM)a100)bM(a1a2a3La100)100g(M)100第I卷(选择题一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分， 符合题目要求的一项.(1)

19、设集合 A x x>1 , B x| x(x 2)A. x|x 2C. x1 x 2 a 2”是直线y ax 2与y -x 4A.充分不必要条件C.充要条件(3)已知函数f (x)= ln x ,则函数g(x)=f(x)A. 91)B.(1,2)x 2y 2 。，(4)设不等式组x < 4,表小的平面区域为y 2到直线y+2=0的距离大于2的概率是A.13B.立13C.旦25D.省25昌平区20122013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)(满分150分，考试时间120分钟)2013.1考生须知：1. 本试卷共6页，分第I卷选择题和第n卷非选择题两部分。2. 答题前考

20、生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3. 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选才i题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4. 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。5. 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。共40分)共40分.在每小题列出的四个选项中，选出0,则AB等于B. x0x2D.x|0x11垂直”的B必要不充分条件D.既

21、不充分也不必要条件f'(x)的零点所在的区间是C. (2,3)D.(3,4)D.在区域D内随机取一个点，则此点(5)设&是公差不为0的等差数列的前n项和，且§§§成等比数列，则a2等于aiA.1B.2C.3D.4(6)在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60命题r : f （）2命题s: f (x)的图像关于直线x 1对称A.命题出qB.命题q> s C.命题r、s D.命题p、r(7)已知一个空间

22、几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 10473472B. 102百4亚C. 142.34、2D. 144x/34721(8)已知函数：f(x)x22x,f(x)cos(),f(x)|x1.则以22下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题p:f(x)是奇函数；命题q:f(x1)在(0,1)上是增函数;第n卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)若里22i,其中i是虚数单位，则实数a的值是1i.22(10)以双曲线匕1的右焦点为圆心，并与其渐近线相916切的圆的标准方程是.(11)在4ABC中，若b272,c1,tan

23、B2后，则a=(12)已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为.(13)在RtABC中，C90,AC4,BC2,D是BC的中点，那么uuuuuruuu(ABAC)?AD；若£是AB的中点，P是ABC(包括边界)内任一uuuuur点.则ADEP的取值范围是.(14)在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)|x1x21yly2|为两点P(Xi,y),Q(X2,y2)之间的折线距离”.则到坐标原点。的折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是;坐标原点O与直线2xy2，30上任意一点的折线距离”的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程

24、或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知函数f(x)(2、"sin2Xsin2x)8sx1.sinx(I)求f(x)的定义域及最小正周期；(n)求f(x)在区间_,_上的最值.EDB42(16)(本小题满分14分)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O,EC人底面ABCD,F为BE的中点.(I)求证：DE/平面ACF；(n)求证：BDAAE；(出)若AB=J2CE,在线段EO上是否存在点G,使CGa平面BDE?若存在，求出EG的值，若不存在，请说明理由.EO(17)(本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量

25、产品中某种元素的含量(单位：毫克).下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂90396581845690315032103规定：当产品中的此种元素含量满足力8毫克时，该产品为优等品.(I)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；(II)从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望E();(出)从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.(18)(本小题满分13分)已知函数f(x)x3ax24(aR).(i)若函数yf(x)的图象在点P(1,f(1)处的切线的倾斜角为一，求f(x)在1,14上的最小值；

26、(n)若存在x0(0,)，使f(x0)0,求a的取值范围.(19)(本小题满分13分)已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为2,且抛物线2y24j2x的焦点是椭圆M的一个焦点.(I)求椭圆M的方程；(n)设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上，。为坐标原点.求点O到直线l的距离的最小值.(20)(本小题满分14分)已知每项均是正整数的数列ara2,a3,La。，其中等于i的项有K个(i1,2,3L),设bjkik2kj(j1,2,3L),g(m)b1b2Lbm100m(m1,2,3L).(I)设数列ki40,k230,k320,k410,

27、k5.ki000,求g(1),g(2),g(3),g(4)；(n)若a1，a2,a3,L,a100中最大的项为50,比较g(m),g(m1)的大小；(出)若aia2La100200,求函数g(m)的最小值.昌平区2012-2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案(理科)、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案CABDCDBC、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)22_(9)4(10)(x5)y16(11)3(12)4(13)2;-9,9(14)8;V3

28、三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)(15)(本小题满分13分)解：(I)由sinx0得xk7t(kZ),故f(x)的定义域为xR|xk兀kZ.因为f(x)(2.3sin2xsin2x)cosxsinx(23sinx2cosx)cosx13sin2xcos2x兀2sin(2x6),所以f(x)的最小正周期T立兀.2，.9分(II)由xM-,-,2x-,2x-?-,-422636当2x651,gPx时，f(x)取得最小值1,62.11分当2x6,即x时，f(x)取得最大值2.23.域(16)(本小题满分解：(I)连接OF.14分)由ABCD是正方形可知

29、，点O为BD中点.又F为BE的中点,所以OF/DE.盼又OF趟平面ACF,DE平面ACF,EBO.AGG所以DE/平面ACF.4分(II)证明：由ECa底面ABCD,BD?底面ABCD,所以ECABD,由ABCD是正方形可知，ACaBD,又AC翘EC=C,AC,EC平面ACE,所以BDa平面ACE,.分(III)解法一:所以BDaAE在线段EO上存在点G,使CGa平面BDE.理由如下:如图，取EO中点G,连接CG.在四方麴隹E-ABCD中，AB=亚CE,CO=-AB=2CE,所以CGAEO.分11由(II)可知，BDa平面ACE,而BD1平面BDE,所以，平面ACEa平面BDE,且平面ACE?

30、平面BDEEO,因为CGAEO,CG?平面ACE,所以CGA平面BDE故在线段EO上存在点G,使CGa平面BDE.由G为EO中点，得14EG1=一EO2解法z1由ECa底面ABCD,且底面ABCD是正方形，如图,建立空间直角坐标系C-DBE,由已知AB=J2CE,设CE=a(a>0),则C(0,0,0),D(J2a,0,0),B(0,2a,0),E(0,0,a),22uur-uuruuu22O(a,a,0),BD=(、.2a,-、.2a,0),BE=(0,-、2a,a),EO=(aa,-a).2222设G为线段EGuuuuuu、,2、,2EO上一点，且=(0<<1)dUEG=

31、eO=(a,a,-a),EO22uuruururn22CG=CE+EO=(yaa,(1-)a),.1分uuiuuuuuuuuur由题意，若线段EO上存在点G,使CGa平面BDE，则CGaBD,CGaBE.1所以，-a2+(1-)a2=0,解得，=-?(0,1),2-丁-EG1故在线段EO上存在点G,使CGa平面BDE,且=-.10EO2(17)(本小题满分13分)解：(I)甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为3.105乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为10.纷(II)的取值为0,，2,3.p(0)C；C3C；0112，P(i)C30p(C2c12)-5-5-30/I3)C；Cw120

32、123P112512512112所以的分布列为3153131故的数学期望为E)0122121212(III)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多件，乙厂0件“，B='抽取的优等品数甲厂2件包括2个事件，即A=抽取的优等品数甲厂223220101P(A)c2(_)2(_)c0(_)o(_)P(A)C3(5)(5)C3(2)(2)38311112P(B)C3(-)3c3(-)1(-)2-522,3件，乙厂1件”275008110008127 一、.13分1000200抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多272件的概率为P(A)P(B)500(18)(本小题满分13分)解：f (x)3x22ax.根据题意，

33、f (1)tan 41,3 2a 1,即 a 2.此时，f (x)2x22 一4,则 f (x) 3x 4x .x1(1,0)0(0,1)1令f'(x)0,0,x243得Xfx7-0+1fx1437分当x 1,1时，f x最小值为f 04.2a、(H)f(x)3x(x).若a00,当x00t,f(x)0,"*)在(0,)上单调递减.又f(0)4,则当x0时，f(x)4.当a00时,不存在x00,使f(x0)0.10.2a.2a.若a0,则当0x一时，f(x)0;当x一时，f(x)0.332a2a从而f（x）在（0,2a）上单调递增，在（2a,+）上单调递减33一2a当x(0,)时，f(x)maxf(一)8a3 4a34