定积分的换元法第二篇ppt课件

1、3.2 3.2 定积分的换元法定积分的换元法 第四章 定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；换元公式换元公式第二类换元公式第二类换元公式应用第二类换元公式时应注意应用第二类换元公式时应注意:（1）（2）例例1. 计算计算).0(d022axxaa22aaxarcsin解法一解法一: （直接用牛（直接用牛-莱公式令莱公式令, ),(,sin22ttax那么,cos22taxa ttaxdcosd tdtatadxxacoscos22 ttadcos22Ca242sin2ttax22xa tax

2、arcsin 2221xax 22atttcossin22sin2axaxa22 原式 Cxax22210a42a例例1. 计算计算).0(d022axxaa解法二解法二 ：（先换元：（先换元,再用牛再用牛-莱公式）莱公式）,sintax 那么,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202 )2sin21(22tta0242a20ttdcos2且令令换元必换限！换元必换限！例例2. 计算计算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt那么,dd,212ttxtx,0时当 x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(2131

3、2 )331(213tt13322; 1t且 （第二类换元：根式代换）（第二类换元：根式代换） 注：换元公式也可反过来使用注：换元公式也可反过来使用 , 即得定积分的即得定积分的第一类换元公式：第一类换元公式：tfd)(t)(txxfbad)() )(tx令或tfd)(t)(tf)(t)(dt口诀：换元必换限，配元不换限口诀：换元必换限，配元不换限例例3 3 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t)(coscossincos220505 xxdxdxx 015dtt原原式式1066 t.61 （第一类换元：凑微分）（第一类换元：凑微分）或者

4、或者)(coscossincos220505 xxdxdxx.61cos6120 x例例4 4 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52 x.54 不换元不换元区间可加性区间可加性例例5.,)(上上连连续续在在对对称称区区间间设设aaxf证证:(1) 假假设设, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则则xxfaad)(2)

5、 假假设设, )()(xfxf0aaxxfd)(则则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时时)()(xfxf时时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令令O a x y -a O a a x y 该题几何意义是很明显的，如下图该题几何意义是很明显的，如下图: :奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.

6、4 单位圆的面积单位圆的面积(19)(20)(21)(22)练习：练习： 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2设设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft0 x,2 t2 x, 0 t证证（1设设tx 2,dtdx 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf2.证：证：3.证：证：4.证：证：练习：练习：思考练习：思考练习：,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31考虑考虑: 若改题为xttfxlnd)(313